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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Voraussetzungen bei Definitionen ?
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Universität/Hochschule Voraussetzungen bei Definitionen ?
carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-15


Hallo allerseits,
In vielen Definitionen werden schon verschiedene Eigenschaften vorausgesetz (z.B.wird bei der Definition  einer kommutativen Gruppe vorausgesetzt, dass es sich um eine Gruppe handelt).
Wie kann man das rein formal machen?

Beispiel:
n ist eine natürliche Zahl :<--> n Element von  N = {0, 1 , 2 ,…}
n ist eine Primzahl :<--> n ist eine natürliche Zahl und n >1 und nur 1 und n sind Teiler von n.
Daraus folgt dann:
3,14 ist keine Primzahl.

Ich packe also diese Voraussetzung (n ist eine natürliche Zahl) einfach rechts des Äquivalweenzpfeils durch eine UND-Verknüpfung rein.
Ist dies korrekt ?
Kann man dieses „Schema“ immer verwenden, um o.g. Definitionen zu formalisieren ?

ffg
cx



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15


Werden in der Mathematik auch  partielle Definition verwendet ?
Diese sind nach folgendem Schema aufgebaut:
V: Voraussetzung der Definition
D: Das zu Definierende
V -->  (D :<--> E)

Siehe Diplomarbeit:
www.ifp.uni-jena.de/ifpmedia/PDF/Dateien+von+Mitarbeitern/Sch%C3%A4ufler/Schaeufler06_Definitionslehre.pdf

Frage:
Angenommen es sei D.
Dann kann man nicht mehr auf V schließen.
das verstehe ich nicht.

mfg
cx



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Bilbo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-15


Hallo carlox,

meinst du sowas:

"Sei <math>(G, \circ)</math> eine abelsche Gruppe. Dann heißt ein Element <math>e \in G</math> mit <math>e \circ g = g</math> für alle <math>g \in G</math> auch neutrales Element."

Umgekehrt kannst du, wenn von einem neutralen Element einer Gruppe <math>H</math> die Rede ist, aber nicht darauf schließen, dass <math>H</math> eine abelsche Gruppe ist, denn der Begriff des neutralen Elements wird auch in nichtabelschen Gruppen benutzt.

Viele Grüße
Thorsten


-----------------
Heilmagier der Drachengilde
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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15


2019-03-15 12:10 - Bilbo in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo carlox,

meinst du sowas:

"Sei <math>(G, \circ)</math> eine abelsche Gruppe. Dann heißt ein Element <math>e \in G</math> mit <math>e \circ g = g</math> für alle <math>g \in G</math> auch neutrales Element."

Umgekehrt kannst du, wenn von einem neutralen Element einer Gruppe <math>H</math> die Rede ist, aber nicht darauf schließen, dass <math>H</math> eine abelsche Gruppe ist, denn der Begriff des neutralen Elements wird auch in nichtabelschen Gruppen benutzt.

Hallo Bilbo,
ja, das wäre ein Beispiel.
Aber ich vermute, dass in vielen mathematischen Büchern, geschlossen wird wird, dass G dann eine abelsche Gruppe sein müsste.

mfg
cx





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Bilbo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-15


Hallo carlox,

das glaube ich nicht. Man kann ja aus einer Definition gar nichts "schließen". Was du vielleicht meinst, ist, dass man - wenn es sich etwa um ein Buch über abelsche Gruppen handelt - diese Voraussetzung nicht in jedem Satz über neutrale Elemente explizit erwähnt. Das hat dann aber nichts mit Schlussfolgerungen aus der Definition zu tun, sondern mit Voraussetzungen an den Kontext, die stillschweigend als bekannt vorausgesetzt werden.

Viele Grüße
Thorsten


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-15


2019-03-15 11:25 - carlox in Beitrag No. 1 schreibt:
Werden in der Mathematik auch  partielle Definition verwendet ?
Diese sind nach folgendem Schema aufgebaut:
V: Voraussetzung der Definition
D: Das zu Definierende
V -->  (D :<--> E)

Das ist meiner Meinung nach sogar eher der Normalfall einer Definition.
Viele Begriffe haben in unterschiedlichen Kontexten unterschiedliche Bedeutungen. Man definiert beispielsweise, was man unter dem Produkt zweier Matrizen versteht, kann daraus aber nicht schließen, dass der Satz "C ist das Produkt von A und B" impliziert, dass A und B Matrizen sind.



