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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gleichmäßige Konvergenz überprüfen
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Universität/Hochschule Gleichmäßige Konvergenz überprüfen
LamyOriginal
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.11.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-15



Hallo,

wenn ich eine Funktionenfolge auf gleichmäßige Konvergenz überprüfen soll, benutze ich die Definition

fed-Code einblenden

Zum Verständnis:
Die Voraussetzung für gleichmäßige Konvergenz ist die punktweise Konvergenz. Das heißt es muss der Grenzwert f(x) von der Funktionenfolge existieren.
Sprich: fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Richtig?

Nun meine Frage:
fed-Code einblenden

Kann ich für die gleichmäßige Konvergenz nicht "einfach" die Grenzfunktion f(x) bestimmen, indem ich bei f_n n->oo laufen lasse und dann schaue, ob die Differenz von der Funktionenfolge und dem Grenzwert für n gegen Unendlich gegen 0 läuft?
Sprich fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

LG




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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1495
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-15


Hey LamyOriginal,

bei punktweiser Konvergenz bestimmst du für ein festes, gegebenes \(x\) im Definitionsbereich der \(f_n\) den Grenzwert \( \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)\) (sofern dieser existiert) und nennst diesen Grenzwert \(f(x)\). Beachte dabei, dass \((f_n(x))_n\) für festes \(x\) eine Funktionenfolge in \(\mathbb{R}\) ist.
Das \(n_0\) aus der Definition der Konvergenz in \(\mathbb{R}\) darf hier also von \(x\) abhängen.

Bei gleichmäßiger Konvergenz darf dieses \(n_0\) nun nicht mehr von \(x\) abhängen! Man kann dies gut auch mit Quantoren verdeutlichen:

Sei \(f_n:D \to \mathbb{R}\) eine Funktionenfolge und \(f: D \to \mathbb{R}\). Dann konvergiert \(f_n\) gegen \(f\)...

- punktweise, falls gilt:
\(\forall ~x \in \mathbb{R} ~\forall \epsilon>0 ~\exists n_0 \in \mathbb{N} ~\forall n \geq n_0: ~|f_n(x) - f(x)| < \epsilon\).

- gleichmäßig, falls gilt:
\(\forall \epsilon>0 ~\exists n_0 \in \mathbb{N} ~\forall n \geq n_0 \forall ~x \in \mathbb{R}: ~|f_n(x) - f(x)| < \epsilon\).

Bei gleichmäßiger Konvergenz rutscht also der \(\forall ~x \in \mathbb{R}\)-Teil hinter den \(\exists n_0 \in \mathbb{N}\)-Teil, d.h. das \(n_0\) darf hier nicht von \(x\) abhängen, bei punktweiser Konvergenz schon



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LamyOriginal
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 67
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15


2019-03-15 19:27 - Kampfpudel in Beitrag No. 1 schreibt:
Hey LamyOriginal,

bei punktweiser Konvergenz bestimmst du für ein festes, gegebenes \(x\) im Definitionsbereich der \(f_n\) den Grenzwert \( \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)\) (sofern dieser existiert) und nennst diesen Grenzwert \(f(x)\). Beachte dabei, dass \((f_n(x))_n\) für festes \(x\) eine Funktionenfolge in \(\mathbb{R}\) ist.
Das \(n_0\) aus der Definition der Konvergenz in \(\mathbb{R}\) darf hier also von \(x\) abhängen.

Bei gleichmäßiger Konvergenz darf dieses \(n_0\) nun nicht mehr von \(x\) abhängen! Man kann dies gut auch mit Quantoren verdeutlichen:

Sei \(f_n:D \to \mathbb{R}\) eine Funktionenfolge und \(f: D \to \mathbb{R}\). Dann konvergiert \(f_n\) gegen \(f\)...

- punktweise, falls gilt:
\(\forall ~x \in \mathbb{R} ~\forall \epsilon>0 ~\exists n_0 \in \mathbb{N} ~\forall n \geq n_0: ~|f_n(x) - f(x)| < \epsilon\).

- gleichmäßig, falls gilt:
\(\forall \epsilon>0 ~\exists n_0 \in \mathbb{N} ~\forall n \geq n_0 \forall ~x \in \mathbb{R}: ~|f_n(x) - f(x)| < \epsilon\).

