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 Aperiodische Parkettierung mit geteilter "Ivy leaf"-Kachel |
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Slash
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Hi,
das erste Bild zeigt eine sogenannte "Ivy leaf" Kachel, die zusammen mit den beiden Kachel "Starfish" und "Hex" ein aperiodisches Set für eine nicht-periodische Parkettierung bildet. Diese drei Kachel sind auf die beiden Penrose-Kacheln "Dart" und "Kite" zurückzuführen. Siehe auch hier.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_tile1.png
Mir ist nun folgendes aufgefallen: Wenn man das "Ivy leaf" an seiner Symmetrieachse halbiert und eine Schnittgerade (rot) durch die beiden gelben Punkte legt, dann ergeben sich zwei neue Kacheln mit drei verschiedenen Seitenlängen (siehe Bild 2).
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_tile2neu.png
Ich habe einen sehr einfachen Algorithmus gefunden mit dem sich die Ebene aperiodisch mit diesen beiden (neuen?) Kacheln parkettieren lässt, und zwar spiralförmig. Dazu veröffentliche ich noch einen Artikel, daher möchte ich hier nicht näher darauf eingehen.
Meine Frage ist nun: Lassen sich diese beiden Kacheln, jede für sich, immer noch auf eine bekannte Parkettierung zurückführen, also in kleinere bekannte Kacheln einteilen wie z.B. goldene Dreiecke, etc.? Ich habe nichts derartiges gefunden, da die Penrose Kacheln sehr seltsam zerschnitten werden.
Gruß, Slash
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Slash
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-14
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Aus der größeren Kachel lässt sich noch die kleinere rausschneiden.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_slash_tiles_new.png
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Slash
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-19
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Hier nochmal schön mit TikZ. Der goldene Schnitt ist \(\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Nachfolgend ein goldenes Dreieck, welches in Robinson Dreiecke geteilt ist: golden gnomon \(AXC\) und golden triangle \(XBC\). "\(ABC\) gespiegelt an \(AB\)" und "\(AXC\) gespiegelt an \(XC\)" bilden die Penrose Kacheln "Kite" und "Dart". Daher lässt sich jede Penrose Parkettierung aus Kites und Darts mit Robinson Dreiecken "verkleinern".
$
\begin{tikzpicture}
[y=1.0pt, x=1.0pt, yscale=-1.0, xscale=1.0]
\draw[line cap=round,line width=0.5pt]
(3.0469,1049.5372) -- (153.0448,940.5461)
(3.0469,1049.5372) -- (117.6433,1049.5372)
(117.6433,1049.5372) -- (153.0448,940.5460)
(117.6433,1049.5372) -- (188.4641,1049.5372)
(153.0448,940.5461) -- (188.4641,1049.5372);
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(-13,1057) node[above right] {$A$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(190,1057) node[above right] {$B$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(148,940) node[above right] {$C$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(127,969) node[above right] {$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(142,978) node[above right]{$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(15,1051) node[above right] {$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(148,1065) node[above right] {$1$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(171,1005) node[above right]{$\varphi$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(120,1005) node[above right] {$\varphi$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(65,1065) node[above right] {$\varphi$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(25,995) node[above right] {$\varphi^2=\varphi+1$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(107,1067) node[above right] {$X$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(93,1051) node[above right] {$108^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(120,1051) node[above right] {$72^\circ$};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(163,1051) node[above right] {$72^\circ$};
\end{tikzpicture}
$
Für die beiden Kachel aus #1 gilt dann:
$
\begin{tikzpicture}
[y=0.6pt, x=0.6pt, yscale=-1.0, xscale=1.0]
\draw[line cap=round,line width=0.5pt]
(245.7490,890.6155) -- (425.9520,934.2649)
(611.5687,1048.5289) -- (380.0673,1048.5289)
(380.0673,1048.5289) -- (245.7490,890.6155)
(611.5687,1048.5289) -- (405.7069,942.6026)
(405.7069,942.6026) -- (425.9520,934.2649)
(7.7906,1048.6584) -- (104.9781,890.7566)
(7.7906,1048.6584) -- (239.3061,1048.6584)
(104.9781,890.7566) -- (239.3061,1048.6584);