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15


Hallo Thorsten
2019-03-15 12:53 - Bilbo in Beitrag No. 4 schreibt:
das glaube ich nicht. Man kann ja aus einer Definition gar nichts "schließen". Was du vielleicht meinst, ist, dass man - wenn es sich etwa um ein Buch über abelsche Gruppen handelt - diese Voraussetzung nicht in jedem Satz über neutrale Elemente explizit erwähnt. Das hat dann aber nichts mit Schlussfolgerungen aus der Definition zu tun, sondern mit Voraussetzungen an den Kontext, die stillschweigend als bekannt vorausgesetzt werden.

1)
Ist die folgende Definition dann korrekt?
e ist ein neutrales Element von G :<==>
e ist aus G und (G,+) ist eine Gruppe und für alle g aus G gilt: g+e =g
 
2)
Daraus würde dann folgern:
(G,+) ist keine Gruppe --> e ist kein neutrales Element
Stimmt das ?

mfg
cx



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15


2019-03-15 13:11 - Kitaktus in Beitrag No. 5 schreibt:
2019-03-15 11:25 - carlox in Beitrag No. 1 schreibt:
Werden in der Mathematik auch  partielle Definition verwendet ?
Diese sind nach folgendem Schema aufgebaut:
V: Voraussetzung der Definition
D: Das zu Definierende
V -->  (D :<--> E)

Das ist meiner Meinung nach sogar eher der Normalfall einer Definition.
Viele Begriffe haben in unterschiedlichen Kontexten unterschiedliche Bedeutungen. Man definiert beispielsweise, was man unter dem Produkt zweier Matrizen versteht, kann daraus aber nicht schließen, dass der Satz "C ist das Produkt von A und B" impliziert, dass A und B Matrizen sind.

Partielle Definitionen sind eine kritische Angelegenheit und deshalb unerwünscht.
Siehe die von mir verlinkte Diplomarbeit.

cx



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-15


Hallo carlox,

2019-03-15 09:04 - carlox im Themenstart schreibt:
n ist eine Primzahl :<--> n ist eine natürliche Zahl und n >1 und nur 1 und n sind Teiler von n.
Daraus folgt dann:
3,14 ist keine Primzahl.

Du wirst doch wohl schon mal eine Definition gesehen haben. Dann solltest du wissen, dass man das so nicht macht.

Vielmehr:

Sei n eine natürliche Zahl. n heißt Primzahl, wenn ...

Die Aussage "3,14 ist keine Primzahl" ist genauso sinnfrei wie die Frage, ob ein Goldhamster gleichmäßig stetig ist, da für rationale Zahlen der Begriff Primzahl nicht definiert ist.



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15


Hallo StrgAltEntf,
(2019-03-15 14:52 - StrgAltEntf in <a
Du wirst doch wohl schon mal eine Definition gesehen haben. Dann solltest du wissen, dass man das so nicht macht.
Vielmehr:
Sei n eine natürliche Zahl. n heißt Primzahl, wenn ...

Die Aussage "3,14 ist keine Primzahl" ist genauso sinnlos wie "ein Goldhamster ist keine Primzahl", da für rationale Zahlen der Begriff Primzahl nicht definiert ist.
Ich lese gerade ein Buch über Logik. Deshalb versuche ich die Definition in einer Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe zu machen.
Nn : bedeutet n ist eine natürliche Zahl, wobei N ein Prädikat ist.
Pn : bedeutet n ist eine Primzahl, wobei P ein Prädikat ist.
Wie definierst du dann Pn, also:
Pn :<==> ....

mfg
cx



 






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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-03-15


2019-03-15 14:43 - carlox in Beitrag No. 7 schreibt:
Partielle Definitionen sind eine kritische Angelegenheit und deshalb unerwünscht.
Siehe die von mir verlinkte Diplomarbeit.
Geht es etwas konkreter. Ich lese ungern 67 Seiten, nur um verstehen zu können, was Du sagen willst.

In der verlinkten Arbeit wird es übrigens auch so gemacht. Ein zufällig ausgewähltes Beispiel:
"Definition 18: Sei T eine TBox, A eine ABox, C und D Konzeptebeschreibungen und a eine Individuenkonstante."
Danach wird dann u.a. definiert, was in diesem Setting bedeuten soll, dass "A konsistent in Bezug auf T ist."