Bei gleichmäßiger Konvergenz rutscht also der \(\forall ~x \in \mathbb{R}\)-Teil hinter den \(\exists n_0 \in \mathbb{N}\)-Teil, d.h. das \(n_0\) darf hier nicht von \(x\) abhängen, bei punktweiser Konvergenz schon


Danke erstmal für deine ausführliche Antwort!
Aber ich verstehe den Unterschied bei der praktischen Überprüfung nicht ganz. Bei der punktweisen Konvergenz überprüfe ich ob der Grenzwert von f_n existiert, wenn ich n gegen unendlich laufen lasse.

Bei der gleichmäßigen Konvergenz lasse ich n doch auch gegen Unendlich laufen aber von der Differenz fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
und schaue ob sie gegen Null läuft.
Wofür dann die Supremumsnorm mit den zwei Betragsstrichen? Oder vergesse ich einen Schritt?

Danke



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 381
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo LamyOriginal,

bei gleichmäßiger Konvergenz lässt du eben nicht $\vert f_n(x)-f(x)\vert$ gegen 0 laufen, sondern $\Vert f_n-f\Vert:=\sup_x \vert f_n(x)-f(x)\vert$. Ersteres ist eine Funktion, die für jeden Wert von x anders aussieht. Letzteres ist eine einzige Zahl, die nicht von $x$ abhängt. Und selbst wenn der erste Ausdruck für jedes $x$ gegen 0 konvergiert, kann der zweite Ausdruck gegen etwas anderes konvergieren, oder sogar divergieren. Zum Beispiel konvergiert $f_n(x)=\cases{0&$x<n$\\1&$x\geq n$}$ punktweise gegen $f(x)=0$, aber $\Vert f-f_n\Vert=1~\forall n$ konvergiert gegen 1.
\(\endgroup\)


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LamyOriginal
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Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 67
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
2019-03-15 21:58 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo LamyOriginal,

bei gleichmäßiger Konvergenz lässt du eben nicht $\vert f_n(x)-f(x)\vert$ gegen 0 laufen, sondern $\Vert f_n-f\Vert:=\sup_x \vert f_n(x)-f(x)\vert$. Ersteres ist eine Funktion, die für jeden Wert von x anders aussieht. Letzteres ist eine einzige Zahl, die nicht von $x$ abhängt. Und selbst wenn der erste Ausdruck für jedes $x$ gegen 0 konvergiert, kann der zweite Ausdruck gegen etwas anderes konvergieren, oder sogar divergieren. Zum Beispiel konvergiert $f_n(x)=\cases{0&$x<n$\\1&$x\geq n$}$ punktweise gegen $f(x)=0$, aber $\Vert f-f_n\Vert=1~\forall n$ konvergiert gegen 1.


Ah okay, kannst du mir bitte noch zeigen wie du bei fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
auf 1 kommst in deinem Beispiel?

Danke!
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
$\Vert f-f_n\Vert$ ist ja per Definition $\sup_x\vert f(x)-f_n(x)\vert$. Jetzt ist $f(x)=0$, da ja $f_n$ punktweise gegen $0$ konvergiert, also ist $\sup_x\vert f(x)-f_n(x)\vert=\sup_x\vert0-f_n(x)\vert=\sup_x\vert f_n(x)\vert$. $f_n$ nimmt nur die Werte 0 und 1 an, und zwar für alle $n$, also ist das Supremum einfach 1.
\(\endgroup\)


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LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
2019-03-15 23:25 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 5 schreibt:
$\Vert f-f_n\Vert$ ist ja per Definition $\sup_x\vert f(x)-f_n(x)\vert$. Jetzt ist $f(x)=0$, da ja $f_n$ punktweise gegen $0$ konvergiert, also ist $\sup_x\vert f(x)-f_n(x)\vert=\sup_x\vert0-f_n(x)\vert=\sup_x\vert f_n(x)\vert$. $f_n$ nimmt nur die Werte 0 und 1 an, und zwar für alle $n$, also ist das Supremum einfach 1.

Also kann ich das bei der gleichmäßigen Konvergenz so verstehen, dass der Wert von fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
immer der ist, wenn man n gegen Unendlich laufen UND x so groß wie möglich aus dem Definitionsbereich nimmt (z.B. Unendlich bzw die obere Grenze)? Also kein festes x mehr wie bei der punktweisen Konvergenz?

Sorry aber der Unterschied ist mir bei der praktischen Bestimmung noch nicht ganz klar :(
\(\endgroup\)


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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
Hallo

2019-03-16 10:13 - LamyOriginal in Beitrag No. 6 schreibt:
Also kann ich das bei der gleichmäßigen Konvergenz so verstehen, dass der Wert von fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
immer der ist, wenn man n gegen Unendlich laufen UND x so groß wie möglich aus dem Definitionsbereich nimmt (z.B. Unendlich bzw die obere Grenze)?

