Die Mathe-Redaktion - 25.03.2019 07:26 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Sept.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 291 Gäste und 9 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Ueli rlk
Physik » Elektrodynamik » Quadrupol- und Dipolmoment
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Quadrupol- und Dipolmoment
Stefanboltzmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.11.2018
Mitteilungen: 55
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-15 13:25


Guten Tag,

ich komme bei folgender Aufgabe ein wenig durcheinander.

Ich soll das Dipolmoment d sowie das Quadrupolmoment Q eines Zylinders berechnen.
Der Zylinder hat den Radius R und die Gesamthöhe 2L. Jedoch ist dieser Zylinder in zwei Zylinder unterteilt, die jeweils aus einem Zylinder mit der Höhe L bestehen. Der obere besitzt die homogene Ladungsdichte rho und der untere -rho.

Rechnung:

fed-Code einblenden

Das Quadrupolmoment ist aber falsch.
Jetzt frage ich mich, warum ich überhaupt einfach die zwei unterschiedlichen Ladungsdichten als eine gemeinsame positive betrachten konnte?
Und wieso es dann beim Quadrupol nicht mehr aufgeht.

Ich denke es gibt einen grundsätzlich besseren Ansatz, um das Problem der zwei unterschiedlichen Ladungsdichten zu handhaben. Nur wie sieht der aus und/oder bei welchem Schritt mache ich etwas falsch?


Grüße

Stefanboltzmann



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 129
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-15 16:03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
Hallo Stefanboltzmann,

der Grund scheint mir die Wahl deines Koordinatensystems zu sein. Normalerweise würde man bei einer homogenen, punktsymmetrischen Ladungsverteilung das Dipolmoment $\vec p=0$ erwarten. Dipolmomente tauchen nämlich genau dann auf, wenn die Ladung nicht symmetrisch um den Ursprung verteilt ist. Und mit deinem Koordinatensystem ist sie das tatsächlich auch nicht: Dein Ursprung ist am Boden des Zylinders. Typischerweise würde man den Ursprung aber in den Symmetriepunkt legen, also die Mitte des Zylinders. Bei der typischen Wahl des Ursprungs mit korrekter Dichte wäre auf der einen Seite die Ladung $Q_1=Q=\rho\pi R^2L$, und auf der anderen Seite die Ladung $Q_2=-Q$, die Ladungsdifferenz beider Seiten also $2Q$. Du hast halt auf einer Seite $Q_1=2\rho\pi R^2L=2Q$ und auf der anderen Seite $Q_2=0$. Die Ladungsdifferenz ist also auch $2Q$. Ich hätte zwar wegen der unterschiedlichen Geometrie trotzdem einen Unterschied erwartet (ein Teil der Ladung ist weiter weg vom Zylinder), aber 100% überraschend ist die Ähnlichkeit der Ergebnisse doch nicht.

Wenn man es korrekt und mit der typischen Wahl des Ursprungs machen wollte, so würde das Dipolmoment so aussehen:

\[\vec p=\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_{-L}^L\rho(\vec r)\vec rr\mathrm dz\mathrm d\varphi\mathrm dr\\
=\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_{-L}^L\rho(\vec r)
\left(
\begin{array}{c}
r^2\cos(\varphi)\\
r^2\sin(\varphi)\\
rz\\
\end{array}
\right)
\mathrm dz\mathrm d\varphi\mathrm dr\]
Davon verschwinden natürlich die $x$- und $y$-Komponenten, und bei der $z$-Komponente unterteilt man das Integral in eins von $-L$ bis $0$ und eins von $0$ bis $L$:

\[p_z=2\pi R^2\left(\int_{-L}^0-\rho z\mathrm dz+\int_0^L\rho z\mathrm dz\right)=2\pi R^2L^2\rho\]
Eigentlich sollte bei deiner Rechnung auch $4\pi R^2L^2\rho$ herauskommen, also macht es ja doch einen Unterschied.

Also zusammenfassend: Lege den Koordinatenursprung am besten immer in den Symmetriepunkt. Und dann ziehe nicht einfach ein konstantes $\rho$ aus dem Integral heraus, sondern behandle $\rho$ ganz normal als eine Funktion von $\vec r$. In dem Fall ist es halt eine stückweise konstante Funktion $\rho(r,\varphi,z)=\cases{\rho & $z>0$\\-\rho&$z<0$}$, und stückweise konstante Funktionen kann man herausziehen, wenn man stückweise integriert.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Stefanboltzmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.11.2018
Mitteilungen: 55
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15 16:32


Super, danke für deine Erklärung.
Das mit dem stückweise integrieren hatte ich auch im Kopf, nur wusste ich nicht, wie man das im Integral selber umsetzt.