Aus dem Satz "A ist konsistent in Bezug auf T." allein, kann man ohne weiteren Kontext nicht entnehmen, dass A eine ABox sein soll, da das Wort "konsistent" auch in anderen Zusammenhängen benutzt wird.

Um es in der Sprache der Informatik auszudrücken: "Viele in der Mathematik definierte Begriffe sind überladen."

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15


(2019-03-15 15:17 - Kitaktus in <a Geht es etwas konkreter. Ich lese ungern 67 Seiten, nur um verstehen zu können, was Du sagen willst.
Bitte um Entschuldigung. Du hast Recht.
Seite 7, 8 und 9
Seite 9 ganz oben gibt es auch ein Beispiel mit der Division.
Habe ich allerdings nicht verstanden

mfg
cx



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-17


2019-03-15 14:52 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8 schreibt:
Sei n eine natürliche Zahl. n heißt Primzahl, wenn ...
Formaler:
n>1 ist eine natürliche Zahl ==>
n ist Primzahl :<==> nur 1 und n teilt n
Also eine partielle Definition, bei der "n>1 ist eine natürliche Zahl"
die Voraussetzung der Definition ist.

Diese Voraussetzung muss dann auch _immer_ in mathematischen Sätzen über Primzahlen gemacht werden.
Beispiel:
Satz:
n>1 ist eine natürliche Zahl ==>
n ist Primzahl ==> 2 teilt n+1

Ist das korrekt ?

mfg
cx




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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-03-17


2019-03-17 18:14 - carlox in Beitrag No. 12 schreibt:
Satz:
n>1 ist eine natürliche Zahl ==>
n ist Primzahl ==> 2 teilt n+1

Ist das korrekt ?

Natürlich nicht! (Und du weißt auch, warum.)

Zudem:
Ob n eine Primzahl ist, sollte man nicht nur für natürliche Zahlen > 1 definieren. Denn die Frage, ob 1 (oder auch 0, jenachdem, wie die natürlichen Zahlen definiert sind) zu den Primzahlen gehört, wird ja zuweilen diskutiert. Und das hat sich in der Mathematikgeschichte auch geändert. 1 ist sozusagen der Planet Pluto unter den Primzahlen.

Bei "n>1 ist eine natürliche Zahl ==> n ist Primzahl ==> 2 teilt n+1" sollte zudem beachtet werden, dass "==>" nicht assoziativ ist. Wie es hier steht könnte man es auch interpretieren als: Jede natürliche Zahl >1 ist eine ungerade Primzahl.



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Ralip
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-03-17


Hey,
ich möchte nur kurz deinen Satz korregieren:

n>1 ist eine natürliche Zahl ==>
n ist Primzahl ==> 2 teilt n+1

Das ist falsch und nur richtig, wenn du sagst: n>2. Ansonsten lässt es sich für n = 2 falsifizieren.


Ansonsten würde ich deine Frage folgendermaßen einschätzen:

n>1 ist eine natürliche Zahl ==>
n ist Primzahl :<==> nur 1 und n teilt n

Das ist deine Primzahldefinition. Es macht in meinen Augen keinen Sinn das so zu notieren. Schreib es doch lieber so:

n Element IN ist Primzahl :<==> (n>1) und (Nur 1 und n teilen n)

Dann wird, wenn die Primzahldefinition verwendet wird, direkt impliziert, dass n>1.

Anderes Beispiel:
Wenn man sagt: Sei f: G -> H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist klar, dass G und H Gruppen sind. Das schreibt man nicht jedes mal dazu - wozu auch?



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-18


Hallo Ralip,
2019-03-17 22:18 - Ralip in Beitrag No. 14 schreibt:

n>1 ist eine natürliche Zahl ==>
n ist Primzahl :<==> nur 1 und n teilt n

Das ist deine Primzahldefinition. Es macht in meinen Augen keinen Sinn das so zu notieren.

Warum ?