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(-20,1060) node[above right] {$A$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(235,1060) node[above right] {$B$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(95,890) node[above right] {$C$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(88,930) node[above right] {$72^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(15,1055) node[above right] {$58,39^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(165,1055) node[above right] {$49,61^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(0,980) node[above right] {$\varphi+1$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(170,980) node[above right]{$\frac{3\varphi+1}{2}$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(110,1070) node[above right] {$y$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(345,1060) node[above right] {$D$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(610,1060) node[above right] {$E$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(390,970) node[above right]{$F$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(415,935) node[above right]{$G$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(230,890) node[above right] {$H$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(330,915) node[above right] {$\varphi+1$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(262,1000) node[above right]{$\frac{3\varphi+1}{2}$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(530,950) node[above right]{$\overline{FG}=\frac{\varphi-1}{2}$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(480,1070) node[above right] {$y$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(505,1000) node[above right] {$y$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(372,1055) node[above right] {$130,39^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(520,1055) node[above right] {$27,23^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(265,925) node[above right] {$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(415,960) node[above right]{$49,61^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(378,951) node[above right] {$36^\circ$};
\end{tikzpicture}
$
Frage 1: Für die Seitelänge \(y\) habe ich einen sehr komplizierten Term ausgerechnet. Findet jemand einen einfachen Ausdruck für \(y\) in Abhängigkeit von \(\varphi\)?
Es gilt $\varphi+1=\varphi^2$ und mit dem Kosinussatz erhält man
$y=\sqrt{(\frac{3\varphi+1}{2})^2+\varphi^4-2\varphi^2(\frac{3\varphi+1}{2})\cos(72)}\approx 3,2689 \approx 2\varphi+\frac{1}{30}$.
Frage 2: Findet jemand eine Einteilung der beiden Kacheln in kleinere Robinson Dreicke?
Gruß, Slash
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Slash
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20
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Hier mal der Beginn der aperiodischen Parkettierung mit den beiden Kacheln. Besonderheit ist wie gesagt, dass man sie vom Zentrum aus spiralförmig entwickelt. Dazu später mehr.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_aperiodische_parkettierung_slash.jpg
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Slash
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20
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Hier eine Substitution mit den beiden Robinson Dreiecken. Gefärbt als Darts und Kites (blau, gelb) und golden gnomon und golden triangle (rosa, lila).
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-20
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\quoteon(2019-03-19 22:02 - Slash in Beitrag No. 2)
$
\begin{tikzpicture}
[y=1.0pt, x=1.0pt, yscale=-1.0, xscale=1.0]
\draw[line cap=round,line width=0.5pt]
(3.0469,1049.5372) -- (153.0448,940.5461)
(3.0469,1049.5372) -- (117.6433,1049.5372)
(117.6433,1049.5372) -- (153.0448,940.5460)
(117.6433,1049.5372) -- (188.4641,1049.5372)
(153.0448,940.5461) -- (188.4641,1049.5372);
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(-13,1057) node[above right] {$A$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(190,1057) node[above right] {$B$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(148,940) node[above right] {$C$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(127,969) node[above right] {$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(142,978) node[above right]{$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(15,1051) node[above right] {$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(148,1065) node[above right] {$1$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(171,1005) node[above right]{$\varphi$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(120,1005) node[above right] {$\varphi$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(65,1065) node[above right] {$\varphi$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(25,995) node[above right] {$\varphi^2=\varphi+1$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(107,1067) node[above right] {$X$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(93,1051) node[above right] {$108^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(120,1051) node[above right] {$72^\circ$};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(163,1051) node[above right] {$72^\circ$};
\end{tikzpicture}
$
\quoteoff
Sehr schöne planimetrische Skizzen.
Das ist natürlich übertrieben kompliziert konstruiert und gut 45% könnte man hier ohne Weiteres rauseditieren; das kommt eben dabei raus, wenn man WYSIWYG-Editoren verwendet... :-)
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Slash
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20
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@ Newbert
Ich habe das mit CAD gezeichnet, als DXF gespeichert, in Inkscape geladen, dort beschriftet und als TikZ gespeichert. Ist eine Sache von ein paar Minuten.
