Die Mathe-Redaktion - 26.05.2019 09:59 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Sept.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 368 Gäste und 17 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionen » Imaginäre Errorfunktion erfi
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Imaginäre Errorfunktion erfi
raiden
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.01.2013
Mitteilungen: 77
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-15


Guten Abend,

Sei \(z = \frac{\omega +\mathrm{i}\nu}{k v}\), wobei \(z, k\) komplex und \(\omega,\nu, v\) reel sein sollen. Gesucht ist das Integral \(\int^\infty_{-\infty}\frac{\exp(-u^2)}{u-z} \mathrm{d}u\). Ich habe im Abramowitz (Handbook of mathematical functions) nachgeschlagen und komme auf \(\int^\infty_{-\infty}\frac{\exp(-u^2)}{u-z} \mathrm{d}u = \mathrm{i} \pi \exp(-z^2)(1+\mathrm{i}\, \mathrm{erfi}(z))\). Eine andere Quelle gibt als Lösung \( \mathrm{i} \pi \exp(-z^2)(\frac{k}{|k|}+\mathrm{i}\, \mathrm{erfi}(z))\) an. Leider kann ich mir nicht erklären, wo der Term \(k/|k|\) herkommen soll. Hat jemand eine Idee? Vielen Dank.  



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1680
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-16


Hallo raiden,
Wenn ich $z=0$ setze, müsste aufgrund der Tatsache, dass der Integrand ungerade und reell ist, null herauskommen. Sowohl mit der 1 als auch mit $k/|k|$ kommt aber nicht null heraus.
Das Integral ist ja Lösung der DGL
$$y'(z)+2z\cdot y(z)=-2\sqrt\pi$$ deren Lösung eigentlich
$$y(z)=-\pi e^{-z^2}\left(c+\text{erfi}(z)\right)$$ist. Das kann ich auch darstellen als
$$y(z)=i\pi e^{-z^2}\left(ic+i\text{erfi}(z)\right)$$
$c$ ist eine Konstante, die aus der Beliebigkeit der homogenen Lösung der DGL resultiert. Nun könnte ich sowohl $c=-i$ als auch $c=-\frac k{|k|}i$ setzen, um auf Deine Lösungen zu kommen, denn beides sind Konstanten. Aber wenn $y(0)=0$ sein soll, müsste man eigentlich $c=0$ setzen.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 288
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-16


2019-03-16 01:15 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1 schreibt:
Wenn ich $z=0$ setze, müsste aufgrund der Tatsache, dass der Integrand ungerade und reell ist, null herauskommen.

Du kannst nicht einfach naiv $z=0$ setzen, weil das Integral dann gar nicht mehr existiert.

Für $z\to0$ geht das Integral je nach Definition gegen $\pm i\pi$.

Je nach Definition bedeutet dabei, dass man das Integral auf drei Arten lesen kann:
1. Man liest es für alle $z$ mit $\operatorname{Im}z\ne0$ "wörtlich" als Integral und nimmt in Kauf, dass es dann als Funktion von $z$ nicht analytisch ist.
2. Man liest es für $\operatorname{Im}z>0$ als Integral und setzt es für $\operatorname{Im}z\le0$ analytisch fort.
3. Man liest es für $\operatorname{Im}z<0$ als Integral und setzt es für $\operatorname{Im}z\ge0$ analytisch fort.

Die beiden unterschiedlichen Formeln aus dem Startbeitrag kommen dadurch zustande, dass einmal eine analytische und einmal die nicht analytische Definition verwendet wird.

Weitere Details sind z.B. hier in den Abschnitten 2 und 3 zu finden.

--zippy



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1680
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-16


Stimmt, in der komplexen Ebene funktioniert es bei z=0 nicht so einfach. Aber laut Startbeitrag ist $k$ komplex. $k/|k|$ ist demnach eine beliebige komplexe Zahl mit Betrag 1. Dann kommt aber bei $z\rightarrow 0$ auch nicht $\pm i\pi$ heraus. Und dann sind da noch ein paar mehr Variablen. Ich könnte $k$ mit -1 multiplizieren, und $v$ auch, dann wäre $z$ immer noch das gleiche, während dann $k/|k|$ halt den mit -1 multiplizierten Wert annimmt. Das erscheint mir willkürlich. Es sei denn, $\omega$, $\nu$ und $v$ sind nicht nur reell, sondern auch per Definition positiv.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 288
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-16


Wenn der Fragesteller schon bei der Frage, wie das Intergral eigentlich definiert ist, nicht so genau hingeschaut hat, wird es möglicherweise bei der Frage, welche Variablen komplex / reell / positiv sind, nicht besser aussehen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
raiden
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.01.2013
Mitteilungen: 77
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-16


Hallo zusammen,

vielen Dank für eure Antworten. Sorry für meine unpräzise Fragestellung und die Verwirrung mit den vielen Variablen.