Schreib es doch lieber so:
n Element IN ist Primzahl :<==> (n>1) und (Nur 1 und n teilen n)
Dann wird, wenn die Primzahldefinition verwendet wird, direkt impliziert, dass n>1.
Bei deiner Definition kann man für n auch 3,14 einsetzen.
Dadurch folgt dann (je nachdem ob die rechte Seite wahr oder falsch ist):
"3,14 Element N ist Primzahl" bzw.
nicht "3,14 Element N ist eine Primzahl".
Das sind aber mathematisch sinnlose Konstrukte.
Siehe Beitrag 8 von StrgAltEntf
Deshalb - damit dies verhindert werden soll -  verwendet man partielle Definitionen.
So habe ich das zumindst verstanden.

mfg
cx





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carlox
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Dabei seit: 22.02.2007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-18


2019-03-17 22:17 - StrgAltEntf in Beitrag No. 13 schreibt:
2019-03-17 18:14 - carlox in Beitrag No. 12 schreibt:
Satz:
n>1 ist eine natürliche Zahl ==>
n ist Primzahl ==> 2 teilt n+1
Ist das korrekt ?

Natürlich nicht! (Und du weißt auch, warum.)
Ich korrigiere:
Satz:
n>1 ist eine natürliche Zahl ==>
( n>2 ist Primzahl ==> 2 teilt n+1 )
Ist das korrekt ?


Zudem:
Ob n eine Primzahl ist, sollte man nicht nur für natürliche Zahlen > 1 definieren. Denn die Frage, ob 1 (oder auch 0, jenachdem, wie die natürlichen Zahlen definiert sind) zu den Primzahlen gehört, wird ja zuweilen diskutiert. Und das hat sich in der Mathematikgeschichte auch geändert. 1 ist sozusagen der Planet Pluto unter den Primzahlen.
Um das geht es mir hier nicht.
Es geht mir um Beispiele zu partiellen Definitionen mit zugehörigen Sätzen (Beispiele)


Bei "n>1 ist eine natürliche Zahl ==> n ist Primzahl ==> 2 teilt n+1" sollte zudem beachtet werden, dass "==>" nicht assoziativ ist.
Linksassoziativ oder rechtsassoziativ ?


Wie es hier steht könnte man es auch interpretieren als: Jede natürliche Zahl >1 ist eine ungerade Primzahl.
Das verstehe ich nicht. Kannst du mir es bitte erklären ?

mfg
cx





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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-03-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2019-03-18 08:44 - carlox in Beitrag No. 16 schreibt:

Bei "n>1 ist eine natürliche Zahl ==> n ist Primzahl ==> 2 teilt n+1" sollte zudem beachtet werden, dass "==>" nicht assoziativ ist.
Linksassoziativ oder rechtsassoziativ ?
Am besten wählt man die Syntax so, dass ein klammerloser Ausdruck "die" simpelst mögliche Bedeutung hat, oder "die" am häufigsten benötigte. (Ich schreibe das "die" in Scare-Quotes, weil es ja eigentlich mehrere Möglichkeiten geben kann.)
Beim Implikationspfeil ist ziemlich klar: Rechtsassoziativität ist "richtig":
$A \to B \to C \to D$ sollte für $A \to (B \to (C \to D))$ stehen, da das üblicherweise äquivalent zu dem ganz einfach zu verstehenden $A \land B \land C \to D$ ist. $((A \to B) \to C) \to D$ ist dagegen etwas viel seltener benötigtes und zugleich viel komplizierteres. Dafür kann man schonmal Klammern verlangen.
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-03-18


So langsam verstehe ich, worum es Carlox geht.

StrAltEntf schreibt in #8, dass der Satz "3,14 ist keine Primzahl" eine sinnfreie Aussage sei.
Das sehe ich nicht so. Es gibt die Menge der Primzahlen $P=\{2,3,5,7,...\}$ und die Zahl 3.14 gehört nicht dazu. 3.14 ist also keine Primzahl.

Das Beispiel Primzahl ist auch nicht so geeignet, weil mir keine alternative Bedeutung des Begriffes "Primzahl" bekannt ist.

Nehmen wir mal den Begriff "Kreis". Ein Kreis in der euklidischen Geometrie ist etwas anderes als ein Kreis in der Graphentheorie. Aus der Information "K ist ein Kreis" allein, kann man noch nicht darauf schließen, dass K eine Punktmenge in der euklidischen Ebenes ist.

Ich denke, die Verwirrung würde sich auflösen, wenn man die Definitionen exakter formulieren würde. Denn im Grunde sind alle mathematischen Definitionen so ausgelegt, dass man von jedem Objekt sagen kann, ob es die Eigenschaft hat oder nicht(*).