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Slash
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20
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\quoteon(2019-03-19 22:02 - Slash in Beitrag No. 2)
Frage 1: Für die Seitelänge \(y\) habe ich einen sehr komplizierten Term ausgerechnet. Findet jemand einen einfachen Ausdruck für \(y\) in Abhängigkeit von \(\varphi\)?
Es gilt $\varphi+1=\varphi^2$ und mit dem Kosinussatz erhält man
$y=\sqrt{(\frac{3\varphi+1}{2})^2+\varphi^4-2\varphi^2(\frac{3\varphi+1}{2})\cos(72)}\approx 3,2689 \approx 2\varphi+\frac{1}{30}$.
\quoteoff
Mit $\varphi+1=\varphi^2$ kann man doch noch etwas vereinfachen:
$y=\sqrt{\frac{9}{4}\varphi^4-(\varphi^4+2\varphi^3)\cos72}$.
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Hans-Juergen
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-20
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Hi,
hier der Anfang eines aperiodischen Parketts mit nur einer (und zudem einfachen) Kachelsorte:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/1948_rosan.png
Gruß
Hans-Jürgen
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Slash
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20
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Hi Hans-Juergen,
es geht um so etwas hier: List of aperiodic sets of tiles. Mit einem rechtwinkligen Dreieck lassen sich eben auch einfache periodische Parkettierungen erstellen. Bisher sind nur 2er-Sets von aperiodischen Kacheln bekannt mit denen sich kein periodisches Parkett erstellen lässt. Wichtig ist auch immer die Anleitung, falls die Kacheln es nicht durch ihre Form vorgeben. Bei meinen Kacheln ist es der Algortihmus.
Die Tilings Encyclopedia ist ein Referenzwerk.
Einen "Ein-Stein", also eine Mono-Kachel, die eine aperiodische Parkettierung durch ihre Form "erzwingt" gibt es leider noch nicht. Die Socolar–Taylor Kachel ist leider nicht zusammenhängend in der Ebene, und die Hexagonal Aperiodic Mono-Kachel ist eine "dekorierte" Kachel, erzeugt also nur ein aperiodisches Bild wie auf einem Puzzle.
Trozdem Danke für deine Beteiligung. :-)
Gruß, Slash
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Yggdrasil
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2019-03-20
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Hallo,
das wäre dann aber nur eine nicht-periodische Parkettierung. Bei einem Set von aperiodischen Kacheln müssen alle Parkettierungen nicht-periodisch sein.
Gruß Yggdrasil
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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Hans-Juergen
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| Beitrag No.11, eingetragen 2019-03-20
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Hallo Slash,
danke für Deine Informationen. Der Feststellung, dass es eine "Ein-Stein", also eine Mono-Kachel, die eine aperiodische Parkettierung durch ihre Form "erzwingt", nicht gibt, scheint diese Seite zu widersprechen.
Dort wird auch das bekannte Penrose-Parkett nur als "quasiperiodisch" bezeichnet.
Interessant mag vielleicht noch sein, dass ein weit ausgedehntes, unregelmäßiges Parkett aus gleich großen, rechtwinkligen Dreiecken mit dem Kathetenlängenverhältnis 2:1 hier an einem öffentlichen Gebäude verwendet wurde: http://mathstat.slu.edu/~Federation_Square_Melbourne-SBS.jpg.
Gruß
Hans-Jürgen
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Slash
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21
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\quoteon(2019-03-20 23:50 - Hans-Juergen in Beitrag No. 11)
Der Feststellung, dass es eine "Ein-Stein", also eine Mono-Kachel, die eine aperiodische Parkettierung durch ihre Form "erzwingt", nicht gibt, scheint diese Seite zu widersprechen.
\quoteoff
Man weiß einfach nicht, ob so eine Mono-Kachel existiert. Bisher gibt es keinen Beweis dafür oder dagegen.
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Slash
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21
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Meine Kacheln erzeugen auf jeden Fall nicht zwingend ein aperiodisches Muster, wie das folgende Beispiel zeigt. Sie sind damit selbst nicht aperiodisch.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_slash_periodisch.jpg
Natürlich geht es auch noch einfacher, da ja zwei rosa und eine lila Kachel ein halbes Ivy Leaf bilden und ganze Ivy Leafs sehr einfach die Ebene parkettieren können.
