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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » ** Planimetrie - Dreieckskonstruktion aus Seite, Seitenhalbierender und gegenüberliegendem Winkel
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Beruf ** Planimetrie - Dreieckskonstruktion aus Seite, Seitenhalbierender und gegenüberliegendem Winkel
Newbert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-15 14:47


Viele Konstruktionen laufen auf das Auffinden rechtwinkliger Dreiecke und entsprechender Auswertung hinaus. Hier ist ein Zusatz nötig.


Von einem Dreieck <math>ABC</math> sei die Seite <math>a</math>, ihre Seitenhalbierende <math>s_a</math> sowie der gegenüberliegende Winkel <math>\alpha</math> gegeben.

<math>% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %

\pgfmathsetmacro{\w}{(4*\sa^2-\a^2)/(4*cos(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\v}{(4*\sa^2+\a^2)/2} %
%v, w: \v, \w
\pgfmathsetmacro{\zI}{(\v+sqrt(\v^2-4*\w^2))/2} %
\pgfmathsetmacro{\zII}{(\v-sqrt(\v^2-4*\w^2))/2} %
%\zI, \zII
\pgfmathsetmacro{\bI}{sqrt(\zI)} %
\pgfmathsetmacro{\bII}{sqrt(\zII)} %
%b: \bI, \bII
\pgfmathsetmacro{\cI}{\w/\bI} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{\w/\bII} %
%c:  \cI, \cII

\pgfmathsetmacro{\b}{\bII} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cII} %

\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha/2))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %

\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\sa} % TESTWERT

\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}

\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,~A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} % hier gegeben

%\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c} %
%\pgfmathsetmacro{\AHc}{sqrt(\b^2-\hc^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\AHcRes}{\b > \a ? \AHc : -\AHc} %

\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Seite a
\draw[thick] (B) -- (C);
% Winkel alpha
\draw pic [angle radius=0.1*\c cm, angle eccentricity=1.3,
"$\alpha$", draw,  thick,
] {angle =B--A--C}; %

%% Koordinaten
%\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B}] (B) at (0,0);
%\coordinate[Punkt={anchor=north west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
%\coordinate[Punkt={right}{Z}] (Z) at (\AlphaB:\r);

% Seitenhalbierende
\draw[thick] (A) -- (Ma) node[pos=0.7, below]{$s_a$};

%% Grundseite
%\draw[] (B) -- (C);

%% Fasskreis
%% Radius
%\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (B) -- (Z);
%\draw[densely dashed, name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
%% Höhe
%\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (Ma) -- ($(Ma)+(0,\h)$); %  -- (Z)
%% Winkel
%\draw pic [angle radius=0.2*\h cm,
%"$\cdot$", draw,
%] {angle =Z--Ma--B}; %
%
%% Polkreise
%\ifnum\saIstTest=1{}\else%
%\ifnum\saIstTest=2{}\else%
%\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMax];%
%\draw[red, -latex] (Ma) --+ (20:\saMax) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.8] {$s_{a,\text{max}}$};%
%%
%\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMin];%
%\draw[red, -latex] (Ma) --+ (45:\saMin) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.6] {$s_{a,\text{min}}$};%
%\fi\fi%
%
%
%% kreis(Ma, sa)
%\path[draw, ErrorColor, name path=kreisMa] (Ma) circle[radius=\saIst];
%% Radius
%\ifnum\saIstTest=99\def\Pos{1.1}\else\def\Pos{0.6}\fi
%\path[draw, -latex] (Ma) --+ (-25:\saIst) node[ErrorColor, below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=\Pos] {\saTextB};
%
%% Schnittpunkte beider Kreise; und Dreiecke
%\ifnum\saIstTest=0{}\else%
%\ifnum\saIstTest=99{}\else%
%\path[name intersections={of=kreisMa and kreisZ, name=A}];
%\ifnum\saIstTest=1{%
%% Berührpunkt
%\coordinate[Punkt={}{A}] (A) at ([shift=(Ma)]90:\saIst);
%\draw[Dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreieck
%% Winkel
%\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =B--A--C}; %
%% Seitenhalbierende
%\draw (A) -- (Ma) node[pos=0.4,left]{$s_a$};
%% Punkte
%\draw[fill=black!1] (A) circle (2pt);
%%
%}\else%
%% Schnittpunkte
%\foreach \n/\Pos in {1/right,\saIstTest/left}{
%\coordinate[Punkt={\Pos}{A_\n}] (A\n) at (A-\n);
%\draw[Dreieck] (A\n) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreiecke
%% Winkel
%\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =B--A\n--C}; %
%% Seitenhalbierende
%\draw (A\n) -- (Ma) node[midway, above, sloped]{$s_a$};
%% Punkte
%\draw[fill=black!1] (A\n) circle (2pt);
%}\fi\fi\fi
%
%
%%\node[above] at (Z){\saIstTest}; % test
%
%
%
%% Annotationen
%\node[below of=A, anchor=north west, yshift=-0mm, draw, align=left, outer sep=0pt, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
%\alpha = \Alpha^\circ & \\
%a = \a \text{ cm} & \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a} = \saIst  \text{ cm}   \saTextA} \\ \hline
%s_{a, \text{min}} = \saMin  \text{ cm} & \\
%s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}&  \\
%\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}} \\ \hline
%b_1 = \bI \text{ cm} &  b_2 = \bII \text{ cm} \\
%c_1 = \cI \text{ cm} &  c_2 = \cII \text{ cm}  \\
%\end{array}$
%};

% Annotationen - Aufgabe
\path[local bounding box=scope1, draw=none]  (A) -- (A|-C);
\path[local bounding box=scope2, draw=none]  (C) -- (C|-A);
\pgfmathparse{\a > \sa ? "1" : "2"}
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \sa)} %
\begin{scope}[shift={($(scope\pgfmathresult.north)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,sa/s_a}
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$% = \csname \s \endcsname cm
};
\draw[yshift=-16mm] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [angle radius=7mm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =R--Q--P};
\end{scope}





%% Punkte
\foreach \P in {Ma}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>


(a) Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal.

(b) Gib Bedingungen für die Konstruktion an.

(c) Berechne die fehlenden Seitenlängen <math>b</math> und <math>c</math> aus den gegebenen Größen <math>a, s_a, \alpha</math>.








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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-15 18:15


Nur Lösung für Teil (a):


Wir beginnen mit der Strecke $BC$, deren Länge ja gegeben ist.
(1) Konstruiere den Mittelpunkt $M_a$ der Strecke $BC$.
(2) Errichte auf $BC$ ein gleichschenkliges Dreieck mit Basiswinkel $90°-\frac{\alpha}{2}$. Der Winkel in der Spitze dieses Dreiecks ist dann also genau $\alpha$.
(3) Konstruiere den Umkreis $K$ des Dreiecks aus (2).
(4) Konstriere einen Kreis $K'$ um $M_a$ mit Radius $s_a$.
(5) Wähle für $A$ einen Schnittpunkt von $K$ und $K'$.

Das damit erhaltene Dreieck $ABC$ hat die gewünschten Eigenschaften. Dass der Winkel bei $A$ tatsächlich $\alpha$ ist, folgt aus dem Umfangswinkelsatz.




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Newbert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-16 01:28


2019-03-15 18:15 - DavidM in Beitrag No. 1 schreibt:
Nur Lösung für Teil (a):

Das ist richtig. Interessant wird es bei den Bedingungen für die Konstruktion: Für die Strecken bekommt man eine einfache Beziehung. Für den Winkel habe ich einen Term hergeleitet, der nicht mehr ganz trivial ist. (Aber vll. geht es auch einfacher.)





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Newbert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-17 13:56


2019-03-15 14:47 - Newbert im Themenstart schreibt:
Von einem Dreieck <math>ABC</math> sei die Seite <math>a</math>, ihre Seitenhalbierende <math>s_a</math> sowie der gegenüberliegende Winkel <math>\alpha</math> gegeben.

<math>% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %

\pgfmathsetmacro{\w}{(4*\sa^2-\a^2)/(4*cos(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\v}{(4*\sa^2+\a^2)/2} %
%v, w: \v, \w
\pgfmathsetmacro{\zI}{(\v+sqrt(\v^2-4*\w^2))/2} %
\pgfmathsetmacro{\zII}{(\v-sqrt(\v^2-4*\w^2))/2} %
%\zI, \zII
\pgfmathsetmacro{\bI}{sqrt(\zI)} %
\pgfmathsetmacro{\bII}{sqrt(\zII)} %
%b: \bI, \bII
\pgfmathsetmacro{\cI}{\w/\bI} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{\w/\bII} %
%c:  \cI, \cII

\pgfmathsetmacro{\b}{\bII} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cII} %

\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha/2))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %

\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\sa} % TESTWERT

\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}

\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,~A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} % hier gegeben

%\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c} %
%\pgfmathsetmacro{\AHc}{sqrt(\b^2-\hc^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\AHcRes}{\b > \a ? \AHc : -\AHc} %

\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Seite a
\draw[thick] (B) -- (C);
% Winkel alpha
\draw pic [angle radius=0.1*\c cm, angle eccentricity=1.3,
"$\alpha$", draw,  thick,
] {angle =B--A--C}; %

%% Koordinaten
%\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B}] (B) at (0,0);
%\coordinate[Punkt={anchor=north west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
%\coordinate[Punkt={right}{Z}] (Z) at (\AlphaB:\r);

% Seitenhalbierende
\draw[thick] (A) -- (Ma) node[pos=0.7, below]{$s_a$};

%% Grundseite
%\draw[] (B) -- (C);

%% Fasskreis
%% Radius
%\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (B) -- (Z);
%\draw[densely dashed, name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
%% Höhe
%\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (Ma) -- ($(Ma)+(0,\h)$); %  -- (Z)
%% Winkel
%\draw pic [angle radius=0.2*\h cm,
%"$\cdot$", draw,
%] {angle =Z--Ma--B}; %
%
%% Polkreise
%\ifnum\saIstTest=1{}\else%
%\ifnum\saIstTest=2{}\else%
%\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMax];%
%\draw[red, -latex] (Ma) --+ (20:\saMax) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.8] {$s_{a,\text{max}}$};%
%%
%\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMin];%
%\draw[red, -latex] (Ma) --+ (45:\saMin) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.6] {$s_{a,\text{min}}$};%
%\fi\fi%
%
%
%% kreis(Ma, sa)
%\path[draw, ErrorColor, name path=kreisMa] (Ma) circle[radius=\saIst];
%% Radius
%\ifnum\saIstTest=99\def\Pos{1.1}\else\def\Pos{0.6}\fi
%\path[draw, -latex] (Ma) --+ (-25:\saIst) node[ErrorColor, below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=\Pos] {\saTextB};
%
%% Schnittpunkte beider Kreise; und Dreiecke
%\ifnum\saIstTest=0{}\else%
%\ifnum\saIstTest=99{}\else%
%\path[name intersections={of=kreisMa and kreisZ, name=A}];
%\ifnum\saIstTest=1{%
%% Berührpunkt
%\coordinate[Punkt={}{A}] (A) at ([shift=(Ma)]90:\saIst);
%\draw[Dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreieck
%% Winkel
%\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =B--A--C}; %
%% Seitenhalbierende
%\draw (A) -- (Ma) node[pos=0.4,left]{$s_a$};
%% Punkte
%\draw[fill=black!1] (A) circle (2pt);
%%
%}\else%
%% Schnittpunkte
%\foreach \n/\Pos in {1/right,\saIstTest/left}{
%\coordinate[Punkt={\Pos}{A_\n}] (A\n) at (A-\n);
%\draw[Dreieck] (A\n) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreiecke
%% Winkel
%\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =B--A\n--C}; %
%% Seitenhalbierende
%\draw (A\n) -- (Ma) node[midway, above, sloped]{$s_a$};
%% Punkte
%\draw[fill=black!1] (A\n) circle (2pt);
%}\fi\fi\fi
%
%
%%\node[above] at (Z){\saIstTest}; % test
%
%
%
%% Annotationen
%\node[below of=A, anchor=north west, yshift=-0mm, draw, align=left, outer sep=0pt, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
%\alpha = \Alpha^\circ & \\
%a = \a \text{ cm} & \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a} = \saIst  \text{ cm}   \saTextA} \\ \hline
%s_{a, \text{min}} = \saMin  \text{ cm} & \\
%s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}&  \\
%\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}} \\ \hline
%b_1 = \bI \text{ cm} &  b_2 = \bII \text{ cm} \\
%c_1 = \cI \text{ cm} &  c_2 = \cII \text{ cm}  \\
%\end{array}$
%};

% Annotationen - Aufgabe
\path[local bounding box=scope1, draw=none]  (A) -- (A|-C);
\path[local bounding box=scope2, draw=none]  (C) -- (C|-A);
\pgfmathparse{\a > \sa ? "1" : "2"}
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \sa)} %
\begin{scope}[shift={($(scope\pgfmathresult.north)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,sa/s_a}
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$% = \csname \s \endcsname cm
};
\draw[yshift=-16mm] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [angle radius=7mm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =R--Q--P};
\end{scope}





%% Punkte
\foreach \P in {Ma}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>


(a) Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal.
· Die Seite <math>a = BC</math> legt die Eckpunkte <math>B</math>, <math>C</math> und die Seitenmitte <math>M_a</math> fest.

