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Moderiert von Wally haerter
Differentialgleichungen » Gewöhnliche DGL » Entdimensionalisierung von logistischem Wachstum
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Universität/Hochschule Entdimensionalisierung von logistischem Wachstum
Roemer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-14


Ich soll folgendes Modell der Populationsdynamik in entdimensionalisierter Form formulieren:

$x^{\prime}=q(x_{c}-x)x$
$x(0)=x_{0}$


Ich habe als Einheiten:
T ... Zeit
A ... Anzahl

$[x^{\prime}]= A^1T^{-1}$
$[x]=A$
$[x_{c}]=A$
$[q]=T^{-1}$

Dann wähle ich als Primäre Variablen $x$ und $q$
Meine Sekundären Variablen $x^{\prime} $ und $x_{c}$ muss ich skalieren.

$[x^{\prime}]=[xq] \Rightarrow x^{\prime}_s=x^{\prime}x^{-1}q^{-1}$
$[x_{c}]=[x] \Rightarrow x_{c_{s}}=x_{c}x^{-1}$

Dann kann ich mir dadurch $x^{\prime}$ und $x_{c}$ durch die skalierten und primären Variablen ausdrücken.

Am Ende bekomme ich $x^{\prime}_s xq=q(x_{c_{s}}x-x)x$
Umgeformt: $x^{\prime}_s=x_{c_{s}}x-x$

Passt das so?


Was ich nicht verstehe ist, dass $[x^{\prime}]=[q(x_{c}-x)x]$ gelten muss, ich aber das nicht nachweisen kann.

$[x^{\prime}]= A^1T^{-1}$ ist klar, aber die rechte Seite ...

$[q(x_{c}-x)x] = [qx(x_{c}-x)] = [qx][(x_{c}-x)] = (AT^{-1})(A) = A^{2}T^{-1} $

Was ist mein Fehler?



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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo Roemer,

ich würde denken, \(A\) ist dimensionslos und daher von derselben Dimension wie \(A^2\).

Wally
\(\endgroup\)


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Roemer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-14


So in etwas habe ich mir das schon überlegt.
Es ist eine wichtige Voraussetzung, dass die Dimension jeder messbaren Größe als ein Produkt der 7 Grundeinheiten (SI-Einheiten) geschrieben werden kann.
Dass die Anzahl $x$ hier unter keine fällt war meine erste Idee, bzw dass sie einfach so angeschrieben werden kann $[x]=\prod_{k=1}^7 SI_{1}^0$
Ist das so richtig?



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Roemer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-14


Oder ist die Aussage $[q]=T^{-1}$ einfach falsch und korrekt wäre $[q]=T^{-1}A^{-1}$?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

ich würde da eher zu letzterem tendieren. Betrachten wir mal die DGL des exponentiellen Wachstums:

\[f'(t)=k\cdot f(t)\]
Wenn man in diesem Fall nach der Proportionalitätskonstante auflöst, bekommt man die (momentane) Wachstumsrate:

\[k=\frac{f'(t)}{f(t)}\]
Und für diese gilt natürlich

\[[k]=T^{-1}A^{-1}\]
Von daher würde ich sagen, das macht Sinn.

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Roemer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-14


Genauso habe ich mir das überlegt.
Im exponentiellen Wachstum haben wir wie du schon geschrieben hast $f^{\prime}(t)=k \cdot f(t)$

Aber es gilt doch auch $[f^{\prime}(t)]=A\cdot T^{-1}$ und $[f(t)]=A$, damit wäre aber $[k]=T^{-1}$



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

2019-03-14 12:31 - Roemer in Beitrag No. 5 schreibt:
Genauso habe ich mir das überlegt.
Im exponentiellen Wachstum haben wir wie du schon geschrieben hast $f^{\prime}(t)=k \cdot f(t)$

Aber es gilt doch auch $[f^{\prime}(t)]=A\cdot T^{-1}$ und $[f(t)]=A$, damit wäre aber $[k]=T^{-1}$

sorry, ja: das war ein Denkfehler meinerseits. Die Bedeutung der Wachstumsrate könnte man ja mit

\[[k]=AT^{-1}A^{-1}\]
zum Ausdruck bringen, daber das läuft natürlich auf \(T^{-1}\) hinaus.

Hm. Gute Frage... :-)

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Roemer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-14


Meine nächste Überlegung ist, dass die Proportionalitätskomstante im logistischen Wachstum eine andere Einheit hat.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-14


2019-03-14 13:17 - Roemer in Beitrag No. 7 schreibt:
Meine nächste Überlegung ist, dass die Proportionalitätskomstante im logistischen Wachstum eine andere Einheit hat.

Hm, ich denke, das ergibt Sinn: im Unterschied bspw. zum exponentiellen und zum bechränkten Wachstum ist die Änderungsrate ja nicht einfach zu einem Bestand proportional, sondern zum Bestand und zum Sättigungsmanko mit natürlich gleicher Einheit wie der Bestand.

Gruß, Diophant



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Roemer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-14


Nun habe ich aber ein weiteres Problem. Mit der neuen Einheit für die Konstante komme ich nun so weiter:

Ich wähle als Primäre Variablen $x$ und $x^{\prime} $
Meine Sekundären Variablen $q$ und $x_{c}$ muss ich skalieren.

