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Mathematik » Stochastik und Statistik » Mean preserving spread und Normalverteilungen
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Autor
Universität/Hochschule J Mean preserving spread und Normalverteilungen
MMarie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-20


Hallo zusmamen,

stimmt es, dass bei zwei Normalverteilungen mit dem gleichen Erwartungswert eine Normalverteilung ein Mean Preserving Spread der anderen Normalverteilung ist?

Meine Intuition ist, dass die Aussage korrekt ist, aber ich kann es nicht formal beweisen.


Vielen Dank schonmal



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-20


Hallo,

meinst du das in etwa so:

Die Zufallsvariable Y entsteht aus X, indem bei gleich bleibendem Mittelwert mehr Gewicht auf die „ Ränder “ der Verteilung geschoben wird.

Quelle: www.daswirtschaftslexikon.com

Für den Fall ist es richtig.

Gruß, Diophant



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MMarie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20


Vielen Dank für die Antwort! Ja, Verteilung F_B ist ein Mean Preserving Spread einer anderen Verteilung F_A, wenn beide Verteilungen den gleichen Erwartungswert haben und für alle x gilt, dass  \[\int_{-\infty}^xF_B\geq \int_{-\infty}^xF_A.\]
Hat jemand eine Idee, wie man das für Normalverteilungen mit dem gleichen Erwartungswert formal zeigen könnte?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

eine gescheite Rechnung fällt mir gerade nicht ein. Aber von der Idee her ist es klar: für zwei Normalverteilungen mit gleichem Erwartungswert \(\mu\) schneiden sich die Graphen der beiden Verteilungsfunktionen ja im Punkt \((\mu,0.5)\). Und beide sind zu diesem Punkt punktsymmetrisch. Bis zu diesem Punkt verläuft der Graph von \(F_A\) unterhalb dem von \(F_B\), dahinter ist es genau umgekehrt. Also folgt der Sachverhalt unmittelbar aus der geometrischen Anschauung.

Vielleicht kannst du ja was mit der Idee anfangen, wenn mir noch was einfallen  sollte, lasse ich es dich wissen. :-)

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MMarie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21


Danke, ich denke, der formale Beweis funktioniert so, dass man eine alternative (äquivalente) Definition von mean preserving spread benutzt. Seien X_A und X_B die zu den Verteilungen F_A und F_B zugehörigen Zufallsvariablen. Dann ist F_B ein mean preserving spread von F_A, falls es eine Zufallsvariable Z gibt sodass die Verteilung von X_A gleich der Verteilung von X_B+Z ist. Dabei gilt E[Z|x_A]=0 für alle Werte x_A von X_A.




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