· Die gesuchte Ecke <math>A</math> liegt
  - einerseits auf einem Kreis mit Mittelpunkt <math>M_a</math> und Radius <math>s_a</math>;
  - andererseits auf dem Fasskreis mit Sehne <math>BC</math>, der den Winkel <math>\alpha</math> fasst.

· Mittelpunkt und Radius des Fasskreises, der den Winkel <math>\alpha</math> fasst, lässt sich konstruieren als Schnittpunkt einer Senkrechten durch <math>M_a</math> und einer Geraden durch <math>B</math>, die mit <math>BC</math> den Winkel <math>\tau = 90^\circ - \alpha</math> einschließt.

<math>
% Seitenlängen
%\pgfmathsetmacro{\Alphamax}{2*atan(4/(2*3.5))} % Test
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %


\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %
\pgfmathsetmacro{\AlphaMax}{2*atan(\a/(2*\sa))}

\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\sa} % TESTWERT



% Bedingungen
\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
% Bedingung für \sa
\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}
%
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,\,A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
%
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

% Bedingung für \Alpha
\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}
%
\newcommand\AlphaTextA{%
\ifnum\AlphaTest=1\Text{Konstruktion möglich}\else%
\color{red}\Text{Konstruktion nicht möglich}\fi%
}
%
\newcommand\AlphaTextB{%
\ifnum\AlphaTest=1{$\alpha \leq \alpha_\text{max}$}\else%
{\color{red}$\alpha > \alpha_\text{max}$}\fi}


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5) n;}

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={right}{Z}] (Z) at (\AlphaB:\r);

% Grundseite
\draw[] (B) -- (C);
\path[] (B) -- (Ma) node[midway, below]{$a/2$};
\path[] (C) -- (Ma) node[midway, below]{$a/2$};

% Fasskreis
% Radius
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (B) -- (Z) node[midway, above]{$r$};
\draw[densely dashed, name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
% Höhe
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (Ma) -- (Z) node[midway, right]{$h$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\h cm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =Z--Ma--B}; %
\draw pic [angle radius=0.25*\h cm,
"$\alpha$", draw,% densely dashed,
] {angle =B--Z--Ma}; %
\draw pic [draw,  angle radius=0.35*\h cm, angle eccentricity = 0.8,
%"$\tau$",
pic text=$\tau$, pic text options={yshift=-1.5pt},
] {angle =Ma--B--Z}; %

% Polkreise
\ifnum\saIstTest=1{}\else%
\ifnum\saIstTest=2{}\else%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMax];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (20:\saMax) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.8] {$s_{a,\text{max}}$};%
%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMin];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (45:\saMin) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.6] {$s_{a,\text{min}}$};%
\fi\fi%


%% kreis(Ma, sa)
%\path[draw, ErrorColor, name path=kreisMa] (Ma) circle[radius=\saIst];
%% Radius
%\ifnum\saIstTest=99\def\Pos{1.1}\else\def\Pos{0.6}\fi
%\path[draw, -latex] (Ma) --+ (-25:\saIst) node[ErrorColor, below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=\Pos] {\saTextB};

%% Schnittpunkte beider Kreise; und Dreiecke
%\ifnum\saIstTest=0{}\else%
%\ifnum\saIstTest=99{}\else%
%\path[name intersections={of=kreisMa and kreisZ, name=A}];
%\ifnum\saIstTest=1{%
%% Berührpunkt
%\coordinate[Punkt={}{A}] (A) at ([shift=(Ma)]90:\saIst);
%\draw[Dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreieck
%% Winkel
%\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =B--A--C}; %
%% Seitenhalbierende
%\draw (A) -- (Ma) node[pos=0.4,left]{$s_a$};
%% Punkte
%\draw[fill=black!1] (A) circle (2pt);
%%
%}\else%
%% Schnittpunkte
%\foreach \n/\Pos in {1/right,\saIstTest/left}{
%\coordinate[Punkt={\Pos}{A_\n}] (A\n) at (A-\n);
%\draw[Dreieck] (A\n) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreiecke
%% Winkel
%\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =B--A\n--C}; %
%% Seitenhalbierende
%\draw (A\n) -- (Ma) node[midway, above, sloped]{$s_a$};
%% Punkte
%\draw[fill=black!1] (A\n) circle (2pt);
%}\fi\fi\fi


%\node[above] at (Z){\saIstTest}; % test


% Punkte
\foreach \P in {B,C,Ma,Z}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);


%% Annotationen
%\node[below of=Ma, yshift=-9mm, draw, align=left, anchor=north, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
%\alpha = \Alpha^\circ   & \AlphaTextA   \\
%a = \a \text{ cm}  & \\
%s_{a} = \saIst  \text{ cm}   & \saTextA   \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{min}} = \saMin \text{ cm}} \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}}  \\ \hline
%\alpha_\text{max} = \AlphaMax^\circ &       \\
%\texttt{hier: }   \text{\AlphaTextB}       &           \\
%\end{array}$
%};



\end{tikzpicture}
</math>

Das ist Folge von Umfangswinkelsatz, Kreiswinkelsatz und Sehnentangentensatz.
Beweis
Umfangswinkelsatz. Alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen besitzen gleiche Größe.

Dieser Kreisbogen wird Fasskreisbogen, der zughörige Kreis wird Fasskreis genannt.

<math>
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Phi}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %

\pgfmathsetmacro{\Tau}{90-\Phi} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Phi))} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Phi/2))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\Tau)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
>={Triangle[length=0pt 9,width=0pt 3]},
Winkel/.style={<->},
Winkel/.style={-},
winkel/.style={red},
winkel/.style={},
Dreieck/.style={},
]

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{B}] (B) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{}] (M) at ($(A)!0.5!(B)$);
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{Z}] (Z) at (\Tau:\r);

% Durchmesser
\draw[dashed]  (Z) --+ (\r,0);
\draw[dashed]  (Z) --+ (-\r,0);

% Sehne
\draw[name path=sehne] (A) -- (B);

% Fasskreis
\draw[name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
%% Radien
%\draw[] (Z) -- (A)  node[near start, left]{$r$};
%\draw[] (Z) -- (B)  node[near start, right]{$r$};
%% Mittelpunkts-Winkel
%\draw pic [Winkel, winkel, angle radius=0.25*\h cm,
%"$\mu$", draw,
%] {angle =A--Z--B}; %

% Umfangswinkel
\def\Winkel{117, 49, 77} %117, 49, 77
\def\Anzahl{3}
%%\def\Winkel{77}
%\newcounter{dummy}
%\def\getNoOfElements#1#2{%
%  \setcounter{dummy}{0}%
%  \foreach\dummy in {#1}{\stepcounter{dummy}}%
%  \edef#2{\arabic{dummy}}
%}
%\getNoOfElements\Winkel\No % save the value in \No

\foreach[count=\n, evaluate={\N=int(max(\n))}] \w in \Winkel{%%  117,49,77
\path[name path=zusatz, overlay] (M) --+ (\w:2*\r);
\path[name intersections={of=kreisZ and zusatz, name=P}];
\draw (A) -- (P-1) node[above]{$P_{\ifnum\Anzahl>1{\n}\else\fi}$};
\draw (B) -- (P-1);
% Umfangs-Winkel
\draw pic [Winkel, winkel, angle radius=0.15*\a cm,
"$\varphi$", draw,
] {angle =A--P-1--B}; %
% Punkte
\draw[fill=black!1] (P-1) circle (2pt);
}%%

%% Peripheriewinkelsatz
%\path[name path=schenkel, overlay] (P-1) -- ($(P-1)!\r!(Z)$);
%\path[name intersections={of=schenkel and sehne, name=W}];
%\draw[densely dashed] (P-1) -- (W-1);
%\path[] (Z) -- (P-1) node[near start, right]{$r$};
%% Punkte
%\draw[fill=black!1] (W-1) circle (2pt);
%% Hilfs-Winkel
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\a cm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =B--A--P-1}; %
%\draw pic [angle radius=0.2*\a cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\alpha_1$", draw,
%] {angle =Z--A--P-1}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\a cm,
%"$\beta$", draw,
%] {angle =P-1--B--A}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\a cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\beta_1$", draw,
%] {angle =P-1--B--Z}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.25*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\mu_1$", draw,
%] {angle =A--Z--W-1}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\mu_2$", draw,
%] {angle =W-1--Z--B}; %
%\draw pic [angle radius=0.35*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\varphi_1$", draw,
%] {angle =A--P-1--W-1}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.3*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\varphi_2$", draw,
%] {angle =W-1--P-1--B}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\r cm, %angle eccentricity=1.3,
%"$\gamma_1$", draw,
%] {angle =P-1--Z--A}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\gamma_2$", draw,
%] {angle =B--Z--P-1}; %


%% Sehnentangentenwinkelsatz
%% Tangente in A
%\draw[] (A) -- ($(A)!2cm!90:(Z)$) coordinate(Y);
%\draw[] (A) -- ($(A)!-2cm!90:(Z)$) coordinate(X);
%% Winkel
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\a cm,
%"$\varrho$", draw,
%] {angle =X--A--M}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.175*\a cm,
%"$\tau$", draw,
%] {angle =M--A--Z}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.125*\a cm,
%"$\cdot$", draw,
%] {angle =Z--A--Y}; %
%% Höhe
%\draw[densely dashed] (M) -- (Z) node[midway, right]{$h$};
% Winkel
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\h cm,
%"$\cdot$", draw,
%] {angle =Z--M--A}; %
% Punkte
%\draw[fill=black!1] (M) circle (2pt) node[below]{$M$};



% Punkte
\foreach \P in {A,B,Z,P-1}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>
Dieser Satz ist direkte Folge des Kreiswinkelsatzes.


