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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Differentialgleichung
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Autor
Universität/Hochschule J Differentialgleichung
RogerKlotz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 06.03.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-15


Hallo.
Ich muss folgende DGL lösen:

\[x^{'}(t)+x(t)=e^{-t}cos(t) ,x(0)=1\]
Ich betrachte zuerst die homogene Lösung:
\[\Rightarrow \frac{dx}{dt} = -x \Rightarrow dx= -x dt \Rightarrow \frac{1}{x} dx = -1 dt\] Löse mittels unbestimmten Integral:
\[\Rightarrow \int_{}^{} \! \frac{1}{x}  \, dx = \int_{}^{} \! -1 \, dt\Rightarrow x= ce^{-t}  \] Bestimme Ableitung und setze ein:
\[x^{'}= c^{'}e^{-t}-ce^{-t}

\Rightarrow   c^{'}e^{-t}-ce^{-t}+ce^{-t} = e^{-t}cos(t)   \]
Löse nach c auf mit:
\[c^{'}e^{-t}=e^{-t}cos(t) |\cdot e^{t}
\Rightarrow c^{'}=cos(t)
\Rightarrow      C=\int_{}^{} \! cos(t) \, dt = sin(t)+c
\Rightarrow x=(sin(t)+c)\cdot e^{-t} = sin(t)e^{-t}+ce^{-t}\]
Die Bedingung wäre mit c=1 erfüllt.

Alles korrekt oder falsch?

Grüße



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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8490
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-15


Hallo,

man kann doch einfach eine Probe machen.

Wally



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RogerKlotz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 32
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15


Wie sieht denn so eine Probe aus? biggrin



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 982
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-15


Hallo,

2019-03-15 12:03 - RogerKlotz in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie sieht denn so eine Probe aus? :-D

ableiten, und dann mit Lösung und deren Ableitung in die DGL eingehen...

Gruß, Diophant



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