Goldhamster sind keine gleichmäßig stetige Funktionen Punkt.


(*) Man muss nur ggf. angeben, welche Eigenschaft man mit einem bestimmten Begriff _genau_ meint.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]



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Ralip
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-03-18


2019-03-18 08:06 - carlox in Beitrag No. 15 schreibt:
Hallo Ralip,
2019-03-17 22:18 - Ralip in Beitrag No. 14 schreibt:

n>1 ist eine natürliche Zahl ==>
n ist Primzahl :<==> nur 1 und n teilt n

Das ist deine Primzahldefinition. Es macht in meinen Augen keinen Sinn das so zu notieren.

Warum ?

In meinen Augen macht das daher wenig Sinn (nicht keinen Sinn), da deine Definition vorraussetzt, dass n > 1 ist.

Ansonsten kann man eine Primzahl überhaupt nicht definieren. Also könnte man auch nicht aussagen, dass 1 keine Primzahl ist, denn für 1 ist deine Definition überhaupt nicht greifend! Sie existiert quasi nicht.
Deine Definition findet da keine Anwendung. Also kannst du basierend auf ihr auch nicht sagen, dass 1 keine Primzahl ist. Dein Primzahlbegriff ist nämlich für 1 nicht definiert.

Schreibst du es jedoch so, wie ich vorschlug:

n ist eine natürliche Zahl ==>
(n ist Primzahl :<==> ((n>1) und (Nur 1 und n teilt n))

Auf diese Weise kannst du sehr wohl negieren, dass 1 eine Primzahl ist.


Hinweis: Allerdings bin ich kein Logiker. Bitte korregiert mich, sollte etwas falsch sein! Aber so verstehe ich es zummindest.



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-18


Hallo Ralip,

In meinen Augen macht das daher wenig Sinn (nicht keinen Sinn), da deine Definition vorraussetzt, dass n > 1 ist.
Ansonsten kann man eine Primzahl überhaupt nicht definieren. Also könnte man auch nicht aussagen, dass 1 keine Primzahl ist, denn für 1 ist deine Definition überhaupt nicht greifend! Sie existiert quasi nicht.
Deine Definition findet da keine Anwendung. Also kannst du basierend auf ihr auch nicht sagen, dass 1 keine Primzahl ist. Dein Primzahlbegriff ist nämlich für 1 nicht definiert.
Über Umwege (induktiv definierte Mengen) könnte man das schon, wie z.B. bei der Definition der  Menge aller Terme über Regeln. Aber darauf will ich jetzt nicht hinaus.
Das von mir Formulierte sind partielle Definitionen und da sind deine Einwände berechtigt.
Wenn man dann nur Sätze formuliert, die als Voraussetzung auch die Voraussetzung der partiellen Definition haben, dann hätte man damit zwar kein Problem. Trotzdem hat man dann immer noch das von dir geschilderte Problem, wie z.B. dass nicht aus der Definition hervorgeht, ob 1 eine Primzahl ist.


Schreibst du es jedoch so, wie ich vorschlug:
n ist eine natürliche Zahl ==>
(n ist Primzahl :<==> ((n>1) und (Nur 1 und n teilt n))
Das ist aber auch eine partielle Definition.


Auf diese Weise kannst du sehr wohl negieren, dass 1 eine Primzahl ist.
Aber  über 3,14 kannst du nichts mehr aussagen.


Hinweis: Allerdings bin ich kein Logiker.
Ich auch nicht. Zumindest habe ich keine Expertise auf diesem Gebiet.
Trotzdem kann ich einen Vorschlag machen:
Ich lehne mich im Folgenden an das Vorgehen an, das der Logiker Ebbinghaus "Einführung in die Mengenlehre" (S.19/20) bei der Formalisierung der Mengenlehre in erster Stufe, gemacht hat.

P ist Abkürzung für das Prädikat "ist Primzahl".
N ist Abkürzung für das Prädikat "ist natürliche Zahl".

Pn :<==> Nn und n>1 und (Nur 1 teilt n  und n teilt n)

Im Definiendum (links des Äquivalenzpfeils) steht also eine Primformel mit einem Prädikat.
Man befindet sich also in einer Sprache 1. Stufe, deren Symbolmenge nur aus dem Elementzeichen besteht wobei dort noch Prädikate (wie Teilmenge) und Funktionszeichen definiert werden.
Zusätzlich kann man dort auch noch selbst Prädikate definieren, wie z.B. in meinem Beispiel P.