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Slash
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21
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Vielleicht lässt sich aus den beiden Kacheln ein aperiodisches Set aus drei Kacheln erstellen. Das wären dann der rote Pfeil, der grüne Haken und die rosa Dreiecke. Ich muss das aber noch genau prüfen.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_Slash_Parkett_2.jpg
EDIT: Kein aperiodisches Set. Mit der folgenden Struktur lässt sich die Ebene periodisch parkettieren.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_periodisch_3.jpg
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Slash
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-03
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Slash
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17
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Dank des Hinweises eines Mathematikers, der auch schon mit Spiralparkettierungen gearbeitet hat, lässt sich die Parkettierung aus den zwei asymmetrischen Kacheln wohl genau beschreiben. Die Spirale orientiert sich dabei an den übergeordneten Kacheln, also dem "halben Ivy Leaf" (rosa, beige) und dem "breiten Pfeil" (weiß) aus 8 Dreiecken (siehe dazu auch mein verlinktes PDF).
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_Tiling_Spirals_20_neu.png
Es lässt sich also ein Algortihmus angeben wann welche Kachel wie oft und in welcher Ausrichtung an die Spirale gesetzt wird. Wenn ich das ausgeknobelt habe mehr dazu. Wer mitmachen möchte, gerne.
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Slash
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17
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Es zeigt sich auch noch eine Auffälligkeit bei den beigen Kacheln, die durch die abwechselnde Färbung mit rosa auftritt. Es sind immer genau zwei beige Kacheln auf dieselbe Weise über die Spiralgrenze verbunden. Im nächsten Bild blau gefärbt.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_Tiling_Spirals_20_neu2.png
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haribo
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| Beitrag No.18, eingetragen 2019-09-17
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moin und halllllo slash!
hab mir die noch nie angeschaut sieht sehr schick aus die spirale,
aber gleich mal ne frage wiso legt man nicht die gleichfarbigen in eine kachel zusammen, also aus den jeweils acht weissen eine neue grössere weisse,
aus den vier pinken eine neue pinke, jetzt hat ja eine der pinken schon 5 kanten, danach hätte die grössere auch nur 5 kanten
lg haribo
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_apeparkett1.png
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]
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Slash
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17
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Hi haribo!
Ja, die großen Kacheln sind die Grundparkettierung, die beiden kleinen nur eine Substitution, die aber sehr ungewöhnlich und schick ist. Für den Algortihmus und sonstige Betrachtungen geht man dann von den großen Kacheln aus, so wie du sagst.
In Bezug auf meinen Artikel, den ich noch ändern werde, bilden die beiden großen Kacheln mit der Spirale die Hauptparkettierung. Alles weitere sind dann Substitutionen bzw. dekorierte Kacheln.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_setgro_ekacheln.png
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_setgro_ekacheln2.png
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_setgro_ekacheln3.png
Dies macht den eigentlichen Alorithmus mit der Monokachel aber nicht ganz überflüssig, da er ja mit nur einer Kachel funktioniert. Dies allerdings mit Überschneidungen und Lücken. Ich werde den Artikel wohl mit der 2-Kachel-Spirale beginnen und später dann auf den Monokachel-Algorithmus verweisen.
Wer eine Möglickeit hat den Algorithmus grafisch zu programmieren - immer her damit! Mir steht im Moment nur Delphi5 zur Verfügung.
Mit den großen Kacheln (dekoriert) ist dann auch ein Parkett nur aus decagon, hex und starfish Kacheln möglich. Sehr schön.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_setgro_ekacheln4c.png
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haribo
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| Beitrag No.20, eingetragen 2019-09-18
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ok, habe verstanden, figur 19b ist, als aus acht unsymetrischen dreiecken zusammengesetztes, dann symetrisch...
dolle spirale jedenfals
die spiral-grenz-linie besteht aus lauter gleichlangen elementen, pass auf dass es nicht zufällig nen neuen unendlichen streicholzgraph ergibt...
haribo
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Slash
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-18
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Ja, bis auf die beiden unsymmetrischen Kacheln und die Robinson Dreiecke sind alles Streichholzgraphen bzw. alles Einheitskanten.