Kreiswinkelsatz. Der Mittelpunktswinkel über einem Kreisbogens ist doppelt so groß wie der zugehörige Umfangswinkel: <math>\mu = 2\varphi</math>. <math>
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Phi}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %

\pgfmathsetmacro{\Tau}{90-\Phi} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Phi))} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Phi/2))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\Tau)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
>={Triangle[length=0pt 9,width=0pt 3]},
Winkel/.style={<->},
%Winkel/.style={-},
winkel/.style={red},
%winkel/.style={},
Dreieck/.style={},
]

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{B}] (B) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{}] (M) at ($(A)!0.5!(B)$);
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{Z}] (Z) at (\Tau:\r);

% Durchmesser
\draw[dashed]  (Z) --+ (\r,0);
\draw[dashed]  (Z) --+ (-\r,0);

% Sehne
\draw[name path=sehne] (A) -- (B);

% Fasskreis
\draw[name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];

% Umfangswinkel
\def\Winkel{77} %117, 49, 77
\def\Anzahl{1}
%%\def\Winkel{77}
%\newcounter{dummy}
%\def\getNoOfElements#1#2{%
%  \setcounter{dummy}{0}%
%  \foreach\dummy in {#1}{\stepcounter{dummy}}%
%  \edef#2{\arabic{dummy}}
%}
%\getNoOfElements\Winkel\No % save the value in \No

\foreach[count=\n, evaluate={\N=int(max(\n))}] \w in \Winkel{%%  117,49,77
\path[name path=zusatz, overlay] (M) --+ (\w:2*\r);
\path[name intersections={of=kreisZ and zusatz, name=P}];
\draw (A) -- (P-1) node[above]{$P_{\ifnum\Anzahl>1{\n}\else\fi}$};
\draw (B) -- (P-1);
% Umfangs-Winkel
\draw pic [Winkel, winkel, angle radius=0.15*\a cm,
"$\varphi$", draw,
] {angle =A--P-1--B}; %
% Punkte
\draw[fill=black!1] (P-1) circle (2pt);
}%%

% Peripheriewinkelsatz
% Radien des Fasskreises
\draw[] (Z) -- (A)  node[near start, left]{$r$};
\draw[] (Z) -- (B)  node[near start, right]{$r$};
% Mittelpunkts-Winkel
\draw pic [Winkel, winkel, angle radius=0.25*\h cm,
"$\mu$", draw,
] {angle =A--Z--B}; %
%
\path[name path=schenkel, overlay] (P-1) -- ($(P-1)!\r!(Z)$);
\path[name intersections={of=schenkel and sehne, name=W}];
\draw[densely dashed] (P-1) -- (W-1);
\path[] (Z) -- (P-1) node[near start, right]{$r$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (W-1) circle (2pt);
%% Hilfs-Winkel
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\a cm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =B--A--P-1}; %
%\draw pic [angle radius=0.2*\a cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\alpha_1$", draw,
%] {angle =Z--A--P-1}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\a cm,
%"$\beta$", draw,
%] {angle =P-1--B--A}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\a cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\beta_1$", draw,
%] {angle =P-1--B--Z}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.25*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\mu_1$", draw,
%] {angle =A--Z--W-1}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\mu_2$", draw,
%] {angle =W-1--Z--B}; %
%\draw pic [angle radius=0.35*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\varphi_1$", draw,
%] {angle =A--P-1--W-1}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.3*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\varphi_2$", draw,
%] {angle =W-1--P-1--B}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\r cm, %angle eccentricity=1.3,
%"$\gamma_1$", draw,
%] {angle =P-1--Z--A}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\gamma_2$", draw,
%] {angle =B--Z--P-1}; %


%% Sehnentangentenwinkelsatz
%% Tangente in A
%\draw[] (A) -- ($(A)!2cm!90:(Z)$) coordinate(Y);
%\draw[] (A) -- ($(A)!-2cm!90:(Z)$) coordinate(X);
%% Winkel
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\a cm,
%"$\varrho$", draw,
%] {angle =X--A--M}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.175*\a cm,
%"$\tau$", draw,
%] {angle =M--A--Z}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.125*\a cm,
%"$\cdot$", draw,
%] {angle =Z--A--Y}; %
%% Höhe
%\draw[densely dashed] (M) -- (Z) node[midway, right]{$h$};
% Winkel
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\h cm,
%"$\cdot$", draw,
%] {angle =Z--M--A}; %
% Punkte
%\draw[fill=black!1] (M) circle (2pt) node[below]{$M$};



% Punkte
\foreach \P in {A,B,Z,P-1}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>
Beweis.
<math>
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Phi}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %

\pgfmathsetmacro{\Tau}{90-\Phi} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Phi))} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Phi/2))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\Tau)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
>={Triangle[length=0pt 9,width=0pt 3]},
Winkel/.style={<->},
%Winkel/.style={-},
winkel/.style={red},
%winkel/.style={},
Dreieck/.style={},
]

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{B}] (B) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{}] (M) at ($(A)!0.5!(B)$);
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{Z}] (Z) at (\Tau:\r);

% Durchmesser
\draw[dashed]  (Z) --+ (\r,0);
\draw[dashed]  (Z) --+ (-\r,0);

% Sehne
\draw[name path=sehne] (A) -- (B);

% Fasskreis
\draw[name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];

% Umfangswinkel
\def\Winkel{77} %117, 49, 77
\def\Anzahl{1}
%%\def\Winkel{77}
%\newcounter{dummy}
%\def\getNoOfElements#1#2{%
%  \setcounter{dummy}{0}%
%  \foreach\dummy in {#1}{\stepcounter{dummy}}%
%  \edef#2{\arabic{dummy}}
%}
%\getNoOfElements\Winkel\No % save the value in \No

\foreach[count=\n, evaluate={\N=int(max(\n))}] \w in \Winkel{%%  117,49,77
\path[name path=zusatz, overlay] (M) --+ (\w:2*\r);
\path[name intersections={of=kreisZ and zusatz, name=P}];
\draw (A) -- (P-1) node[above]{$P_{\ifnum\Anzahl>1{\n}\else\fi}$};
\draw (B) -- (P-1);
% Umfangs-Winkel
\draw pic [Winkel, winkel, angle radius=0.15*\a cm,
"$\varphi$", draw,
] {angle =A--P-1--B}; %
% Punkte
\draw[fill=black!1] (P-1) circle (2pt);
}%%

% Peripheriewinkelsatz
% Radien des Fasskreises
\draw[] (Z) -- (A)  node[near start, left]{$r$};
\draw[] (Z) -- (B)  node[near start, right]{$r$};
% Mittelpunkts-Winkel
\draw pic [Winkel, winkel, angle radius=0.25*\h cm,
"$\mu$", draw,
] {angle =A--Z--B}; %
%
\path[name path=schenkel, overlay] (P-1) -- ($(P-1)!\r!(Z)$);
\path[name intersections={of=schenkel and sehne, name=W}];
\draw[densely dashed] (P-1) -- (W-1);
\path[] (Z) -- (P-1) node[near start, right]{$r$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (W-1) circle (2pt);
% Hilfs-Winkel
\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A--P-1}; %
\draw pic [angle radius=0.2*\a cm, angle eccentricity=1.3,
"$\alpha_1$", draw,
] {angle =Z--A--P-1}; %
\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\a cm,
"$\beta$", draw,
] {angle =P-1--B--A}; %
\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\a cm, angle eccentricity=1.3,
"$\beta_1$", draw,
] {angle =P-1--B--Z}; %
\draw pic [Winkel, angle radius=0.25*\r cm, angle eccentricity=1.3,
"$\mu_1$", draw,
] {angle =A--Z--W-1}; %
\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\r cm, angle eccentricity=1.3,
"$\mu_2$", draw,
] {angle =W-1--Z--B}; %
\draw pic [angle radius=0.35*\r cm, angle eccentricity=1.3,
"$\varphi_1$", draw,
] {angle =A--P-1--W-1}; %
\draw pic [Winkel, angle radius=0.3*\r cm, angle eccentricity=1.3,
"$\varphi_2$", draw,
] {angle =W-1--P-1--B}; %
\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\r cm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma_1$", draw,
] {angle =P-1--Z--A}; %
\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\r cm, angle eccentricity=1.3,
"$\gamma_2$", draw,
] {angle =B--Z--P-1}; %


%% Sehnentangentenwinkelsatz
%% Tangente in A
%\draw[] (A) -- ($(A)!2cm!90:(Z)$) coordinate(Y);
%\draw[] (A) -- ($(A)!-2cm!90:(Z)$) coordinate(X);
%% Winkel
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\a cm,
%"$\varrho$", draw,
%] {angle =X--A--M}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.175*\a cm,
%"$\tau$", draw,
%] {angle =M--A--Z}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.125*\a cm,
%"$\cdot$", draw,
%] {angle =Z--A--Y}; %
%% Höhe
%\draw[densely dashed] (M) -- (Z) node[midway, right]{$h$};
% Winkel
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\h cm,
%"$\cdot$", draw,
%] {angle =Z--M--A}; %
% Punkte
%\draw[fill=black!1] (M) circle (2pt) node[below]{$M$};



% Punkte
\foreach \P in {A,B,Z,P-1}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math> Im gleichschenkligen <math>\Delta AZP</math> ist <math>\alpha_1 = \varphi_1</math> sowie <math>\alpha_1 + \gamma_1 + \varphi_1
= 180^\circ
= \mu_1 +\gamma_1
</math>   <math>\Rightarrow~
\mu_1 = \alpha_1 + \varphi_1
= 2\varphi_1
</math>.

Im gleichschenkligen <math>\Delta BZP</math> ist <math>\beta_1 = \varphi_2</math> sowie <math>\beta_1 + \gamma_2 + \varphi_2
= 180^\circ
= \mu_2 +\gamma_2
</math>   <math>\Rightarrow~
\mu_2 = \beta_1 + \varphi_2
= 2\varphi_2
</math>.

Also <math>
\mu = \mu_1 + \mu_2 = 2\varphi_1 +  2\varphi_2  = 2\varphi
</math>.


Sehnentangentenwinkelsatz. Der Sehnentangentenwinkel, den eine Kreissehne mit ihrer Tangente einschließt besitzt die Größe des Umfangswinkels: <math>\varrho = \varphi</math>.

Insbesondere ist <math>\tau = 90^\circ-\varphi</math>.

<math>
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Phi}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %

\pgfmathsetmacro{\Tau}{90-\Phi} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Phi))} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Phi/2))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\Tau)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
>={Triangle[length=0pt 9,width=0pt 3]},
Winkel/.style={<->},
Winkel/.style={-},
winkel/.style={red},
winkel/.style={},
Dreieck/.style={},
]

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{B}] (B) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{}] (M) at ($(A)!0.5!(B)$);
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{Z}] (Z) at (\Tau:\r);

% Durchmesser
\draw[dashed]  (Z) --+ (\r,0);
\draw[dashed]  (Z) --+ (-\r,0);

% Sehne
\draw[name path=sehne] (A) -- (B);

% Fasskreis
\draw[name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];

% Umfangswinkel
\def\Winkel{77} %117, 49, 77
\def\Anzahl{1}
%%\def\Winkel{77}
%\newcounter{dummy}
%\def\getNoOfElements#1#2{%
%  \setcounter{dummy}{0}%
%  \foreach\dummy in {#1}{\stepcounter{dummy}}%
%  \edef#2{\arabic{dummy}}
%}
%\getNoOfElements\Winkel\No % save the value in \No

\foreach[count=\n, evaluate={\N=int(max(\n))}] \w in \Winkel{%%  117,49,77
\path[name path=zusatz, overlay] (M) --+ (\w:2*\r);
\path[name intersections={of=kreisZ and zusatz, name=P}];
\draw (A) -- (P-1) node[above]{$P_{\ifnum\Anzahl>1{\n}\else\fi}$};
\draw (B) -- (P-1);
% Umfangs-Winkel
\draw pic [Winkel, winkel, angle radius=0.15*\a cm,
"$\varphi$", draw,
] {angle =A--P-1--B}; %
% Punkte
\draw[fill=black!1] (P-1) circle (2pt);
}%%