Nein. Das x muss nicht so groß wie möglich gewählt werden.
Du betrachtest für ein festes $n$ den größten Abstand zwischen $f$ und $f_n$. Falls es ein x gibt, an dem der größte Abstand zwischen $f$ und $f_n$ angenommen wird, nimmst du eben dieses $x$ und genau diesen Abstand. Jetzt variierst du das n. Damit erhälst du eine Folge bezüglich n. Konvergiert die Folge der größten Abstände gegeb Null, dann konvergiert f_n gleichmäßig gegen f.
\(\endgroup\)


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LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
2019-03-16 11:15 - ochen in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo

2019-03-16 10:13 - LamyOriginal in Beitrag No. 6 schreibt:
Also kann ich das bei der gleichmäßigen Konvergenz so verstehen, dass der Wert von fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
immer der ist, wenn man n gegen Unendlich laufen UND x so groß wie möglich aus dem Definitionsbereich nimmt (z.B. Unendlich bzw die obere Grenze)?

Nein. Das x muss nicht so groß wie möglich gewählt werden.
Du betrachtest für ein festes $n$ den größten Abstand zwischen $f$ und $f_n$. Falls es ein x gibt, an dem der größte Abstand zwischen $f$ und $f_n$ angenommen wird, nimmst du eben dieses $x$ und genau diesen Abstand. Jetzt variierst du das n. Damit erhälst du eine Folge bezüglich n. Konvergiert die Folge der größten Abstände gegeb Null, dann konvergiert f_n gleichmäßig gegen f.


Achso jetzt hab ich  verstanden was die Supremumsnorm zeigt und warum man n gegen unendlich laufen lässt bzw variiert, aber wie bestimme ich denn dieses x? Gibt es ja einen genauen rechnerischen Weg? Genau dieses Bestimmen des x verstehe ich nicht.

Danke
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1495
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-03-16


Dafür kann dir keiner ein Kochrezept geben, das hängt ganz von \(f_n\) und \(f\) ab.
In aller Regel will man dieses x (das ja von \(n\) abhängt), für das \(|f_n(x) - f(x)|\) maximal wird, gar nicht bestimmen (zumal ein solches \(x\) i.A. gar nicht existieren muss...).
Was man beim Nachweis für gleichmäßige Konvergenz in der Regel tut, ist eine Abschätzung nach oben von \(|f_n(x) - f(x)|\) durch eine Folge \(a_n\) zu finden, die nicht mehr von \(x\) abhängt und von der man zeigen kann, dass \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0\) gilt (Der Unterschied zur punktweisen Konvergenz ist hier, dass bei der punktweisen Konvergenz das \(a_n\) sehr wohl von \(x\) abhängen darf).
Vielleicht mal ein Beispiel:
Sei \(f_n: [-1,1] \to \mathbb{R}\), \(f_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}\) für alle \(x \in [-1,1]\) und \(n \in \mathbb{N}\). Man überlegt sich schnell, dass für jedes \(x \in [-1,1]\) gilt: \( \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) = \sqrt{x^2}=|x| \). Somit ist \(f: [-1,1] \to \mathbb{R}\) definiert durch \(f(x) = |x|\) für alle \(x \in [-1,1]\) der punktweise Grenzwert der Folge \(f_n\).
Wollen wir nun nachweisen, dass die Folge \(f_n\) gleichmäßig gegen \(f\) konvergiert, so müssen wir \(|f_n(x) - f(x)|\) geeignet nach oben durch eine von \(x\) unabhängige Nullfolge abschätzen. Es gilt für alle \(x \in [-1,1]\):

\(|f_n(x) - f(x)|=| \sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} - |x| |= |\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} - \sqrt{x^2}|= | \frac{x^2 + \frac{1}{n} - x^2}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} + \sqrt{x^2}}| =  \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} + \sqrt{x^2}} \leq \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{n}}\).
Dabei wurde beim dritten = die 3. Binomische Formel verwendet und beim \(\leq\) benutzt, dass der Ausdruck links neben dem \(\leq\) am größten wird, wenn man für \(x\) die \(0\) einsetzt. Da \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=0\) ist, konvergiert nun \(f_n\) sogar gleichmäßig gegen \(f\) .



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