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Slash
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19
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Ich kann den Parkett-Algorithmus jetzt fast beschreiben. Es sind aber bis jetzt nur Beobachtungen. Er wird deutlich, wenn man in einer größeren Struktur denkt - ganze ivy leafs (GIL) und gespaltene ivy leafs mit den Pfeilen dazwischen, nennen wir sie mal Ziehharmonika ivy leafs (ZIL). Die ZIL's treten immer 5 Mal in gleicher Größer hintereinander auf, wobei sie abwechselnd zum Zentrum hin und weg zeigen. Die GIL's treten hintereinander in Gruppen zu je 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, ... auf. Ohne die erste 2 ist das die Folge A057354.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_algospirale.png
Mit der jetzigen Färbung wird auch ein "Dreier-Strudel" erkennbar. Drei GIL und drei ZIL Stränge ineinander. Sie sind aber alle verschieden voneinander.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_algospirale3.png
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haribo
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| Beitrag No.23, eingetragen 2019-09-19
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_ape-spirale1.png
zwei der vier inneren kern-schmetterlinge passen als "nuller" in die BAT-reihen, verbleiben zwei als inkarnations atome
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haribo
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| Beitrag No.24, eingetragen 2019-09-19
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_ape-spirale2.png
BAT-folgen:
orange 0,1,2,2,3,3,4,
gelb 0,1,1,2,3,3,4,
blau 1,1,2,2,3,4,4,
-
Schmetterlingsfolgen:
rot 1,2,3,4,6,7,
pink 1,2,4,5,6,7,
grün 2,3,4,5,6,8,
die schmetterlinge ändern auch innerhalb einer folge jeweils einmal ihre flugrichtung, und dabei periodisch mal nach vorne mal nach hinten
rot 1,2,3,4,6,7,könnte also auch so sein:
(1,1)(-2-1)(2,2)(-3,-3)(4,3) positiv nach vorne negativ zurück
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| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19
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\quoteon(2019-09-19 06:24 - haribo in Beitrag No. 24)
die schmetterlinge ändern auch innerhalb einer folge jeweils einmal ihre flugrichtung, und dabei periodisch mal nach vorne mal nach hinten
\quoteoff
Sie rotieren immer im Uhrzeigersinn jeweils um 90 Grad, wenn ich mich nicht verguckt habe.
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19
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\quoteon(2019-09-19 06:17 - haribo in Beitrag No. 23)
zwei der vier inneren kern-schmetterlinge passen als "nuller" in die BAT-reihen, verbleiben zwei als inkarnations atome
\quoteoff
Das macht ja nichts. Sind dann eben besondere Startbedingungen. :-)
BAT = Fledermaus? Im Artikel bekommen die später langweilige Bezeichnungen wie T1 und T2, wobei T für tile steht.
Für alle Interessierten. Hier der Spiral-Artikel des in #16 erwähnten Mathematikers: How to Define a Spiral Tiling? (Copyright [2017] MAA, Mathematics Magazine)
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19
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Vielleicht sollten wir direkt hier die Kacheln abkürzen.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_kachelnamen.png
Wobei man sogar auf T3 bzw. T3(n) verzichten könnte, da ja immer T1L und T1R seitlich angesetzt werden.
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haribo
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| Beitrag No.28, eingetragen 2019-09-19
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es kommen insgesamt zehn richtungen vor, also 10 x 36°
von 1-1 nach 1-2 werden zwei richtungen übersprungen also ist 1-2 gegenüber 1-1 um 3x36°=108° weitergedreht
deine jeweils fünfmal vorkommenden BAT-sets könnte man auch so in die schmetterlinge vergrössern, dann brauchts zwar wider 3 verschiedene kacheln aber sie gehorchen einem fast schon nachvollziebaren anordnungs gesetz...
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_ape-spirale4.png
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]
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haribo
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| Beitrag No.29, eingetragen 2019-09-19
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die fortsetzung nach süd-westen würde dann also so aussehen...