%% Peripheriewinkelsatz
%% Radien des Fasskreises
%\draw[] (Z) -- (A)  node[near start, left]{$r$};
%\draw[] (Z) -- (B)  node[near start, right]{$r$};
%% Mittelpunkts-Winkel
%\draw pic [Winkel, winkel, angle radius=0.25*\h cm,
%"$\mu$", draw,
%] {angle =A--Z--B}; %
%%
%\path[name path=schenkel, overlay] (P-1) -- ($(P-1)!\r!(Z)$);
%\path[name intersections={of=schenkel and sehne, name=W}];
%\draw[densely dashed] (P-1) -- (W-1);
%\path[] (Z) -- (P-1) node[near start, right]{$r$};
%% Punkte
%\draw[fill=black!1] (W-1) circle (2pt);
%% Hilfs-Winkel
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\a cm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =B--A--P-1}; %
%\draw pic [angle radius=0.2*\a cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\alpha_1$", draw,
%] {angle =Z--A--P-1}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\a cm,
%"$\beta$", draw,
%] {angle =P-1--B--A}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\a cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\beta_1$", draw,
%] {angle =P-1--B--Z}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.25*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\mu_1$", draw,
%] {angle =A--Z--W-1}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\mu_2$", draw,
%] {angle =W-1--Z--B}; %
%\draw pic [angle radius=0.35*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\varphi_1$", draw,
%] {angle =A--P-1--W-1}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.3*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\varphi_2$", draw,
%] {angle =W-1--P-1--B}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\r cm, %angle eccentricity=1.3,
%"$\gamma_1$", draw,
%] {angle =P-1--Z--A}; %
%\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\r cm, angle eccentricity=1.3,
%"$\gamma_2$", draw,
%] {angle =B--Z--P-1}; %


% Sehnentangentenwinkelsatz
% Radien des Fasskreises
\draw[] (Z) -- (A)  node[near start, left]{$r$};
\draw[] (Z) -- (B)  node[near start, right]{$r$};
% Mittelpunkts-Winkel
\draw pic [Winkel, winkel, angle radius=0.25*\h cm,
"$\mu$", draw,
] {angle =A--Z--B}; %
% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2cm!90:(Z)$) coordinate(Y);
\draw[] (A) -- ($(A)!-2cm!90:(Z)$) coordinate(X);
% Winkel
\draw pic [Winkel, angle radius=0.15*\a cm,
"$\varrho$", draw,
] {angle =X--A--M}; %
\draw pic [Winkel, angle radius=0.175*\a cm,
"$\tau$", draw,
] {angle =M--A--Z}; %
\draw pic [Winkel, angle radius=0.125*\a cm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =Z--A--Y}; %
% Höhe
\draw[densely dashed] (M) -- (Z) node[midway, right]{$h$};
Winkel
\draw pic [Winkel, angle radius=0.2*\h cm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =Z--M--A}; %
Punkte
\draw[fill=black!1] (M) circle (2pt) node[below]{$M$};



% Punkte
\foreach \P in {A,B,Z,P-1}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>
Beweis. Im gleichschenkligen <math>\Delta ABZ</math> ist <math>2\tau + \mu = 180^\circ</math>, also mit dem Kreiswinkelsatz <math>2\tau + 2\varphi = 180^\circ</math> <math>~~\Rightarrow \underline{\tau = 90^\circ - \varphi}</math>.

Für den Sehnentangentenwinkel gilt <math>
\varrho = 90^\circ -\tau = 90^\circ -(90^\circ -\varphi)
</math> <math>~~\Rightarrow \underline{\varrho = \varphi}</math>.



Also muss <math>A</math> als Schnittpunkt beider Kreise gefunden werden. Es hängt damit von <math>s_a</math> ab, ob kein oder zwei Schnittpunkte oder ein Berührpunkt auftreten (vgl. Aufgabe (b)).

Beispiel für zwei Schnitpunkte.
<math>
% Seitenlängen
%\pgfmathsetmacro{\Alphamax}{2*atan(4/(2*3.5))} % Test
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %


\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %
\pgfmathsetmacro{\AlphaMax}{2*atan(\a/(2*\sa))}

\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\sa} % TESTWERT



% Bedingungen
\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
% Bedingung für \sa
\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}
%
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,\,A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
%
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

% Bedingung für \Alpha
\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}
%
\newcommand\AlphaTextA{%
\ifnum\AlphaTest=1\Text{Konstruktion möglich}\else%
\color{red}\Text{Konstruktion nicht möglich}\fi%
}
%
\newcommand\AlphaTextB{%
\ifnum\AlphaTest=1{$\alpha \leq \alpha_\text{max}$}\else%
{\color{red}$\alpha > \alpha_\text{max}$}\fi}


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5) n;}

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={right}{Z}] (Z) at (\AlphaB:\r);

% Grundseite
\draw[] (B) -- (C);

% Fasskreis
% Radius
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (B) -- (Z);
\draw[densely dashed, name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
% Höhe
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (Ma) -- ($(Ma)+(0,\h)$); %  -- (Z)
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\h cm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =Z--Ma--B}; %
\draw pic [angle radius=0.25*\h cm,
"$\alpha$", draw,% densely dashed,
] {angle =B--Z--Ma}; %
\draw pic [draw,  angle radius=0.35*\h cm, angle eccentricity = 0.8,
%"$\tau$",
pic text=$\tau$, pic text options={yshift=-1.5pt},
] {angle =Ma--B--Z}; %

% Polkreise
\ifnum\saIstTest=1{}\else%
\ifnum\saIstTest=2{}\else%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMax];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (20:\saMax) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.8] {$s_{a,\text{max}}$};%
%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMin];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (45:\saMin) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.6] {$s_{a,\text{min}}$};%
\fi\fi%


% kreis(Ma, sa)
\path[draw, ErrorColor, name path=kreisMa] (Ma) circle[radius=\saIst];
% Radius
\ifnum\saIstTest=99\def\Pos{1.1}\else\def\Pos{0.6}\fi
\path[draw, -latex] (Ma) --+ (-25:\saIst) node[ErrorColor, below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=\Pos] {\saTextB};

% Schnittpunkte beider Kreise; und Dreiecke
\ifnum\saIstTest=0{}\else%
\ifnum\saIstTest=99{}\else%
\path[name intersections={of=kreisMa and kreisZ, name=A}];
\ifnum\saIstTest=1{%
% Berührpunkt
\coordinate[Punkt={}{A}] (A) at ([shift=(Ma)]90:\saIst);
\draw[Dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreieck
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A) -- (Ma) node[pos=0.4,left]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A) circle (2pt);
%
}\else%
% Schnittpunkte
\foreach \n/\Pos in {1/right,\saIstTest/left}{
\coordinate[Punkt={\Pos}{A_\n}] (A\n) at (A-\n);
\draw[Dreieck] (A\n) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreiecke
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A\n--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A\n) -- (Ma) node[midway, above, sloped]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A\n) circle (2pt);
}\fi\fi\fi


%\node[above] at (Z){\saIstTest}; % test


% Punkte
\foreach \P in {B,C,Ma,Z}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

%% Test
%% Annotationen
%\node[below of=Ma, yshift=-9mm, draw, align=left, anchor=north, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
%\alpha = \Alpha^\circ   & \AlphaTextA   \\
%a = \a \text{ cm}  & \\
%s_{a} = \saIst  \text{ cm}   & \saTextA   \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{min}} = \saMin \text{ cm}} \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}}  \\ \hline
%\alpha_\text{max} = \AlphaMax^\circ &       \\
%\texttt{hier: }   \text{\AlphaTextB}       &           \\
%\end{array}$
%};



\end{tikzpicture}
</math>

Beipiel für einen Berührpunkt.
<math>
% Seitenlängen
%\pgfmathsetmacro{\Alphamax}{2*atan(4/(2*3.5))} % Test
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %


\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %
\pgfmathsetmacro{\AlphaMax}{2*atan(\a/(2*\sa))}

\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\saMax} % TESTWERT



% Bedingungen
\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
% Bedingung für \sa
\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}
%
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,\,A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
%
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

% Bedingung für \Alpha
\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}
%
\newcommand\AlphaTextA{%
\ifnum\AlphaTest=1\Text{Konstruktion möglich}\else%
\color{red}\Text{Konstruktion nicht möglich}\fi%
}
%
\newcommand\AlphaTextB{%
\ifnum\AlphaTest=1{$\alpha \leq \alpha_\text{max}$}\else%
{\color{red}$\alpha > \alpha_\text{max}$}\fi}


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5) n;}

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={right}{Z}] (Z) at (\AlphaB:\r);

% Grundseite
\draw[] (B) -- (C);

% Fasskreis
% Radius
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (B) -- (Z);
\draw[densely dashed, name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
% Höhe
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (Ma) -- ($(Ma)+(0,\h)$); %  -- (Z)
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\h cm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =Z--Ma--B}; %
\draw pic [angle radius=0.25*\h cm,
"$\alpha$", draw,% densely dashed,
] {angle =B--Z--Ma}; %
\draw pic [draw,  angle radius=0.35*\h cm, angle eccentricity = 0.8,
%"$\tau$",
pic text=$\tau$, pic text options={yshift=-1.5pt},
] {angle =Ma--B--Z}; %

% Polkreise
\ifnum\saIstTest=1{}\else%
\ifnum\saIstTest=2{}\else%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMax];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (20:\saMax) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.8] {$s_{a,\text{max}}$};%
%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMin];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (45:\saMin) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.6] {$s_{a,\text{min}}$};%
\fi\fi%


% kreis(Ma, sa)
\path[draw, ErrorColor, name path=kreisMa] (Ma) circle[radius=\saIst];
% Radius
\ifnum\saIstTest=99\def\Pos{1.1}\else\def\Pos{0.6}\fi
\path[draw, -latex] (Ma) --+ (-25:\saIst) node[ErrorColor, below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=\Pos] {\saTextB};

% Schnittpunkte beider Kreise; und Dreiecke
\ifnum\saIstTest=0{}\else%
\ifnum\saIstTest=99{}\else%
\path[name intersections={of=kreisMa and kreisZ, name=A}];
\ifnum\saIstTest=1{%
% Berührpunkt
\coordinate[Punkt={}{A}] (A) at ([shift=(Ma)]90:\saIst);
\draw[Dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreieck
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A) -- (Ma) node[pos=0.4,left]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A) circle (2pt);
%
}\else%
% Schnittpunkte
\foreach \n/\Pos in {1/right,\saIstTest/left}{
\coordinate[Punkt={\Pos}{A_\n}] (A\n) at (A-\n);
\draw[Dreieck] (A\n) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreiecke
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A\n--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A\n) -- (Ma) node[midway, above, sloped]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A\n) circle (2pt);
}\fi\fi\fi


%\node[above] at (Z){\saIstTest}; % test


% Punkte
\foreach \P in {B,C,Ma,Z}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);


%% Annotationen
%\node[below of=Ma, yshift=-9mm, draw, align=left, anchor=north, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
%\alpha = \Alpha^\circ   & \AlphaTextA   \\
%a = \a \text{ cm}  & \\
%s_{a} = \saIst  \text{ cm}   & \saTextA   \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{min}} = \saMin \text{ cm}} \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}}  \\ \hline
%\alpha_\text{max} = \AlphaMax^\circ &       \\
%\texttt{hier: }   \text{\AlphaTextB}       &           \\
%\end{array}$
%};



\end{tikzpicture}
</math>


(b) Gib Bedingungen für die Konstruktion an.
· Damit ein Kreis um <math>M_a</math> vom Radius <math>s_a</math> den Fasskreis, der den Winkel <math>\alpha</math> fasst, schneiden kann, ist zunächst klar, dass <math>s_a</math> größer als <math>\dfrac{a}{2}</math> sein muss, also <math>s_{a,\text{min}} = \dfrac{a}{2} < s_a.</math>

· Ferner darf <math>s_a</math> maximal gleich <math>h+r</math> sein. Hierbei entliest man dem Schaubild <math>
r = \dfrac{a}{2\sin(\alpha)}</math> und <math>
h = \dfrac{a}{2\tan(\alpha)}</math>; also   <math>\begin{array}{ll}
s_a \leq s_{a,\text{max}} = h+r &=
\dfrac{a}{2}\cdot\left( \dfrac{1}{\sin(\alpha)}+\dfrac{1}{\tan(\alpha)}\right) \\[1em]
&=
\dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{1+\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \\[1.5em]
&=
\dfrac{a}{2\cdot\tan(\frac{\alpha}{2})}
\end{array}
</math>

mit Hilfe der Formel <math>
\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)
= \dfrac{\sin x}{1+\cos x}
~~\text{für}~~ x \in \left[0,\pi\right[.
</math>

· Also ist die Konstruktion genau dann möglich, wenn   <math>%\underline{
\dfrac{a}{2} < s_a \leq \dfrac{a}{2\cdot\tan(\frac{\alpha}{2})}
%}
</math>  gilt.

