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Strukturen und Algebra » Ringe » Kern des kanonischen Ringhomomorphismus für Integritätsbereich
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Autor
Universität/Hochschule Kern des kanonischen Ringhomomorphismus für Integritätsbereich
kingdingeling
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.09.2017
Mitteilungen: 466
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-20


Liebe Mitglieder,

Bosch behauptet:



vielleicht stehe ich nur wieder dämlich auf dem Schlauch, aber ich habe es jetzt einige Male durchdacht und komme auf keine Antwort, insbesondere ab dieser Stelle: "Handelt es sich bei K um einen Integritätsring, etwa einen Körper, so ist auch..." Wieso gilt das? Und wieso ist es ein Nullideal oder eines welches von einer Primzahl erzeugt wird? In Hauptidealringen sind Primideale von Primelementen des Ringes erzeugt. Aber woher kommt das Nullideal? Insbesondere die Stelle zu den Integritätsringen verstehe ich nicht.

Wie immer bin ich froh und dankbar für Hilfe,
Gruß, KingDingeling



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supermonkey
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 314
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-20


Hi,

wegen des Homomorphiesatzes ist $\IZ/ker\varphi$ isomorph zu einem Unterring von $K$. Nun ist jeder Unterring eines Integritätsrings selbst einer. Und diese Eigenschaft bleibt natürlich unter Isomorphie erhalten. Das ist alles.

Der Kern von $\varphi$ kann eben auch nur aus der Null bestehen. Das bedeutet ja nur dass $\varphi$ injektiv ist, wie zum Beispeiel bei $K=\IQ$.

Achja, falls du dich daran stößt warum das Nullideal ein Primideal ist, hier eine gute Übungsaufgabe:

$R$ ist Integritätsring $\Leftrightarrow$ Das Nullideal in $R$ ist ein Primideal.



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kingdingeling
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.09.2017
Mitteilungen: 466
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20


Hey danke für deine schnelle Antwort. Zu deiner kleinen Aufgabe:

-> Wenn R ein Integritätsbereich ist und N ein Nullideal in R nimmt man zwei Elemente a,b aus R für die gilt a*b in N d.h. a*b=0, dann ist a oder b gleich Null da R nullteilerfrei.

<- Hier bin ich bisschen unsicher. Ist nicht R/N=R? N ist Primideal genau dann wenn R/N Integritätsbereich ist und dann wäre das ja gelöst.



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Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 310
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-21


Hey,

du kannst das auch direkt zeigen: Angenommen, N ist ein Primideal und angenommen $ab=0$ in $R$. Dann ist also $ab\in N$ also $a\in N$ oder $b\in N$ und damit $a=0$ oder $b=0$, also $R$ nullteilerfrei.


-----------------
Smile (:



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