Grüße

Stefannboltzmann.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Stefanboltzmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.11.2018
Mitteilungen: 55
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15 17:03


Leider komme ich bei dem Quadrupolmoment nicht auf das gewünschte Ergebnis.

fed-Code einblenden



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 129
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-15 18:17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
Zunächst mal sollte $\rho(r)$ innerhalb der Integrale stehen, denn es soll ja darüber integriert werden. Prinzipiell komme ich aber auch zum Ergebnis, dass $Q_{11}=0$ ist. Allerdings sehe ich darin kein großes Problem, denn ich würde auch erwarten, dass das Quadrupolmoment verschwindet.
Das Dipolmoment ist ja eine Überlagerung aller infinitesimalen Dipole, deren Symmetrizentrum in der Mitte des Zylinders liegt. Also wird zu jedem Punkt $P$ im Zylinder der am Zylinderzentrum gespiegelte Punkt $P'$ gefunden, und das (infinitesimale) Dipolmoment dieser beiden Punkte bestimmt. Das wird jetzt für alle Punkte gemacht, und die Dipolmomente werden aufintegriert, um das Dipolmoment des Zylinders zu erhalten.
Ähnlich mit dem Quadrupolmoment: Hier werden alle infinitesimalen Quadrupole integriert. Dafür findet man zu jedem Punkt $P$ den an der $z$-Achse gespiegelten Punkt $P'$, den an der $x-y$-Ebene gespiegelten Punkt $P''$, und den am Zylinderzentrum gespiegelten Punkt $P'''$. Deren Quadrupolmoment ist aber 0, denn die Ladungen sind nicht abwechselnd verteilt. 4 in einem Rechteck angeordnete gleich große Ladungen haben nur dann ein Quadrupolmoment, wenn die nebeneinanderliegenden Ladungen entgegengesetztes Vorzeichen haben, so wie hier. Im Prinzip wird das Quadrupolpotential berechnet, indem man das Dipolpotential der linken Hälfte mit dem Dipolpotential der rechten Hälfte überlagert. Wenn aber die beiden linken Ladungen gleich sind, dann ist ihr Dipolmoment 0, das selbe auf der rechten Seite. Die einzelnen Dipolpotentiale sind dann also 0, und das Quadrupolpotential damit ebenfalls. Und mit der eben beschriebenen Konstruktion erhält man lauter infinitesimale Quadrupolmomente, die 0 sind. Die aufzuintegrieren ergibt eben auch 0.

Wobei ich diese letzte Argumentation jetzt erst überlegt habe. 100% sich bin ich mir dabei jetzt nicht.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Stefanboltzmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.11.2018
Mitteilungen: 55
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15 18:50


Das Problem ist, dass die Musterlösung (leider ohne Rechnung) etwas anderes sagt.


 



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 129
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-15 19:24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
In der Lösung wurde nun doch komischerweise der Koordinatenursprung am Zylinderboden gewählt, zu sehen an $\rho(\vec r)=\dots(\Theta(L\leq z\leq2L)-\Theta(0\leq z\leq L))$. Dann kommt natürlich auch ein anderes Quadrupolmoment raus (übrigens auch ein anderes Dipolmoment, wenn du mein Ergebnis mit deiner Musterlösung vergleichst).
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Stefanboltzmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.11.2018
Mitteilungen: 55
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15 20:17


Stimmt.

Irgendwas passt da nicht, nur weiß ich leider nicht was.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 129
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-15 20:57

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
Führ einfach das letzte Integral, das bezüglich $z$, einfach einmal von $0$ bis $L$ mit Dichte $-\rho$, und einmal von $L$ bis $2L$ mit Dichte $\rho$ aus. Bis dahin war ja alles richtig (danach auch, nur halt in einem anderen Koordinatensystem als die Musterlösung).
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Stefanboltzmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.11.2018
Mitteilungen: 55
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-16 00:25


Stimmt, das würde passen.

Ich habe aber, meine ich, den Fehler in deiner Rechnung gefunden.
Durch die Integration von r nach dr kommt ein 1/2 hinzu welches die 2 herauskürzt. So passt das Ergebnis dann.

Nur leider komme ich, für das Quadrupolmoment, immer noch nicht auf das richtige Ergebnis, sondern nur auf das selbe Ergebnis, wie aus meinem ersten Beitrag.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 129
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-03-16 04:28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
Dann muss bei dir irgendwas rechnerisch schief laufen. Fürs Integral

\[\int_0^{2L}\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho(z)[2r^2\cos^2(\varphi)-r^2\sin^2(\varphi)-z^2]r~\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm dz\]
kommt auf jeden Fall das raus, was in der Musterlösung steht. Führ es im Zweifelsfall mal ganz kleinschrittig durch, bei solchen Termen aus Summen mit verschiedenen Vorzeichen und verschiedenen Potenzen unterläuft einem gerne mal ein Flüchtigkeitsfehler. Ich musste es auch nochmal ganz kleinteilig durchgehen, um das zu vermeiden.

Mit dem Faktor $\frac{1}{2}$ hast du übrigens Recht, da kommt dann bei beiden Koordinatensystemen das selbe fürs Dipolmoment raus. Fürs Quadrupolmoment aber nicht.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Stefanboltzmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.11.2018
Mitteilungen: 55
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-16 11:54


Ich komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis.
Vielleicht kannst du noch eimal auf meine Rechnung schauen.


fed-Code einblenden

Irgendwo habe ich anscheinend einen dicken Fehler drin.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 129
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-03-16 12:02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
Du hast nur ganz am Ende falsch gekürzt. Die Terme mit $R^4$ fallen alle weg.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Stefanboltzmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.11.2018
Mitteilungen: 55
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-16 12:17


Oh man, stimmt.

Danke für deine unermüdliche Hilfe.


Grüße

Stefanboltzmann



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Stefanboltzmann hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Stefanboltzmann hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]