· Im Hinblick auf den Winkel <math>\alpha</math> entliest man dem Schaubild zunächst die triviale Bedingung  <math>\alpha < 90^\circ</math>. Aus der zweiten Ungleichung <math>
s_a \leq \dfrac{a}{2\cdot\tan(\frac{\alpha}{2})}
</math> erhält man für feste <math>a, s_a</math> die Beziehung <math>
\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) \leq \dfrac{a}{2s_a};
</math> und da die Tangensfunktion monoton steigend in <math>
\left[0,\frac{\pi}{2}\right[
</math> ist, gilt auch die Umkehrung   <math>
\alpha \leq
2\cdot \arctan\left(\dfrac{a}{2s_a}\right) = \alpha_\text{max}.
</math>

<math>
% Seitenlängen
%\pgfmathsetmacro{\Alphamax}{2*atan(4/(2*3.5))} % Test
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %


\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %
\pgfmathsetmacro{\AlphaMax}{2*atan(\a/(2*\sa))}

\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
%\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\a/(2*tan(\Alpha/2))} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\sa} % TESTWERT



% Bedingungen
\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
% Bedingung für \sa
\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}
%
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,\,A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
%
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

% Bedingung für \Alpha
\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}
%
\newcommand\AlphaTextA{%
\ifnum\AlphaTest=1\Text{Konstruktion möglich}\else%
\color{red}\Text{Konstruktion nicht möglich}\fi%
}
%
\newcommand\AlphaTextB{%
\ifnum\AlphaTest=1{$\alpha \leq \alpha_\text{max}$}\else%
{\color{red}$\alpha > \alpha_\text{max}$}\fi}


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5) n;}

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={right}{Z}] (Z) at (\AlphaB:\r);

% Grundseite
\draw[] (B) -- (C);
\path[] (B) -- (Ma) node[midway, below]{$a/2$};
\path[] (C) -- (Ma) node[midway, below]{$a/2$};

% Fasskreis
% Radius
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (B) -- (Z) node[midway, above]{$r$};
\draw[densely dashed, name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
% Höhe
\draw[densely dashed] (Ma) --+ (0,\h+\r) coordinate(Oben);
\path[] (Ma) -- (Z) node[midway, right] {$h$};
\path[] (Z) -- (Oben) node[midway, left]{$r$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\h cm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =Z--Ma--B}; %
\draw pic [angle radius=0.25*\h cm,
"$\alpha$", draw,% densely dashed,
] {angle =B--Z--Ma}; %
\draw pic [draw,  angle radius=0.35*\h cm, angle eccentricity = 0.8,
%"$\tau$",
pic text=$\tau$, pic text options={yshift=-1.5pt},
] {angle =Ma--B--Z}; %

% Polkreise
\ifnum\saIstTest=1{}\else%
\ifnum\saIstTest=2{}\else%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMax];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (20:\saMax) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.8] {$s_{a,\text{max}}$};%
%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMin];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (45:\saMin) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.6] {$s_{a,\text{min}}$};%
\fi\fi%


%% kreis(Ma, sa)
%\path[draw, ErrorColor, name path=kreisMa] (Ma) circle[radius=\saIst];
%% Radius
%\ifnum\saIstTest=99\def\Pos{1.1}\else\def\Pos{0.6}\fi
%\path[draw, -latex] (Ma) --+ (-25:\saIst) node[ErrorColor, below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=\Pos] {\saTextB};

%% Schnittpunkte beider Kreise; und Dreiecke
%\ifnum\saIstTest=0{}\else%
%\ifnum\saIstTest=99{}\else%
%\path[name intersections={of=kreisMa and kreisZ, name=A}];
%\ifnum\saIstTest=1{%
%% Berührpunkt
%\coordinate[Punkt={}{A}] (A) at ([shift=(Ma)]90:\saIst);
%\draw[Dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreieck
%% Winkel
%\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =B--A--C}; %
%% Seitenhalbierende
%\draw (A) -- (Ma) node[pos=0.4,left]{$s_a$};
%% Punkte
%\draw[fill=black!1] (A) circle (2pt);
%%
%}\else%
%% Schnittpunkte
%\foreach \n/\Pos in {1/right,\saIstTest/left}{
%\coordinate[Punkt={\Pos}{A_\n}] (A\n) at (A-\n);
%\draw[Dreieck] (A\n) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreiecke
%% Winkel
%\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =B--A\n--C}; %
%% Seitenhalbierende
%\draw (A\n) -- (Ma) node[midway, above, sloped]{$s_a$};
%% Punkte
%\draw[fill=black!1] (A\n) circle (2pt);
%}\fi\fi\fi


%\node[above] at (Z){\saIstTest}; % test


% Punkte
\foreach \P in {B,C,Ma,Z, Oben}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);


%% Annotationen
%\node[below of=Ma, yshift=-9mm, draw, align=left, anchor=north, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
%\alpha = \Alpha^\circ   & \AlphaTextA   \\
%a = \a \text{ cm}  & \\
%s_{a} = \saIst  \text{ cm}   & \saTextA   \\ \hline
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{min}} = \saMin \text{ cm}} \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}}  \\ \hline
%\alpha_\text{max} = \AlphaMax^\circ &       \\
%\texttt{hier: }   \text{\AlphaTextB}       &           \\
%\end{array}$
%};



\end{tikzpicture}
</math>


Beispiele.

<math>
% Seitenlängen
%\pgfmathsetmacro{\Alphamax}{2*atan(4/(2*3.5))} % Test
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %


\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %
\pgfmathsetmacro{\AlphaMax}{2*atan(\a/(2*\sa))}

\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\saMin-0.5} % TESTWERT



% Bedingungen
\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
% Bedingung für \sa
\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}
%
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,\,A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
%
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

% Bedingung für \Alpha
\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}
%
\newcommand\AlphaTextA{%
\ifnum\AlphaTest=1\Text{Konstruktion möglich}\else%
\color{red}\Text{Konstruktion nicht möglich}\fi%
}
%
\newcommand\AlphaTextB{%
\ifnum\AlphaTest=1{$\alpha \leq \alpha_\text{max}$}\else%
{\color{red}$\alpha > \alpha_\text{max}$}\fi}


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5) n;}

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={right}{Z}] (Z) at (\AlphaB:\r);

% Grundseite
\draw[] (B) -- (C);

% Fasskreis
% Radius
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (B) -- (Z);
\draw[densely dashed, name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
% Höhe
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (Ma) -- ($(Ma)+(0,\h)$); %  -- (Z)
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\h cm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =Z--Ma--B}; %
\draw pic [angle radius=0.25*\h cm,
"$\alpha$", draw,% densely dashed,
] {angle =B--Z--Ma}; %
\draw pic [draw,  angle radius=0.35*\h cm, angle eccentricity = 0.8,
%"$\tau$",
pic text=$\tau$, pic text options={yshift=-1.5pt},
] {angle =Ma--B--Z}; %

% Polkreise
\ifnum\saIstTest=1{}\else%
\ifnum\saIstTest=2{}\else%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMax];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (20:\saMax) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.8] {$s_{a,\text{max}}$};%
%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMin];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (45:\saMin) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.6] {$s_{a,\text{min}}$};%
\fi\fi%


% kreis(Ma, sa)
\path[draw, ErrorColor, name path=kreisMa] (Ma) circle[radius=\saIst];
% Radius
\ifnum\saIstTest=99\def\Pos{1.1}\else\def\Pos{0.6}\fi
\path[draw, -latex] (Ma) --+ (-25:\saIst) node[ErrorColor, below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=\Pos] {\saTextB};

% Schnittpunkte beider Kreise; und Dreiecke
\ifnum\saIstTest=0{}\else%
\ifnum\saIstTest=99{}\else%
\path[name intersections={of=kreisMa and kreisZ, name=A}];
\ifnum\saIstTest=1{%
% Berührpunkt
\coordinate[Punkt={}{A}] (A) at ([shift=(Ma)]90:\saIst);
\draw[Dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreieck
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A) -- (Ma) node[pos=0.4,left]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A) circle (2pt);
%
}\else%
% Schnittpunkte
\foreach \n/\Pos in {1/right,\saIstTest/left}{
\coordinate[Punkt={\Pos}{A_\n}] (A\n) at (A-\n);
\draw[Dreieck] (A\n) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreiecke
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A\n--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A\n) -- (Ma) node[midway, above, sloped]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A\n) circle (2pt);
}\fi\fi\fi


%\node[above] at (Z){\saIstTest}; % test


% Punkte
\foreach \P in {B,C,Ma,Z}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

% Test
% Annotationen
\node[below of=Ma, yshift=-9mm, draw, align=left, anchor=north, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
\alpha = \Alpha^\circ   & \AlphaTextA   \\
a = \a \text{ cm}  & \\
s_{a} = \saIst  \text{ cm}   & \saTextA   \\ \hline
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{min}} = \saMin \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}}  \\ \hline
\alpha_\text{max} = \AlphaMax^\circ &       \\
\texttt{hier: }   \text{\AlphaTextB}       &           \\
\end{array}$
};



\end{tikzpicture}
</math>

<math>
% Seitenlängen
%\pgfmathsetmacro{\Alphamax}{2*atan(4/(2*3.5))} % Test
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %


\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %
\pgfmathsetmacro{\AlphaMax}{2*atan(\a/(2*\sa))}

\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\saMin} % TESTWERT



% Bedingungen
\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
% Bedingung für \sa
\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}
%
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,\,A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
%
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

% Bedingung für \Alpha
\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}
%
\newcommand\AlphaTextA{%
\ifnum\AlphaTest=1\Text{Konstruktion möglich}\else%
\color{red}\Text{Konstruktion nicht möglich}\fi%
}
%
\newcommand\AlphaTextB{%
\ifnum\AlphaTest=1{$\alpha \leq \alpha_\text{max}$}\else%
{\color{red}$\alpha > \alpha_\text{max}$}\fi}


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5) n;}

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={right}{Z}] (Z) at (\AlphaB:\r);

% Grundseite
\draw[] (B) -- (C);

% Fasskreis
% Radius
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (B) -- (Z);
\draw[densely dashed, name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
% Höhe
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (Ma) -- ($(Ma)+(0,\h)$); %  -- (Z)
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\h cm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =Z--Ma--B}; %
\draw pic [angle radius=0.25*\h cm,
"$\alpha$", draw,% densely dashed,
] {angle =B--Z--Ma}; %
\draw pic [draw,  angle radius=0.35*\h cm, angle eccentricity = 0.8,
%"$\tau$",
pic text=$\tau$, pic text options={yshift=-1.5pt},
] {angle =Ma--B--Z}; %

% Polkreise
\ifnum\saIstTest=1{}\else%
\ifnum\saIstTest=2{}\else%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMax];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (20:\saMax) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.8] {$s_{a,\text{max}}$};%
%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMin];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (45:\saMin) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.6] {$s_{a,\text{min}}$};%
\fi\fi%


% kreis(Ma, sa)
\path[draw, ErrorColor, name path=kreisMa] (Ma) circle[radius=\saIst];
% Radius
\ifnum\saIstTest=99\def\Pos{1.1}\else\def\Pos{0.6}\fi
\path[draw, -latex] (Ma) --+ (-25:\saIst) node[ErrorColor, below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=\Pos] {\saTextB};

% Schnittpunkte beider Kreise; und Dreiecke
\ifnum\saIstTest=0{}\else%
\ifnum\saIstTest=99{}\else%
\path[name intersections={of=kreisMa and kreisZ, name=A}];
\ifnum\saIstTest=1{%
% Berührpunkt
\coordinate[Punkt={}{A}] (A) at ([shift=(Ma)]90:\saIst);
\draw[Dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreieck
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A) -- (Ma) node[pos=0.4,left]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A) circle (2pt);
%
}\else%
% Schnittpunkte
\foreach \n/\Pos in {1/right,\saIstTest/left}{
\coordinate[Punkt={\Pos}{A_\n}] (A\n) at (A-\n);
\draw[Dreieck] (A\n) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreiecke
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A\n--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A\n) -- (Ma) node[midway, above, sloped]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A\n) circle (2pt);
}\fi\fi\fi