Was meint ihr dazu ?
Kann man das von geschilderte Beispiel als Verfahren verwenden, wie man partielle Definitionen vermeiden kann?
Was handelt man sich für Nachteile damit ein ?

mfg
cx




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Ralip
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Hey carlox,
ich habe mir das nochmal angeguckt und verstehe leider nicht so ganz was deine Frage ist.

"
V: Voraussetzung der Definition
D: Das zu Definierende
V -->  (D :<--> E)

Angenommen es sei D.
Dann kann man nicht mehr auf V schließen.
das verstehe ich nicht.
"

Das wurde bereits gesagt, aber du kannst aus D nichts schließen. D ist eine Definition; schließen kann man aus einer Aussage.
Wenn V nicht gelten sollte, kannst du auch nichts über das Zutreffen der Definition D aussagen, denn dann existiert sie garnicht.

Meinst du evtl, dass wenn man sagt p sei eine Primzahl, dass dann impliziert wird, dass p eine natürliche Zahl ist und dieses Implizieren jedoch mit partiellen Definitionen nicht möglich ist?

n ist eine natürliche Zahl ==>
(n ist Primzahl :<==> ((n>1) und (Nur 1 und n teilt n))

Dies ist eine partielle Definition, ja. Und auch könnte man nicht negieren, dass 3.14 eine Primzahl ist.
Sieht man das als Nachteil (ich tue das nicht), dann kann man sie, wie du es bereits getan hast, modifizieren:
Pn :<==> Nn und n>1 und (Nur 1 teilt n  und n teilt n)

Ich wüsste nicht, dass diese Definition Nachteile birgt, korregiert mich wenn doch.

Der wesentliche Unterschied ist ja, dass sie auf alle Zahlen anwendbar ist, sogar über Zahlen hinaus. Man könnte damit auch negieren, dass {0, 9, 3} eine Primzahl ist, oder, dass Z/3Z eine ist - ebensowenig Goldhamster*.
Dagegen ist meine genannte Definition nur auf natürliche Zahlen anwendbar und diese Negationen sind nicht möglich. Für mich stellt dies jedoch auch keinen erkannbaren Nachteil dar.


"
Über Umwege (induktiv definierte Mengen) könnte man das schon, wie z.B. bei der Definition der  Menge aller Terme über Regeln. Aber darauf will ich jetzt nicht hinaus.
"
Das verstehe ich ehrlich gesagt nicht, was meinst du?


---
Das wäre meine Ansicht.



* Es sei denn, man hat ein goldhamster basiertes Peano-Modell ;D
(Oder liege ich hier falsch?)



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Ralip
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2019-03-18 10:52 - Kitaktus in Beitrag No. 18 schreibt:
Ich denke, die Verwirrung würde sich auflösen, wenn man die Definitionen exakter formulieren würde.

Wenn ich dich richtig verstehe, denke ich das auch.

Du hast das Beispiel der kommutativen Gruppe genannt. Wenn man sagt G sei eine kommutative Gruppe, würde man vorraussetzen, dass G eine Gruppe ist, sagst du.

Definiert man eine kommutative Gruppe jedoch so:
G kommutative Gruppe :<=> ((G,*) Gruppe und * kommutativ)

Dann besteht diese Vorraussetzung nicht mehr.
Würde man jede Definition jedesmal ausschreiben, so wie oben, dann hätte sich deine Frage geklärt?

Oder wie meinst du es?

Grüße



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2019-03-19


@tactac,

Mich hat in Deinem Beitrag #16 zunächst folgendes verwirrt:

"A→B→C→D sollte für A→(B→(C→D)) stehen, da das üblicherweise
äquivalent zu dem ganz einfach zu verstehenden A∧B∧C→D ist"

Da A∧B∧C→D äquivalent zu C∧B∧A→D ist, folgt nach Deinen  
Ausführungen C→B→A→D äquivalent zu A→B→C→D.

Angenommen A steht für \(x\in\mathbb{N}\), B steht für \(x\in\mathbb{Q}\), C steht für \(x\in\mathbb{R}\)
und D steht für \(x\in\mathbb{C}\), dann führt C→B→A→D ganz ohne Klammerung eventuell
zum Schluß C→B, was aber falsch ist.

