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Universität/Hochschule J Arbeitsintegral
RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-20


Hallo Zusammen,
ich muss folgende Aufgabe lösen:



Meine Ideen:

a)
Ich wechsel beim Kraftfeld auf Polarkoordinaten.
\[\vec{F} = K\cdot \begin{pmatrix} sin(t) \\ -cos(t) \\ \end{pmatrix} \] \[\Rightarrow W=-\int_{0}^{\pi} \! K\cdot \begin{pmatrix} sin(t) \\ -cos(t) \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -sin(t) \\ cos(t) \\ \end{pmatrix} \, dt \] \[= K\int_{0}^{\pi} \! \sin(t) ^{2}+ cos(t)^{2}   \, dt = K\int_{0}^{\pi} \! \ dt\] \[\Rightarrow W=K\pi\]
b)
Weg parametrisieren:

\[r(t)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\  \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-t \\ 0 \\ \end{pmatrix}  \] \[\Rightarrow dr= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\  \end{pmatrix} \]
Meine Frage jetzt:
Stimmt die Parametrisierung und wie sind dann die Grenzen des Integrals zu wählen?  :-?

c)
Es liegt kein konservatives Kraftfeld vor, da die Rotation nicht null ergibt.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-20


Hallo,

deine Parametrisierung ist für t in einem bestimmten Intervall richtig. Ermittle die Grenzen so, dass du für die kleinere Grenze in (1,0) bist und für die größere in (-1,0) bist.

Zur c) hast du in a) und b) unterschiedliche Wege von (1,0) nach (-1,0). Was bedeutet das?



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21


Hallo,
deine erste Anmerkung verstehe ich nicht so ganz.

2019-03-20 18:21 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:

Zur c) hast du in a) und b) unterschiedliche Wege von (1,0) nach (-1,0). Was bedeutet das?

Ein Vektorfeld ist konsertvativ, wenn die Arbeit die geleistet wird um vom punkt A nach B zu gelangen unabhängig vom Weg ist.
Mathematisch gilt doch:
rotF=∇×F=0

wenn ich das hier anwende, erhalte ich mit rotF=∂Fy∂x−∂Fx∂y
\[\begin{pmatrix} K \\ K \\  \end{pmatrix} \]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-21


Das, was du schreibst, ist ein notwendiges Kriterium. Alles gut, so kann man das machen. Du kannst aber auch die Abhaengigkeit vom Weg direkt nachrechnen. In a) und b) siehst du zwei uterschiedliche Wege.



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21


Okay. Super. Dann habe ich verstanden.
Leider komme ich beim Problem mit den Grenzen nicht weiter.
Ist es egal welche ich wähle?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-21


Nein, es ist nicht egal, welche Grenzen du nimmst. Ermittle $t_0$ und $t_1$ so, dass $\gamma(t_0)=(1,0)$ und $\gamma(t_1)=(-1,0)$ sind.



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RogerKlotz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-10


hm..späte Antwort irgendwie...

zu b)

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1-1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2t \\ 0  \end{pmatrix} \Rightarrow W=\int_{0}^{1} \! \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 2Kt-K \end{pmatrix} \, dt  = 0\]



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