%\node[above] at (Z){\saIstTest}; % test


% Punkte
\foreach \P in {B,C,Ma,Z}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

% Test
% Annotationen
\node[below of=Ma, yshift=-9mm, draw, align=left, anchor=north, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
\alpha = \Alpha^\circ   & \AlphaTextA   \\
a = \a \text{ cm}  & \\
s_{a} = \saIst  \text{ cm}   & \saTextA   \\ \hline
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{min}} = \saMin \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}}  \\ \hline
\alpha_\text{max} = \AlphaMax^\circ &       \\
\texttt{hier: }   \text{\AlphaTextB}       &           \\
\end{array}$
};



\end{tikzpicture}
</math>

<math>
% Seitenlängen
%\pgfmathsetmacro{\Alphamax}{2*atan(4/(2*3.5))} % Test
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %


\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %
\pgfmathsetmacro{\AlphaMax}{2*atan(\a/(2*\sa))}

\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\sa} % TESTWERT



% Bedingungen
\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
% Bedingung für \sa
\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}
%
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,\,A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
%
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

% Bedingung für \Alpha
\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}
%
\newcommand\AlphaTextA{%
\ifnum\AlphaTest=1\Text{Konstruktion möglich}\else%
\color{red}\Text{Konstruktion nicht möglich}\fi%
}
%
\newcommand\AlphaTextB{%
\ifnum\AlphaTest=1{$\alpha \leq \alpha_\text{max}$}\else%
{\color{red}$\alpha > \alpha_\text{max}$}\fi}


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5) n;}

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={right}{Z}] (Z) at (\AlphaB:\r);

% Grundseite
\draw[] (B) -- (C);

% Fasskreis
% Radius
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (B) -- (Z);
\draw[densely dashed, name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
% Höhe
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (Ma) -- ($(Ma)+(0,\h)$); %  -- (Z)
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\h cm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =Z--Ma--B}; %
\draw pic [angle radius=0.25*\h cm,
"$\alpha$", draw,% densely dashed,
] {angle =B--Z--Ma}; %
\draw pic [draw,  angle radius=0.35*\h cm, angle eccentricity = 0.8,
%"$\tau$",
pic text=$\tau$, pic text options={yshift=-1.5pt},
] {angle =Ma--B--Z}; %

% Polkreise
\ifnum\saIstTest=1{}\else%
\ifnum\saIstTest=2{}\else%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMax];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (20:\saMax) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.8] {$s_{a,\text{max}}$};%
%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMin];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (45:\saMin) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.6] {$s_{a,\text{min}}$};%
\fi\fi%


% kreis(Ma, sa)
\path[draw, ErrorColor, name path=kreisMa] (Ma) circle[radius=\saIst];
% Radius
\ifnum\saIstTest=99\def\Pos{1.1}\else\def\Pos{0.6}\fi
\path[draw, -latex] (Ma) --+ (-25:\saIst) node[ErrorColor, below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=\Pos] {\saTextB};

% Schnittpunkte beider Kreise; und Dreiecke
\ifnum\saIstTest=0{}\else%
\ifnum\saIstTest=99{}\else%
\path[name intersections={of=kreisMa and kreisZ, name=A}];
\ifnum\saIstTest=1{%
% Berührpunkt
\coordinate[Punkt={}{A}] (A) at ([shift=(Ma)]90:\saIst);
\draw[Dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreieck
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A) -- (Ma) node[pos=0.4,left]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A) circle (2pt);
%
}\else%
% Schnittpunkte
\foreach \n/\Pos in {1/right,\saIstTest/left}{
\coordinate[Punkt={\Pos}{A_\n}] (A\n) at (A-\n);
\draw[Dreieck] (A\n) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreiecke
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A\n--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A\n) -- (Ma) node[midway, above, sloped]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A\n) circle (2pt);
}\fi\fi\fi


%\node[above] at (Z){\saIstTest}; % test


% Punkte
\foreach \P in {B,C,Ma,Z}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

% Test
% Annotationen
\node[below of=Ma, yshift=-9mm, draw, align=left, anchor=north, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
\alpha = \Alpha^\circ   & \AlphaTextA   \\
a = \a \text{ cm}  & \\
s_{a} = \saIst  \text{ cm}   & \saTextA   \\ \hline
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{min}} = \saMin \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}}  \\ \hline
\alpha_\text{max} = \AlphaMax^\circ &       \\
\texttt{hier: }   \text{\AlphaTextB}       &           \\
\end{array}$
};



\end{tikzpicture}
</math>

<math>
% Seitenlängen
%\pgfmathsetmacro{\Alphamax}{2*atan(4/(2*3.5))} % Test
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %


\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %
\pgfmathsetmacro{\AlphaMax}{2*atan(\a/(2*\sa))}

\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\saMax} % TESTWERT



% Bedingungen
\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
% Bedingung für \sa
\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}
%
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,\,A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
%
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

% Bedingung für \Alpha
\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}
%
\newcommand\AlphaTextA{%
\ifnum\AlphaTest=1\Text{Konstruktion möglich}\else%
\color{red}\Text{Konstruktion nicht möglich}\fi%
}
%
\newcommand\AlphaTextB{%
\ifnum\AlphaTest=1{$\alpha \leq \alpha_\text{max}$}\else%
{\color{red}$\alpha > \alpha_\text{max}$}\fi}


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5) n;}

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={right}{Z}] (Z) at (\AlphaB:\r);

% Grundseite
\draw[] (B) -- (C);

% Fasskreis
% Radius
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (B) -- (Z);
\draw[densely dashed, name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
% Höhe
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (Ma) -- ($(Ma)+(0,\h)$); %  -- (Z)
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\h cm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =Z--Ma--B}; %
\draw pic [angle radius=0.25*\h cm,
"$\alpha$", draw,% densely dashed,
] {angle =B--Z--Ma}; %
\draw pic [draw,  angle radius=0.35*\h cm, angle eccentricity = 0.8,
%"$\tau$",
pic text=$\tau$, pic text options={yshift=-1.5pt},
] {angle =Ma--B--Z}; %

% Polkreise
\ifnum\saIstTest=1{}\else%
\ifnum\saIstTest=2{}\else%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMax];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (20:\saMax) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.8] {$s_{a,\text{max}}$};%
%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMin];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (45:\saMin) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.6] {$s_{a,\text{min}}$};%
\fi\fi%


% kreis(Ma, sa)
\path[draw, ErrorColor, name path=kreisMa] (Ma) circle[radius=\saIst];
% Radius
\ifnum\saIstTest=99\def\Pos{1.1}\else\def\Pos{0.6}\fi
\path[draw, -latex] (Ma) --+ (-25:\saIst) node[ErrorColor, below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=\Pos] {\saTextB};
\path  (Ma) --+ (-\saIst,0);
\path  (Ma) --+ (\saIst,0);

% Schnittpunkte beider Kreise; und Dreiecke
\ifnum\saIstTest=0{}\else%
\ifnum\saIstTest=99{}\else%
\path[name intersections={of=kreisMa and kreisZ, name=A}];
\ifnum\saIstTest=1{%
% Berührpunkt
\coordinate[Punkt={}{A}] (A) at ([shift=(Ma)]90:\saIst);
\draw[Dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreieck
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A) -- (Ma) node[pos=0.4,left]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A) circle (2pt);
%
}\else%
% Schnittpunkte
\foreach \n/\Pos in {1/right,\saIstTest/left}{
\coordinate[Punkt={\Pos}{A_\n}] (A\n) at (A-\n);
\draw[Dreieck] (A\n) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreiecke
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A\n--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A\n) -- (Ma) node[midway, above, sloped]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A\n) circle (2pt);
}\fi\fi\fi


%\node[above] at (Z){\saIstTest}; % test


% Punkte
\foreach \P in {B,C,Ma,Z}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);


% Annotationen
\node[below of=Ma, yshift=-9mm, draw, align=left, anchor=north, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
\alpha = \Alpha^\circ   & \AlphaTextA   \\
a = \a \text{ cm}  & \\
s_{a} = \saIst  \text{ cm}   & \saTextA   \\ \hline
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{min}} = \saMin \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}}  \\ \hline
\alpha_\text{max} = \AlphaMax^\circ &       \\
\texttt{hier: }   \text{\AlphaTextB}       &           \\
\end{array}$
};



\end{tikzpicture}
</math>

<math>
% Seitenlängen
%\pgfmathsetmacro{\Alphamax}{2*atan(4/(2*3.5))} % Test
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %


\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %
\pgfmathsetmacro{\AlphaMax}{2*atan(\a/(2*\sa))}

\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\saMax+0.5} % TESTWERT



% Bedingungen
\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
% Bedingung für \sa
\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}
%
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,\,A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
%
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

% Bedingung für \Alpha
\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}
%
\newcommand\AlphaTextA{%
\ifnum\AlphaTest=1\Text{Konstruktion möglich}\else%
\color{red}\Text{Konstruktion nicht möglich}\fi%
}
%
\newcommand\AlphaTextB{%
\ifnum\AlphaTest=1{$\alpha \leq \alpha_\text{max}$}\else%
{\color{red}$\alpha > \alpha_\text{max}$}\fi}


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5) n;}

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={right}{Z}] (Z) at (\AlphaB:\r);

% Grundseite
\draw[] (B) -- (C);

% Fasskreis
% Radius
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (B) -- (Z);
\draw[densely dashed, name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
% Höhe
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (Ma) -- ($(Ma)+(0,\h)$); %  -- (Z)
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\h cm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =Z--Ma--B}; %
\draw pic [angle radius=0.25*\h cm,
"$\alpha$", draw,% densely dashed,
] {angle =B--Z--Ma}; %
\draw pic [draw,  angle radius=0.35*\h cm, angle eccentricity = 0.8,
%"$\tau$",
pic text=$\tau$, pic text options={yshift=-1.5pt},
] {angle =Ma--B--Z}; %

% Polkreise
\ifnum\saIstTest=1{}\else%
\ifnum\saIstTest=2{}\else%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMax];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (20:\saMax) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.8] {$s_{a,\text{max}}$};%
%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMin];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (45:\saMin) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.6] {$s_{a,\text{min}}$};%
\fi\fi%


% kreis(Ma, sa)
\path[draw, ErrorColor, name path=kreisMa] (Ma) circle[radius=\saIst];
% Radius
\ifnum\saIstTest=99\def\Pos{1.1}\else\def\Pos{0.6}\fi
\path[draw, -latex] (Ma) --+ (-25:\saIst) node[ErrorColor, below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=\Pos] {\saTextB};

% Schnittpunkte beider Kreise; und Dreiecke
\ifnum\saIstTest=0{}\else%
\ifnum\saIstTest=99{}\else%
\path[name intersections={of=kreisMa and kreisZ, name=A}];
\ifnum\saIstTest=1{%
% Berührpunkt
\coordinate[Punkt={}{A}] (A) at ([shift=(Ma)]90:\saIst);
\draw[Dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreieck
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A) -- (Ma) node[pos=0.4,left]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A) circle (2pt);
%
}\else%
% Schnittpunkte
\foreach \n/\Pos in {1/right,\saIstTest/left}{
\coordinate[Punkt={\Pos}{A_\n}] (A\n) at (A-\n);
\draw[Dreieck] (A\n) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreiecke
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A\n--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A\n) -- (Ma) node[midway, above, sloped]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A\n) circle (2pt);
}\fi\fi\fi


%\node[above] at (Z){\saIstTest}; % test


% Punkte
\foreach \P in {B,C,Ma,Z}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