Sollte man deshalb hier nicht besser immer die Klammern schreiben,
d.h. C→(B→(A→D)) ist äquivalent zu A→(B→(C→D)) ?

Gruß Orthonom



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2019-03-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2019-03-19 10:37 - Orthonom in Beitrag No. 23 schreibt:
@tactac,

Mich hat in Deinem Beitrag #16 zunächst folgendes verwirrt:

"A→B→C→D sollte für A→(B→(C→D)) stehen, da das üblicherweise
äquivalent zu dem ganz einfach zu verstehenden A∧B∧C→D ist"

Da A∧B∧C→D äquivalent zu C∧B∧A→D ist, folgt nach Deinen  
Ausführungen C→B→A→D äquivalent zu A→B→C→D.
So ist es.

Angenommen A steht für \(x\in\mathbb{N}\), B steht für \(x\in\mathbb{Q}\), C steht für \(x\in\mathbb{R}\)
und D steht für \(x\in\mathbb{C}\), dann führt C→B→A→D ganz ohne Klammerung eventuell zum Schluß C→B, was aber falsch ist.
Aus $C\to B\to A \to D$ mit der angegebenen Syntaxkonvention kann man $C \to B$ i.A. nicht schließen.

Sollte man deshalb hier nicht besser immer die Klammern schreiben,
d.h. C→(B→(A→D)) ist äquivalent zu A→(B→(C→D)) ?
Die Frage war nicht, ob man Klammern schreiben sollte, sondern wofür die Zeichenfolge ohne Klammern stehen sollte. Und wenn diesbezüglich etwas festgelegt ist, sind manche Klammern überflüssig.
Bei größeren Formeln kann es sinnvoll sein, eine gute Konvention zu haben und die auch wirklich zu benutzen. Beispiel:
$$(A \to C) \to (B \to C) \to A \lor B \to C$$
finde ich lesbarer als
$$(A \to C) \to ((B \to C) \to (A \lor B \to C)).$$
\(\endgroup\)


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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2019-03-19


@tactac
Danke für die Antwort!
Wenn jeder diese Syntaxkonvention kennt und einhält,
dann ist natürlich klar, dass aus C→B→A→D nicht C→B folgt.
Ich weiß, dass die Frage nicht war, ob man Klammern
schreiben sollte. Aber angenommen, diese Syntaxkonvention
ist nicht sofort jedem klar, dann wäre eventuell
eine Klammerung vorzuziehen, um Missverständnisse zu
verhindern.
Aber das sind Ansichtssachen...
Mein Problem war, dass ich zunächst intuitiv,
ohne die Konvention zu kennen, C→B→A→D
als C→B \(\land\) B→A \(\land\) A→D gelesen hätte.





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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2019-03-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2019-03-19 11:58 - Orthonom in Beitrag No. 25 schreibt:
Mein Problem war, dass ich zunächst intuitiv,
ohne die Konvention zu kennen, C→B→A→D
als C→B \(\land\) B→A \(\land\) A→D gelesen hätte.
womit du wahrscheinlich $$(C→B) \land (B→A) \land (A→D)$$meinst. ;D  (Bei mir bindet $\to$ ziemlich schwach, und die Klammern sind erforderlich.)
\(\endgroup\)


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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2019-03-19


:) ja genau, das meinte ich...
Bei mir wiederum, bindet -> sehr stark.






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carlox
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Hallo Ralip,
2019-03-19 09:58 - Ralip in Beitrag No. 21 schreibt:
ich habe mir das nochmal angeguckt und verstehe leider nicht so ganz was deine Frage ist.

"
V: Voraussetzung der Definition
D: Das zu Definierende
V -->  (D :<--> E)

Angenommen es sei D.
Dann kann man nicht mehr auf V schließen.
das verstehe ich nicht.
"

Das wurde bereits gesagt, aber du kannst aus D nichts schließen. D ist eine Definition; schließen kann man aus einer Aussage.
Wenn V nicht gelten sollte, kannst du auch nichts über das Zutreffen der Definition D aussagen, denn dann existiert sie garnicht.

