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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Kriterien Stetigkeit
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Universität/Hochschule Kriterien Stetigkeit
LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-15


Hallo,

wenn ich eine Funktion auf Stetigkeit überprüfen soll, benutze ich drei Kriterien:
Entweder das e-d-Kriterium, das Folgenkriterium oder ich untersuche die einseitigen Limiten in einem Punkt x_0 (meist der Übergangsstelle einer zusammengesetzten Funktion).

Meine Frage: gibt es eine Faustregel, bei der die Verwendung des einen Kriteriums ratsamer, schneller oder einfacher ist als das andere (zb bei einem bestimmten Funktionstypen?
Ich weiß nie, welches Kriterium ich für die Überprüfung benutzen soll.

Danke!



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Wirkungsquantum
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 713
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-15


Hallo,
ich würde sagen als Faustregel solltest ed-Kriterium verwenden, falls du weder eine geeignete Abschätzung parat hast, noch die Funktion Zusammensetzung bekannter Funktionen ist.

Grüße,
h


-----------------
$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-15


Das Folgenkriterium wird eigentlich auch nur benutzt, wenn man Stetigkeit widerlegen möchte.

Als 'Faustregel' also vielleicht:

Allgemeiner Beweis der Stetigkeit für eine Funktion ---> $\epsilon$-$\delta$-Kriterium.

Stetigkeit widerlegen ---> Folgenkriterium

Stetigkeit einer zusammengesetzten Funktion beweisen ---> beidseitige Grenzwerte an potentieller Unstetigkeitsstelle prüfen.



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Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-15


2019-03-15 21:50 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 2 schreibt:
Das Folgenkriterium wird eigentlich auch nur benutzt, wenn man Stetigkeit widerlegen möchte.

Seit wann ist das denn so? Ich benutze das Folgenkriterium oft (fast immer), um Stetigkeit zu zeigen. Aber letztendlich sind diese Kriterien ja sowieso (unter Voraussetzung eines Auswahlaxioms) äquivalent.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 381
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Da muss ich mich Kezer anschließen. Für das $\epsilon-\delta$-Kriterium braucht es viel mehr geometrische Intuition. Beim Folgenkriterium muss man meistens nur mit konvergenten Folgen rechnen können, was meistens einfach ist. Sowas wie das Summen und Produkte konvergenter Folgen wieder gegen Summe bzw. Produkt der Grenzwerte konvergiert, macht es bei ziemlich vielen der "einfachen" Funktionen leicht, Stetigkeit zu beweisen. Insbesondere alle gebrochenrationalen Funktionen, Verkettungen von Funktionen, und Funktionen mit nur einer fragwürdigen Stelle (dann sogar im mehrdimensionalen Fall sehr nützlich, zum Beispiel bei so Funktionen wie $\frac{x^2-y^2}{x+y}$) sind mit dem Folgenkriterium sehr elegant zu behandeln.
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2139
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-15


Hmm, ich kann mich jetzt nicht erinnern, dass ich jemals einen Stetigkeitsbeweis mittels Folgenkriterium gesehen hätte. Aber das hat ja nichts zu bedeuten.

Dann irre ich mich wohl, was diesen Punkt angeht.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 381
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Es hat sicher auch mit persönlichen Vorlieben zu tun. Bei uns wurde damals in Analysis I die Stetigkeit direkt per Folgenkriterium definiert, und daraus erst das $\epsilon-\delta$-Kriterium hergeleitet. Seitdem habe ich eigentlich immer lieber per Folgenkriterium gearbeitet. Mit solchen Erfahrungen hat das bestimmt auch zu tun.
\(\endgroup\)


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Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 266
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-15


Ja, das hat bestimmt viel mit persönlichen Vorlieben zu tun  smile Ich habe in Analysis 1 auch zuerst das Folgenkriterium gelernt (bis $\varepsilon-\delta$ paar Monate später eingeführt wurde), und es immer bevorzugt.

Hier ein Beispiel: Wie gewohnt kann man Grenzwertkalküle herleiten, also die Verträglichkeit von Addition, Multiplikation, etc. mit der Grenzwertbildung.
Unter Nutzung dieses Kalküls, folgt unmittelbar mit Folgenstetigkeit, dass Polynome auf $\mathbb{R}$ stetig sind. Mit $\varepsilon-\delta$ geht das vermutlich nicht ganz so schnell.

(Also genau wie Vercassivelaunos gesagt hat, Grenzwertkalküle erleichtern das Leben teilweise.)




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