% Test
% Annotationen
\node[below of=Ma, yshift=-9mm, draw, align=left, anchor=north, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
\alpha = \Alpha^\circ   & \AlphaTextA   \\
a = \a \text{ cm}  & \\
s_{a} = \saIst  \text{ cm}   & \saTextA   \\ \hline
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{min}} = \saMin \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}}  \\ \hline
\alpha_\text{max} = \AlphaMax^\circ &       \\
\texttt{hier: }   \text{\AlphaTextB}       &           \\
\end{array}$
};



\end{tikzpicture}
</math>

<math>
% Seitenlängen
%\pgfmathsetmacro{\Alphamax}{2*atan(4/(2*3.5))} % Test
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{66} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %


\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %
\pgfmathsetmacro{\AlphaMax}{2*atan(\a/(2*\sa))}

\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\sa} % TESTWERT



% Bedingungen
\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
% Bedingung für \sa
\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}
%
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,\,A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
%
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

% Bedingung für \Alpha
\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}
%
\newcommand\AlphaTextA{%
\ifnum\AlphaTest=1\Text{Konstruktion möglich}\else%
\color{red}\Text{Konstruktion nicht möglich}\fi%
}
%
\newcommand\AlphaTextB{%
\ifnum\AlphaTest=1{$\alpha \leq \alpha_\text{max}$}\else%
{\color{red}$\alpha > \alpha_\text{max}$}\fi}


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5) n;}

% Koordinaten
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={below}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={right}{Z}] (Z) at (\AlphaB:\r);

% Grundseite
\draw[] (B) -- (C);

% Fasskreis
% Radius
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (B) -- (Z);
\draw[densely dashed, name path=kreisZ] (Z) circle[radius=\r];
% Höhe
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (Ma) -- ($(Ma)+(0,\h)$); %  -- (Z)
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\h cm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =Z--Ma--B}; %
\draw pic [angle radius=0.25*\h cm,
"$\alpha$", draw,% densely dashed,
] {angle =B--Z--Ma}; %
\draw pic [draw,  angle radius=0.35*\h cm, angle eccentricity = 0.8,
%"$\tau$",
pic text=$\tau$, pic text options={yshift=-1.5pt},
] {angle =Ma--B--Z}; %

% Polkreise
\ifnum\saIstTest=1{}\else%
\ifnum\saIstTest=2{}\else%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMax];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (20:\saMax) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.8] {$s_{a,\text{max}}$};%
%
\draw[red, dashdotted] (Ma) circle[radius=\saMin];%
\draw[red, -latex] (Ma) --+ (45:\saMin) node[below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=0.6] {$s_{a,\text{min}}$};%
\fi\fi%


% kreis(Ma, sa)
\path[draw, ErrorColor, name path=kreisMa] (Ma) circle[radius=\saIst];
% Radius
\ifnum\saIstTest=99\def\Pos{1.1}\else\def\Pos{0.6}\fi
\path[draw, -latex] (Ma) --+ (-25:\saIst) node[ErrorColor, below=2pt, sloped, fill=black!1, inner sep=0pt, pos=\Pos] {\saTextB};

% Schnittpunkte beider Kreise; und Dreiecke
\ifnum\saIstTest=0{}\else%
\ifnum\saIstTest=99{}\else%
\path[name intersections={of=kreisMa and kreisZ, name=A}];
\ifnum\saIstTest=1{%
% Berührpunkt
\coordinate[Punkt={}{A}] (A) at ([shift=(Ma)]90:\saIst);
\draw[Dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreieck
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A) -- (Ma) node[pos=0.4,left]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A) circle (2pt);
%
}\else%
% Schnittpunkte
\foreach \n/\Pos in {1/right,\saIstTest/left}{
\coordinate[Punkt={\Pos}{A_\n}] (A\n) at (A-\n);
\draw[Dreieck] (A\n) -- (B) -- (C) -- cycle; % Dreiecke
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.15*\a cm,
"$\alpha$", draw,
] {angle =B--A\n--C}; %
% Seitenhalbierende
\draw (A\n) -- (Ma) node[midway, above, sloped]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (A\n) circle (2pt);
}\fi\fi\fi


%\node[above] at (Z){\saIstTest}; % test


% Punkte
\foreach \P in {B,C,Ma,Z}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

% Test
% Annotationen
\node[below of=Ma, yshift=-9mm, draw, align=left, anchor=north, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
\alpha = \Alpha^\circ   & \AlphaTextA   \\
a = \a \text{ cm}  & \\
s_{a} = \saIst  \text{ cm}   & \saTextA   \\ \hline
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{min}} = \saMin \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}}  \\ \hline
\alpha_\text{max} = \AlphaMax^\circ &       \\
\texttt{hier: }   \text{\AlphaTextB}       &           \\
\end{array}$
};



\end{tikzpicture}
</math>


(c) Berechne die fehlenden Seitenlängen <math>b</math> und <math>c</math> aus den gegebenen Größen <math>a, s_a, \alpha</math>.

Nach dem Satz des Appolonius gelten die Beziehungen <math>
4s_a^2 = 2b^2 +2c^2 -a^2
</math> und <math>
4s_a^2 = b^2 +c^2 +2bc\cdot \cos(\alpha)
</math>
Beweis.
Aus dem Schaubild entliest man mit Hilfe des Kosinussatzes

<math>
\begin{array}{l l}
x^2 &= m^2 + s^2 - 2sm\cdot\cos(\varphi) \\[2em]
y^2 &= m^2 + s^2 - 2sm\cdot\cos(\overline{\varphi}) \\
&= m^2 + s^2 + 2sm\cdot\cos(\varphi)
\end{array}
</math>

da <math>
\cos(\overline{\varphi}) = \cos(\pi-\varphi) = -\cos(\varphi)
</math>; also

<math>\underline{x^2 + y^2 = 2(m^2 + s^2)}</math>   (Satz des Appolonius).

<math>
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Seiten
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$x$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$y$};
% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={below}{}] (M) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw[red] (C) -- (M) node[midway, left]{$s$};
\path[] (A) -- (M) node[midway, above]{$m$};
\path[] (B) -- (M) node[midway, above]{$m$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.1*\c cm,
"$\varphi$", draw,
] {angle =C--M--A};
\draw pic [angle radius=0.11*\c cm,
"$\overline{\varphi}$", draw,
] {angle =B--M--C};

%% Annotationen - Aufgabe
%\path[local bounding box=scope1, draw=none]  (A) -- (A|-C);
%\path[local bounding box=scope2, draw=none]  (C) -- (C|-A);
%\pgfmathparse{\a < \b ? "1" : "2"}
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(scope\pgfmathresult.north)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,b/b,c/c}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$% = \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(0,-9mm)$)}, yshift=0*-16mm] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [angle radius=7mm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =R--Q--P};
%\end{scope}


%% Punkte
\foreach \P in {M}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>


<math>\Rightarrow~ 2s = x^2 +y^2 -2m^2</math>. Mit <math>s=s_a</math>,  <math>x=b</math>,  <math>y=c</math>  und <math>m = \dfrac{a}{2}</math> wird
<math>
2s_a^2 = b^2+c^2-2\cdot\dfrac{a^2}{4}
</math>   bzw. <math>
4s_a^2 = 2b^2 +2c^2 -a^2
</math>.

Setzt man darin den Kosinussatz ein, wird
<math>\begin{array}{ll}
4s_a^2 &= 2b^2 +2c^2 -a^2  \\[1em]
&= 2b^2 +2c^2 -\big( b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha) \big) \\[1.5em]
&= b^2 +c^2 +2bc\cdot\cos(\alpha).
\end{array}
</math>

Zusatz: Setzt man erneut den Kosinussatz ein, wird
<math>\begin{array}{ll}
4s_a^2 &= b^2 +c^2 +2bc\cdot\cos(\alpha) \\[1em]
&= \big( a^2+2bc\cdot\cos(\alpha) \big) +2bc\cdot\cos(\alpha) \\[1.5em]
&= a^2+4bc\cdot\cos(\alpha).
\end{array}
</math>

Damit erhält man für die Seitenhalbierenden insgesamt die Formeln

<math>
s_{a}=\dfrac{\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}
=\dfrac{\sqrt{b^{2}+c^{2}+2bc\cos(\alpha)}}{2}
=\sqrt{\dfrac{a^{2}}{4}+bc\cos(\alpha) }
</math>

<math>
s_{b}=\dfrac{\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}}{2}
=\dfrac{\sqrt{c^{2}+a^{2}+2ca\cos(\beta)}}{2}
=\sqrt{\dfrac{b^{2}}{4}+ca\cos(\beta)}
</math>

<math>
s_{c}=\dfrac{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}
=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\gamma)}}{2}
=\sqrt{\dfrac{c^{2}}{4}+ab\cos(\gamma) }
</math>

<math>
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\m}{1.7} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{\m*4.7} %
\pgfmathsetmacro{\sb}{\m*3} %
\pgfmathsetmacro{\sc}{\m*2.7} %

\pgfmathsetmacro{\a}{2*sqrt(-\sa^2+2*\sb^2+2*\sc^2)/3} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*sqrt(-\sb^2+2*\sa^2+2*\sc^2)/3} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*sqrt(-\sc^2+2*\sb^2+2*\sa^2)/3} %

\begin{tikzpicture}[scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
]
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c} %
\pgfmathsetmacro{\AHc}{sqrt(\b^2-\hc^2)} %
\pgfmathsetmacro{\AHcRes}{\b > \a ? \AHc : -\AHc} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\AHcRes,\hc);
\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={above}{M_b}] (Mb) at ($(A)!0.5!(C)$);
\coordinate[Punkt={below}{M_c}] (Mc) at ($(A)!0.5!(B)$);
\coordinate[Punkt={above}{S}] (S) at ($(A)!2/3!(Ma)$);

\draw[] (A) -- (Ma) node[near start, above]{$s_a$};
\draw[] (B) -- (Mb) node[near start, above]{$s_b$};
\draw[] (C) -- (Mc) node[near start, left]{$s_c$};

%% Annotationen - Strecken
%\path[local bounding box=scope1, draw=none]  (A) -- (A|-C);
%\path[local bounding box=scope2, draw=none]  (C) -- (C|-A);
%\pgfmathparse{\b > \a ? "1" : "2"}
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\sa, \sb, \sc)} %
%\begin{scope}[shift={($(scope\pgfmathresult.north)+(-\x cm-2mm,0)$)}]
%\tikzset{YShift/.style={yshift=-\y*\hc*0.3 cm}}
%\foreach[count=\y from 0] \s in {a,b,c}{%%
%\draw[|-|, YShift] (0,0) -- (\csname s\s \endcsname,0) node[midway, above]{$s_\s$%= \csname s\s \endcsname{} cm
%};
%\pgfmathsetmacro{\Drittel}{(\csname s\s \endcsname)/3}%
%\foreach \d in {1,...,2}{%
%\draw[YShift, xshift=\d*\Drittel cm] (0,0) -- (0,3pt) %node[above, font=\tiny]{\d$\cdot$\Drittel}
%;}%
%}%%
%\end{scope}

%% Hoehe einzeichnen
%\draw[red] (C) -- (\AHcRes,0) node[midway, left]{$h_c$};
%\draw[densely dashed, shorten >=-3mm] (A) -- (\AHcRes,0);

% Punkte
\foreach \P in {Ma,Mb,Mc,S}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>


Also hat man das nichtlineare Gleichungssystem

<math>\begin{array}{|l  l}
\texttt{(1)} & 4s^2 = 2b^2 +2c^2 -a^2 \\[0.75em]
\texttt{(2)} & 4s^2 = b^2 +c^2 +2bc\cdot \cos(\alpha)
\end{array}
</math>


(wobei <math>s:=s_a</math>) zu lösen.