Meinst du evtl, dass wenn man sagt p sei eine Primzahl, dass dann impliziert wird, dass p eine natürliche Zahl ist und dieses Implizieren jedoch mit partiellen Definitionen nicht möglich ist?
Genau das meine ich.



n ist eine natürliche Zahl ==>
(n ist Primzahl :<==> ((n>1) und (Nur 1 und n teilt n))

Dies ist eine partielle Definition, ja. Und auch könnte man nicht negieren, dass 3.14 eine Primzahl ist.

Du meinst, dass man daraus nicht folgern kann:
"3,14 ist eine Primzahl"
und auch nicht folgern kann:
nicht "3,14 ist eine Primzahl"
Ist dann "3,14 ist eine Primzahl" mathematisch sinnlos?

Eigentlich müsste es einen "Mathe-Compiler geben, der die Syntax eines mathematischen Textes prüft, also ob alle Zeichenfolgen des mathematischen Textes syntaktisch korrekte mathematische Objekte sind.
Könnte man das für obiges Beispiel wie folgt definieren? (P steht für das Prädikat "ist Primzahl")
Die Menge aller Formeln der Form P n , wobei n eine natürliche Zahl ist und n>1 sind syntaktisch korrekte mathematische Objekte.
Die Menge aller Formeln der Form
(P n :<==> ((n>1) und (Nur 1 und n teilt n))
wobei n eine natürliche Zahl ist und n>1  sind syntaktisch korrekte mathematische Objekte.
Dann folgt daraus, dass "3,14 ist eine Primzahl" kein syntaktisch korrektes mathematisches Objekt ist.
Dieser "Mathe-Compiler" müsste dann z.B. auch die Division durch 0 verbieten.


Sieht man das als Nachteil (ich tue das nicht), dann kann man sie, wie du es bereits getan hast, modifizieren:
Pn :<==> Nn und n>1 und (Nur 1 teilt n  und n teilt n)

Ich wüsste nicht, dass diese Definition Nachteile birgt, korregiert mich wenn doch.

Ja, mit dieser Methode werde ich das in Zukunft auch machen.

Aber mit dieser Methode kannst du z.B. keinen Term definieren.
Dazu brauchst du eine "induktiv definierte Menge" und diese befindet sich auf metasprachlicher Ebene.


mfg
cx






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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-24


Eine konkrete Definition dazu:

Auf S.38 des Buches "Einführung in die mathematische Logik" von Prof. Ebbinghaus wird definiert:
=================================
$\text{Das Koinzidenzlemma besagt insbesondere, dass für einen S-Ausdruck } \varphi \\$
$\text{und eine S-Interpretation } \mathfrak{I} = (\mathfrak{A}, \beta) \text{ die Gültigkeit von } \varphi \text{ bei } \mathfrak{I} \text{ außer von der Interpretation } \\$
$\text{des  Symbole aus S (durch } \mathfrak{A} \text{) nur von der Belegung der endlich vielen in } \varphi \text{ vorkommenden} \\$
$\text{Variablen abhängt. Sind diese unter den Variablen } v_0, ..., v_{n-1} \text{  enthalten, d.h. ist} \\$
$\varphi \in L_n ^s \text{ , so sind höchstens die } \beta \text{-Werte } \alpha_ i = \beta(v_i) \text{ für i=0, ..., n-1 von Bedeutung.} \\$
$\text{ Statt } (\mathfrak{A}, \beta) \models \varphi \text{ werden wir daher oft suggestiver schreiben:} \\$
$\mathfrak{A} \models \varphi[a_0, ..., a_{n-1}] \\$
==================================

Ich habe diese Definition so formalisiert:

$\text{Definition:} \\$
$\mathfrak{A} \models  \varphi[\beta(v_0), ... ,\beta(v_{n-1})]  :\iff \\$
$(\mathfrak{A}, \beta) \models  \varphi \text{ und frei(} \varphi) \subset  V_n \\$


$\text{wobei gilt:} \\$
$\text{V = } v_0, v_1 , v_2, ... \text{Menge aller Variablen des Alphabets einer Sprache erster Stufe.} \\$
$V_n := \{v_0, v_1 , ... , v_{n-1} \} \\$
$\text{frei( }\varphi \text{) := Menge aller in } \varphi \text{ frei vorkommenden Variablen} \\$



Frage:
Ist die Definition von mir korrekt formalisiert ?

mfg
cx



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