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_ape-spirale5.png
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| Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19
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Es sollte auf jeden Fall eine beschreibung ohne Zwischenräume sein, in deinem letzten Bild die beigen T1L und T1R.
Das Grundgerüst wird auf jeden Fall von den drei T2-Spiralen gebildet, deren Beschaffenheit durch drei bestimmte Zahlenfolgen festgelegt ist. Das schöne an den T3-Spiralen ist, das man sie direkt richtig verlegen kann, da sie aneinander grenzen. Und die Auffüllung der drei freien Spiralen mit T1 Kacheln lässt sich auch durch Zahlenfolgen festlegen. Für rosa/lila z.B. 1,1,2,2,3,2,3,3,4,3,... (A071330). Die 90 Grad Drehung erfolgt dann bei jedem Folgenglied.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.28 begonnen.]
Wir posten unsere Beiträge leider zu schnell, so dass wir etwas aneinander vorbei reden. :-D Aber das ränkt sich schon wieder ein.
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| Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19
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Jetzt muss nur noch Stefan mit einem Tiling-Programm* dazu stechen und das Streichholz-Team ist mit einem neuen Thema am Start. Fachwelt - wir sind zurück! 8-)
*ist bestimmt nicht einfach
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| Beitrag No.32, eingetragen 2019-09-19
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lass dir die geometrie mal als bohrkrone patentieren, die suchen immer asymetrische designs
https://cdn.weka-fachmedien.de/thumbs/media_uploads/images/1485266357-271-wormg4alk.jpg.950x534.jpg
genau zu jedem n-x set gehören immer 2 T1L + 2 T1R, die entsprechend meinem letzten bild (dicke schwarze pfeil-linien...)angeordnet werden müssen
die T1L/R anordnung wurde nochmals optimiert!
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haribo
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| Beitrag No.33, eingetragen 2019-09-19
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_apespirale5.png
ganz schöne komplizierte geometrie des marktplatzes in slash-city mit den 10 angrenzenden grundstücken...
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| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19
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Die Spirale ist ja kaum wiederzuerkennen oder ist das schon ein Bohrkopf?
Von den Bohrkopf-Millionen kriegst du natürlich etwas ab. 8-)
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| Beitrag No.35, eingetragen 2019-09-20
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_apespirale6.png
ist das überhaupt aperiodisch wenn es ansich in jedem tortenstück hochgradig periodisch nach aussen fortsetzbar ist?
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| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-20
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\quoteon(2019-09-20 05:14 - haribo in Beitrag No. 35)
ist das überhaupt aperiodisch wenn es ansich in jedem tortenstück hochgradig periodisch nach aussen fortsetzbar ist?
\quoteoff
Ja, da sich das Zentrum nie wiederholt. Es sei denn, man könnte unendlich viele Ausschnitte (auch asymmetrische) mit Zentrum, also endliche viele Spiralen, lückenlos aneinanderlegen. Das wir gut in der verlinkten Wiki-Seite und dem PDF beschrieben. Einfache perodische T1-T2-Kachelungen sind natürlich möglich.
Der Wiki-Link ist in dem anderen Thread.
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haribo
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| Beitrag No.37, eingetragen 2019-09-20
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_apespirale7.png
und dies?
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haribo
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| Beitrag No.38, eingetragen 2019-09-20
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neben deinem bisherigen prototiles (rot) hab ich noch varianten gefunden
die genau so als unsymetrische-zwei-kachel-aperiodikum funktionieren würden, da lediglich die inneren dreiecke verschoben/gedreh/gespiegelt wurden (gelb;blau)
auch die grüne ringkachel wäre möglich, obwohl sie sicherlich beim herstellen zerbricht, sie ist damit soger im gewissen rahmen frei beweglich-also eine unendlichkeit...
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_apespirale8.png
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| Beitrag No.39, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-20
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Du musst einen Ausschnitt aus dem Parkett so auf der Ebene verschieben können, dass er sich irgendwo deckungsgleich wiederfindet. Das geht bei Spiralen eigentlich nicht. Die lokale Periodizität in den Symmetriebereichen allein genügt nicht, das Zentrum muss sich auch wiederfinden.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.37 begonnen.]
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