@MontyPythagoras: Deine Vermutung ist korrekt: \(v, \omega, \nu > 0\).  Von \(k\) kann ich leider nur mit Sicherheit sagen, dass \(|k| \neq 0\), d.h. die Vorzeichen von Real- und Imaginärteil von \(k\) und \(z\) kenne ich nicht.

Nehmen wir zunächst einfach mal an, dass zudem der von zippy beschriebene Fall 2. vorliegt, d.h. \(k\) sei so, dass \(\operatorname{Im}z>0\). Wieso taucht bei der analytischen Fortsetzung in der unteren komplexen Halbebene dann \(k/|k|\) auf?

Vielen Dank für eure Hilfe.





  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 288
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-16


2019-03-16 12:25 - raiden in Beitrag No. 5 schreibt:
Nehmen wir zunächst einfach mal an, dass zudem der von zippy beschriebene Fall 2. vorliegt

In diesem Fall erhält man die Formel aus Abramowitz/Stegun (und zwar ohne irgendwelche Voraussetzungen an die Vorzeichen von $\nu$, $v$ und $\omega$).

Die Formel aus der "anderen Quelle" (es wäre hilfreich, wenn du die mal angeben würdest) erhält man im 1. Fall unter der zusätzlichen Voraussetzung (zusätzlich zu $\nu>0$ und $v>0$), dass $k$ reell ist.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
raiden
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.01.2013
Mitteilungen: 77
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-16


Hier der Link (siehe Eq. (8), p.3):
iopscience.iop.org/article/10.1088/0963-0252/17/2/025017/meta

Bei \(k\) handelt es sich wohl tatsächlich um eine reelle (Wellen-)Zahl. Ich hatte irgendwie gedämpfte ebene Wellen im Kopf und habe daher an ein komplexes \(k\) gedacht.

Ich bräuchte trotzdem noch einen Tipp, wie ich das Integral dann lösen kann. Funktioniert das mittels eines Contourintegrals im Komplexen? Falls ja, wie berechne ich das Residuum von:

\(\int_C\frac{\exp(-u^2)}{u-z} \mathrm{d}u\)

\(C\) sei hierbei eine Contour die \(z\) einschließt, auf der reellen Achse verläuft und über einen Halbkreis in der oberen Hälfte der komplexen Ebene geschlossen wird.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 288
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-16


2019-03-16 14:47 - raiden in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich bräuchte trotzdem noch einen Tipp, wie ich das Integral dann lösen kann.

Hast du dir den Link in meinem ersten Beitrag angesehen? In dem verlinkten Text speziell den Satz "These integral representations can be converted to (3) using ..."?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
raiden
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.01.2013
Mitteilungen: 77
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-17


Hi zippy,

ich habe mir den Link angesehen. Die -1 in \(\int^\infty_{-\infty}\frac{\exp(-u^2)}{u-z} \mathrm{d}u = \mathrm{i} \pi \exp(-z^2)(-1+\mathrm{i}\, \mathrm{erfi}(z))\) für den Fall \(k < 0 \) kann ich damit leider immer noch nicht verstehen. Könntest du mir das bitte noch erklären?

Vielen Dank.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 288
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-03-17


2019-03-17 10:12 - raiden in Beitrag No. 9 schreibt:
Die -1 in \(\int^\infty_{-\infty}\frac{\exp(-u^2)}{u-z} \mathrm{d}u = \mathrm{i} \pi \exp(-z^2)(-1+\mathrm{i}\, \mathrm{erfi}(z))\) für den Fall \(k < 0 \) kann ich damit leider immer noch nicht verstehen.

Mit dem Hinweis aus dem verlinkten Text kommst du für $\operatorname{Im}z>0$ (was in deinem Kontext $k>0$ entspricht) auf$$
J(z):=\intop_{-\infty}^\infty\frac{\exp(-u^2)}{u-z}\,\mathrm{d}u=
\mathrm{i}\pi\exp(-z^2)\bigl[1+\mathrm{i}\,\mathrm{erfi}(z)\bigr]
$$Für $\operatorname{Im}z<0$ (was in deinem Kontext $k<0$ entspricht) kannst du ausnutzen, dass für das Integral ganz allgemein $J(\bar z)=\overline{J(z)}$ gilt und dass das hier betrachtete $z$ die Bedingung $\operatorname{Im}\bar z>0$ erfüllt:$$
J(z)=\overline{J(\bar z)}=\overline{
\mathrm{i}\pi\exp(-\bar z^2)\bigl[1+\mathrm{i}\,
  \mathrm{erfi}(\bar z)\bigr]}=
\mathrm{i}\pi\exp(-z^2)\bigl[-1+\mathrm{i}\,\mathrm{erfi}(z)\bigr]
$$Beim letzten "$=$" ist auch $\operatorname{erfi}(\bar z)=\overline{\operatorname{erfi}(z)}$ zu beachten.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
raiden
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.01.2013
Mitteilungen: 77
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-17


Hallo zippy,

perfekt, vielen Dank für deine Hilfe. Schönen Sonntag dir noch!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
raiden hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
raiden hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
raiden wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]