<math>\texttt{(1)}-2\cdot\texttt{(2)}:</math>

<math>-4s^2 = -a^2-4bc\cdot\cos(\alpha)</math>
<math>\Leftrightarrow~
b\cdot c = \dfrac{4s^2-a^2}{4\cdot\cos(\alpha)} =: w
</math>  

<math>\Rightarrow~
\underline{b\cdot c = w}
</math>   in  <math>\texttt{(1)}</math>


<math>4s^2=2b^2+2\cdot\dfrac{w^2}{b^2} -a^2 </math>   bzw. mit der Substitution <math>b^2 = z</math>


<math>4s^2=2z +2\cdot\dfrac{w^2}{z} -a^2 </math>

<math>\Leftrightarrow~
z + \dfrac{w^2}{z} = \dfrac{4s^2+a^2}{2} := v
</math>

<math>\Leftrightarrow~
z^2 -v\cdot z +w^2 = 0
</math>

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung liefert  <math>
z_{1/2} = \dfrac{v \pm \sqrt{v^2-4\cdot w^2}}{2}.
</math>

Rücksubstitution <math>b^2 = z</math> liefert die grundsätzlich nicht negativen Lösungen

<math>\underline{\underline{
b_{1/2} = \sqrt{\dfrac{v \pm \sqrt{v^2-4\cdot w^2}}{2}}
}},
</math> mithin <math>\underline{\underline{
c_{1/2} = \dfrac{w}{b_{1/2}}  }}
~~\text{mit}~ v := \dfrac{4s_a^2+a^2}{2}
~~\text{und}~ w := \dfrac{4s_a^2-a^2}{4\cdot\cos(\alpha)}
</math>

Beispiele.

<math>% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %

\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha/2))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %

% \saMin, \saMax
\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
%\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\a/(2*tan(\Alpha/2))} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2

% \AlphaMax
\pgfmathsetmacro{\AlphaMax}{2*atan(\a/(2*\sa))}

% TESTWERT
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\sa}

\pgfmathsetmacro{\w}{(4*\saIst^2-\a^2)/(4*cos(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\v}{(4*\saIst^2+\a^2)/2} %
%v, w: \v, \w
\pgfmathsetmacro{\zI}{(\v+sqrt(\v^2-4*\w^2))/2} %
\pgfmathsetmacro{\zII}{(\v-sqrt(\v^2-4*\w^2))/2} %
%\zI, \zII
\pgfmathsetmacro{\bI}{sqrt(\zI)} %
\pgfmathsetmacro{\bII}{sqrt(\zII)} %
%b: \bI, \bII
\pgfmathsetmacro{\cI}{\w/\bI} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{\w/\bII} %
%c:  \cI, \cII


% Bedingung für \sa
\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}
% Bedingung für \Alpha
\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

\ifnum\saIstTest=2{%=========================
% Dreieck A1BC
\begin{scope}[local bounding box=Dreieck1]
\pgfmathsetmacro{\b}{\bI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %

\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} % hier gegeben

\coordinate[Punkt={below}{A_1}] (A1) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A1) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Winkel alpha
\draw pic [angle radius=0.125*\c cm, angle eccentricity=1.3, draw,
pic text=$\alpha$, pic text options={yshift=0pt},
%"$\alpha$",
] {angle =B--A1--C}; %
% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[thick] (A1) -- (Ma) node[pos=0.7, below]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
\end{scope}
% Dreieck A2BC
\begin{scope}[shift={($(\cI cm+11mm, 0)$)}]
\pgfmathsetmacro{\b}{\bII} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cII} %

\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} % hier gegeben

\coordinate[Punkt={below}{A_2}] (A2) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A2) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Winkel alpha
\draw pic [angle radius=0.125*\c cm, angle eccentricity=1.2, draw,
pic text=$\alpha$, pic text options={yshift=4pt},
%"$\alpha$",
] {angle =B--A2--C}; %
% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[thick] (A2) -- (Ma) node[pos=0.7, below]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
\end{scope}
}% =====================================
\else{% ==================================
\ifnum\saIstTest=1{%=========================
% Dreieck ABC
\begin{scope}[local bounding box=Dreieck1]
\pgfmathsetmacro{\b}{\bI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %

\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} % hier gegeben

\coordinate[Punkt={below}{A}] (A1) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A1) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Winkel alpha
\draw pic [angle radius=0.125*\c cm, angle eccentricity=1.2, draw,
pic text=$\alpha$, pic text options={yshift=3pt},
%"$\alpha$",
] {angle =B--A1--C}; %
% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[thick] (A1) -- (Ma) node[pos=0.7, below]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
\end{scope}
}\else{% ==================================
\node[draw, red, align=left](A1){kein Dreieck};
}\fi
}\fi











% Bedingungen
\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
%% Bedingung für \sa
%\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
%\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
%\saIst==\saMax ?  1 : (
%\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
%))}
%
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,\,A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
%
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

% Bedingung für \Alpha
%\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}
%
\newcommand\AlphaTextA{%
\ifnum\AlphaTest=1\Text{Konstruktion möglich}\else%
\color{red}\Text{Konstruktion nicht möglich}\fi%
}
%
\newcommand\AlphaTextB{%
\ifnum\AlphaTest=1{$\alpha \leq \alpha_\text{max}$}\else%
{\color{red}$\alpha > \alpha_\text{max}$}\fi}

% Annotationen
\node[below of=A1, anchor=north west, yshift=-0mm, draw, align=left, outer sep=0pt, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
\alpha = \Alpha^\circ   & \AlphaTextA   \\
a = \a \text{ cm}  & \\
s_{a} = \saIst  \text{ cm}   & \saTextA   \\ \hline
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{min}} = \saMin \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}}  \\ \hline
\alpha_\text{max} = \AlphaMax^\circ &       \\
\texttt{hier: }   \text{\AlphaTextB}       &           \\ \hline
b_1 = \bI \text{ cm} &  b_2 = \bII \text{ cm} \\
c_1 = \cI \text{ cm} &  c_2 = \cII \text{ cm}  \\
\end{array}$
};

%% Punkte
%\foreach \P in {Ma}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>

<math>% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{49} %
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\sa}{3.5} %

\pgfmathsetmacro{\AlphaB}{90-\Alpha} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{\a/(2*tan(\Alpha/2))} %
\pgfmathsetmacro{\h}{tan(\AlphaB)*\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(  \r^2-\a^2/4   } %

% \saMin, \saMax
\pgfmathsetmacro{\saMin}{\a/2} % kein Schnittpunkt
\pgfmathsetmacro{\saMax}{\h+\r} %   ein Berührpunkt A
% Dazwischen zwei Schnittpunkte A1, A2

% \AlphaMax
\pgfmathsetmacro{\AlphaMax}{2*atan(\a/(2*\sa))}

% TESTWERT
\pgfmathsetmacro{\saIst}{\saMax}

\pgfmathsetmacro{\w}{(4*\saIst^2-\a^2)/(4*cos(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\v}{(4*\saIst^2+\a^2)/2} %
%v, w: \v, \w
\pgfmathsetmacro{\zI}{(\v+sqrt(\v^2-4*\w^2))/2} %
\pgfmathsetmacro{\zII}{(\v-sqrt(\v^2-4*\w^2))/2} %
%\zI, \zII
\pgfmathsetmacro{\bI}{sqrt(\zI)} %
\pgfmathsetmacro{\bII}{sqrt(\zII)} %
%b: \bI, \bII
\pgfmathsetmacro{\cI}{\w/\bI} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{\w/\bII} %
%c:  \cI, \cII


% Bedingung für \sa
\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
\saIst==\saMax ?  1 : (
\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
))}
% Bedingung für \Alpha
\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

\ifnum\saIstTest=2{%=========================
% Dreieck A1BC
\begin{scope}[local bounding box=Dreieck1]
\pgfmathsetmacro{\b}{\bI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %

\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} % hier gegeben

\coordinate[Punkt={below}{A_1}] (A1) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A1) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Winkel alpha
\draw pic [angle radius=0.125*\c cm, angle eccentricity=1.3, draw,
pic text=$\alpha$, pic text options={yshift=0pt},
%"$\alpha$",
] {angle =B--A1--C}; %
% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[thick] (A1) -- (Ma) node[pos=0.7, below]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
\end{scope}
% Dreieck A2BC
\begin{scope}[shift={($(\cI cm+11mm, 0)$)}]
\pgfmathsetmacro{\b}{\bII} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cII} %

\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} % hier gegeben

\coordinate[Punkt={below}{A_2}] (A2) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A2) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Winkel alpha
\draw pic [angle radius=0.125*\c cm, angle eccentricity=1.2, draw,
pic text=$\alpha$, pic text options={yshift=4pt},
%"$\alpha$",
] {angle =B--A2--C}; %
% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[thick] (A2) -- (Ma) node[pos=0.7, below]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
\end{scope}
}% =====================================
\else{% ==================================
\ifnum\saIstTest=1{%=========================
% Dreieck ABC
\begin{scope}[local bounding box=Dreieck1]
\pgfmathsetmacro{\b}{\bI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %

\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} % hier gegeben

\coordinate[Punkt={below}{A}] (A1) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A1) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Winkel alpha
\draw pic [angle radius=0.125*\c cm, angle eccentricity=1.2, draw,
pic text=$\alpha$, pic text options={yshift=3pt},
%"$\alpha$",
] {angle =B--A1--C}; %
% Seitenhalbierende
\coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[thick] (A1) -- (Ma) node[pos=0.7, below]{$s_a$};
% Punkte
\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
\end{scope}
}\else{% ==================================
\node[draw, red, align=left](A1){kein Dreieck};
}\fi
}\fi











% Bedingungen
\newcommand\Text[1]{\texttt{ (#1)}}
%% Bedingung für \sa
%\pgfmathsetmacro{\saIstTest}{%
%\saMin < \saIst && \saIst < \saMax ? 2 : (
%\saIst==\saMax ?  1 : (
%\saIst>\saMax ?  0 : 99% das ist \saIst <= \saMin
%))}
%
\newcommand\saTextA{%
\ifnum\saIstTest=1{\Text{ein Berührpunkt $A$}}\else%
\ifnum\saIstTest=2{\Text{zwei Schnittpunkte $A_1,\,A_2$}}\else{\color{red}\Text{kein Schnittpunkt}}%
\fi\fi}
%
\newcommand\saTextB{%
\ifnum\saIstTest=1{$s_a = s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=2{$s_{a,\text{min}} < s_a \leq s_{a,\text{max}}$}\else
\ifnum\saIstTest=0{\color{red}$s_a >  s_{a,\text{max}}$}\else%
\ifnum\saIstTest=99{\color{red}$s_a \leq  s_{a,\text{min}}$}%
\fi\fi\fi\fi}

\ifnum\saIstTest=0%
\tikzset{ErrorColor/.style={red,}}\else%
\ifnum\saIstTest=99%
\tikzset{ErrorColor/.style={red}}\else%
\tikzset{ErrorColor/.style={}}%
\fi\fi%

% Bedingung für \Alpha
%\pgfmathsetmacro{\AlphaTest}{\Alpha <= \AlphaMax ? 1 : 0}
%
\newcommand\AlphaTextA{%
\ifnum\AlphaTest=1\Text{Konstruktion möglich}\else%
\color{red}\Text{Konstruktion nicht möglich}\fi%
}
%
\newcommand\AlphaTextB{%
\ifnum\AlphaTest=1{$\alpha \leq \alpha_\text{max}$}\else%
{\color{red}$\alpha > \alpha_\text{max}$}\fi}

% Annotationen
\node[below of=A1, anchor=north west, yshift=-0mm, draw, align=left, outer sep=0pt, fill=lightgray!50]{$\begin{array}{l l}
\alpha = \Alpha^\circ   & \AlphaTextA   \\
a = \a \text{ cm}  & \\
s_{a} = \saIst  \text{ cm}   & \saTextA   \\ \hline
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{min}} = \saMin \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\multicolumn{2}{l}{\texttt{hier: } \text{\saTextB}}  \\ \hline
\alpha_\text{max} = \AlphaMax^\circ &       \\
\texttt{hier: }   \text{\AlphaTextB}       &           \\ \hline
b_1 = \bI \text{ cm} &  b_2 = \bII \text{ cm} \\
c_1 = \cI \text{ cm} &  c_2 = \cII \text{ cm}  \\
\end{array}$
};

%% Punkte
%\foreach \P in {Ma}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}</math>




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