$[x_{c}]=[x] \Rightarrow x_{c_s}=x_cx^{-1}$
$[q]=[x^{\prime}x^{-2}] \Rightarrow q_s=qx^{\prime^{-1}}x^2$



Eigentlich habe ich ja die Gleichheiten $x_c=x_{c_s}x^{1}$ und $q=q_s x^{\prime}x^{-2}$
Aber wenn ich so einsetze habe ich ein Problem.

Dann bekomme ich nämlich:
$x^{\prime}=q_s x^{\prime} x^{-2}(x_{c_s}x-x)x$
was umgeformt so aussieht:
$x^{\prime}=q_s x^{\prime}(x_{c_s}-1)x$
dann habe ich auf beiden Seiten ein $x^{\prime}$ stehen, dann hätte ich da doch nur $1=q_s(x_{c_s}-1)$ stehen, da geht mir ja die Gesamte Information der Gleichung verloren.


Soll ich denn vielleicht einfach meine sekundären Variablen einfach durch die skalierten ersetzen?

Dann hätte ich nämlich
$x^{\prime}=qx^{\prime^{-1}}x^2(x_cx^{-1}-x)x$
Es stört mich wieder, dass auf beiden Seiten der Gleichung $x^{\prime}$ vorkommt.
Zu verhindern wäre das nur durch eine andere Wahl der primären und sekundären Variablen, oder?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-03-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo Roemer,

ich habe mich mal ein wenig mit der Entdimensionalisierung von Differentialgleichungen beschäftigt, aber nichts gefunden, was deiner Vorgehensweise entspräche. Insbesondere sind mir die Begriffe primäre und sekundäre Variable unklar, ich finde nur die Unterscheidung in abhängige und unabhängige Variablen.

Die unabhängige Variable wäre hier ja die Zeit \(t\), die abhängige der Bestand \(x\). Aber du scheinst das ja ganz anders anzugehen. Hättest du eine Quelle für mich (oder andere an der Frage Interessierte), wo ich mich über deine Vorgehensweise informieren könnte?

Auch scheinen mir deine Schreibweisen etwas ungeschickt. Die Unterscheidung von \(x\) und \(x_c\) fällt beim Lesen doch schwer, wir könnten doch \(S\) für die Schranke verwenden?

Und die Ableitung sollte man IMO auch für dieses Vorhaben als Differentialquotient schreiben.

Tut mir leid, dass ich da nicht ad hoc Antworten aus dem Hut zaubern kann, aber ich bin mit dieser Methode nicht sehr vertraut.

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Roemer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-17


Meine Quelle ist lediglich eine Vorlesungsmitschrift.
Ich verstehe dein Problem was meine Herangehensweise betrifft, aus selben Grund habe ich ein Problem aus Büchern oder dem Internet schlau zu werden, wo das ganze anders gemacht wird.

Ich habe es mittlerweile aber zufriedenstellend gelöst.


$\frac{dx}{dt}=q(S-x)x$ wobei x die Population zu eine Zeitpunkt, S die Populationsschranke und q eine Konstante sind.

Die Einheiten sind folgende:
$[\frac{dx}{dt}]=\frac{A}{T}$
$[S]=A$
$[x]=A$
$[q]=A^{-1}T^{-1}$

wobei A die Anzahl und T die Zeit bezeichnen.


Das Ziel ist es, die Gleichung, durch das entdimensionalisieren von Variablen, zu vereinfachen.
Zuerst stelle ich mir dafür eine Matrix auf.
Die Spalten beiden geben jeweils den Koeffizienten für die Einheiten A und T an, die Zeilen entsprechen den Koeffizienten dieser Einheiten für meine vier Variablen, $\frac{dx}{dt}, S, x, q$

$\left[ \begin{array}{rrrr}
1 & -1 \\
1 & 0  \\
1 & 0  \\
-1 & -1  \\
\end{array}\right] $

Mithilfe einfacher linearen Algebra finde ich zwei linear unabhängige Zeilen, zum Beispiel die 1. und 2., aus denen ich mir die anderen ausdrücken kann. Diese zwei Zeilen entsprechen meinen Variablen $\frac{dx}{dt} und S$ und werden als primäre Variablen bezeichnet.

Die übrigen Variablen sind meine sekundären Variablen. Das Ziel ist es nun, diese sekundären Variablen, mithilfe der primären zu skalieren und dadurch dimensionslos zu machen.

Das erreiche ich folgendermaßen:

$[x]=[S] \Longrightarrow [\frac{x}{S}]=1$, also dimensionslos.

Genauso definiere ich mir also nun meine skalierte, dimensionslose Variable $x_s:=\frac{x}{S}$. Dadurch kann ich mir meine Ursprüngliche Variable ausdrücken. $x=Sx_s$

Wenn ich das selbe für meine zweite skalierte Variable mache erhalte ich:

$[q]=[\frac{dx}{dt}S^{-2}]$
und
$q=q_s \frac{dx}{dt}S^{-2}$

Ich kann meine sekundären Variablen in der ursprünglichen Gleichung ersetzen.

$\frac{dx}{dt}=q_sS^{-2}(S-Sx_s)Sx_s$
und erhalte nach kürzen
$1=q_s(1-x_s)x_s$

Diese Form ist nun unabhängig von meinen primären Variablen, es ist daher egal welche Einheiten ich für diese auswählen würde.



So, das war jetzt etwas viel für mich, ich hoffe es ist verständlich und hilft irgendwem einmal.
Mein Professor hat eine Musterlösung für ein Problem online gestellt, nachdem etliche Fragen aufgetaucht sind. Falls es ihm passt werde ich diese hier auch noch hochladen.



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Roemer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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