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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » ** Dreieck mit Quadrat
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Kein bestimmter Bereich ** Dreieck mit Quadrat
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
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Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-15


Hallo zusammen,
nachfolgend ein überraschend schwieriges Rätselchen:

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit der Hypotenuse $c$ ist ein Quadrat der Kantenlänge $q$ wie skizziert eingezeichnet. Gegeben seien $c$ und $q$, berechne $a$ und $b$.
Lösungen bitte per PM, nicht im Hidebereich.

EDIT: Um die Lösung eindeutig zu machen, sei außerdem $a\leq b$.

Ciao,

Thomas



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haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1970
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-15


Monty, das ist eine variante des bekannten "BOX-LEITER-PROBLEMS":

jeder handwerker kann eine (ausreichend lange) leiter so an jede an der wand stehenden kiste schieben dass sie den boden, die kiste, und die wand berührt

kein architekt oder ingenieur konnte, meines wissens, (mit den selbigen vorgaben) bisher eine elementargeometrische zeichnung anfertigen aus der die berührpunkte A+B auf dem boden und der wand hervorgehen

- variante, weil es für das problem im allgemeinen nichtmal notwendig ist dass die kiste einen quadratischen querschnitt hat -


praktisch gehts oft, nur weiss genauso oft keiner wiso und warum...
haribo







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Orthonom
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 495
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-15


Hallo,

man kann den Ansatz \(a^2+b^2=c^2\) und \(q (a+b)= ab\) machen
und nach a und b bei c,q gegeben lösen. Das Schwierige daran ist
hier wohl, die realistische Lösung mit a<=b zu finden. Zudem muss man sich dabei wohl überlegen, welche Werte c und q in Frage kommen können.
Ich weiß nicht, was mit MP gemeint ist und hoffe, dass man einfach
hier einen öffentlichen Beitrag schreiben kann.

Gruß Orthonom



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weird
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Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4709
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-15


2019-03-15 13:17 - Orthonom in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich weiß nicht, was mit MP gemeint ist und hoffe, dass man einfach
hier einen öffentlichen Beitrag schreiben kann.

Ne, genau verkehrt, du musst das umdrehen, dann wird PM (=private message) draus, d.h., mit dieser solltest du dem TS die Lösung zukommen lassen.   cool  



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Orthonom
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 495
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-15


Dann bin ich quasi dick ins Fettnäpfchen getreten... :)
Sorry!



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MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1680
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15


Hallo zusammen,
wie mir inzwischen auch per PM mitgeteilt wurde, ist das Problem und seine Lösung doch recht bekannt, so dass es keinen Sinn macht, das Rätsel fortzuführen.
Nachfolgend meine (wie ich meine) recht elegante Lösung. Wer eine schönere / einfachere / kürzere Lösung hat, bitte gerne noch posten.  smile

Aufgrund der Ähnlichkeit der beiden kleineren Teildreiecke gilt:
$$\frac{b-q}q=\frac q{a-q}$$$$(a-q)(b-q)=q^2$$$$(1)\qquad ab=q(a+b)$$Außerdem gilt wegen Pythagoras:
$$a^2+b^2=c^2$$$$(2)\qquad(a+b)^2-2ab=c^2$$Für $ab$ setzen wir Gleichung (1) ein:
$$(a+b)^2-2q(a+b)-c^2=0$$pq-Formel anwenden für $(a+b)$:
$$a+b=q\pm\sqrt{q^2+c^2}$$Da $\sqrt{q^2+c^2}>q$, kommt nur die Plus-Wurzel als Lösung in Frage:
$$(3)\qquad a+b=q+\sqrt{q^2+c^2}$$Außerdem gilt trivialerweise (mit $b\ge a$):
$$a=\frac12(a+b)-\frac12(b-a)=\frac12(a+b)-\frac12\sqrt{(b-a)^2}=\frac12(a+b)-\frac12\sqrt{a^2+b^2-2ab}$$Für $ab$ setzen wir Gleichung (1) ein, und wir nutzen noch einmal $a^2+b^2=c^2$:
$$a=\frac12(a+b)-\frac12\sqrt{c^2-2q(a+b)}$$Jetzt nur noch Gleichung (3) einsetzen:
$$a=\frac12\left(q+\sqrt{q^2+c^2}\right)-\frac12\sqrt{c^2-2q\left(q+\sqrt{q^2+c^2}\right)}$$$b$ das gleiche mit "plus" vor der Wurzel, wie man mithilfe von Gleichung (3) leicht nachvollziehen kann.

Ciao,

Thomas



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-15


Ich wollte gerade fragen, ob das elementargeometrisch lösbar ist auf etwas Analytisches rausläuft. Aber jetzt sehe ich es.
Ja, nicht schlecht...

________________________
*Neues* Rätsel (bei Interesse): Link** Planimetrie - Dreieckskonstruktion aus Seite, Seitenhalbierender und gegenüberliegendem Winkel



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Orthonom
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Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 495
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-15


Auf die Gleichung \(q(a+b)=ab\) kommt man auch, wenn man die Fläche des Dreiecks auf zwei verschiedene Arten berechnet:
Zum einen ist die Fläche \(ab/2\) und zum andern \(qa/2+qb/2\).
Zudem kann man sich überlegen, dass immer \(c\ge 2 \sqrt{2}\, q\) gelten muß,
sonst macht die Aufgabe keinen Sinn.
Ich finde den angebenen Lösungsweg sehr elegant und einfach
nachzuvollziehen.



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haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-15




von C ausgehend ein c-quadrat zeichnen,
darin eine viertel "normal"-astroide,
von der ecke nach oben eine tangente an die astroide,
die tangente bis wand und boden verlängern ergibt "c"

auch hier ist es für die konstruktion egal ob die box quadratischen querschnitt hat (grünes rechteck)

haribo


p.s.kann man ne astroide (oder wahlweise eine 1/x kurve) elementargeometrisch zeichnen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-03-15


konstruktion mit kreis und q²/x
der koordinatenursprung für die q²/x kurve befindet sich in der ecke der box


haribo

diesen weg müsste man doch auch ganz gut rechnen können???



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