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Analysis » Funktionen » Geometrische Summenformel nach q auflösen
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Universität/Hochschule Geometrische Summenformel nach q auflösen
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-21


Hallo zusammen!

Folgende Gleichung soll nach q aufgelöst werden:

$m = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

Also ich denke mal, dass man hierfür wohl schwerere Geschütze wie Polynomdovisiom auffahren muss.
Habt ihr mir einen Tipp, wie man das Ganze angehen kann?

Wie immer wäre ich für jede Hilfe sehr dankbar! smile

Viele Grüße,
X3nion



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo Xenion,

das läuft ja auf eine Gleichung der Form

\[\sum_{k=0}^n q^k=m\]
also auf eine algebraische Gleichung der Ordnung n hinaus (mit entsprechenden Konsequenzen für die Auflösbarkeit).

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21


Hi Diophant und vielen Dank für deine Antwort!

Hm wie würde man da weitermachen, um nach q aufzulösen?
Braucht man nicht eine Nullstelle, um sukzessive Polynomdivision durchzuführen?

Viele Grüße,
X3nion



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-21


Hallo,

nun ja. Die Frage ist ja, wohin das führen soll. Ab n=5 wird es i.a. eh nicht mehr möglich sein. Mache dir einfach nochmal klar, dass da eine algebraische Gleichung n. Ordnung steht.

Zusatz: es handelt sich hier um eine Vermutung meineseits, vorbehaltlich der Punkte, über die weiter unten (ab Beitrag #8) diskutiert wird.

Gruß, Diophant



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21


Hi Diophant,

ah ist das Part der Galoistheorie, dass es für $n \ge 5$ keine algebraische Lösungsformel geben kann?
Aber trotzdem könnte man ja über Polynomdivision bis zum 5. Grad runterbrechen?

Viele Grüße,
X3nion



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

2019-03-21 12:43 - X3nion in Beitrag No. 4 schreibt:
ah ist das Part der Galoistheorie, dass es für $n \ge 5$ keine algebraische Lösungsformel geben kann?

das kann man sicherlich mit Hilfe der Galois-Theorie einsehen. Als erster hat es aber der Dänische Mathematiker Niels Henrik Abel bewiesen.

(Der Link tut heute aus bekannten Gründen nicht wirklich)

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21


Hi Diophant,

was meinst du, wird da von den Studenten als Lösung erwartet?
Diese Aufgabe hat mir ein Freund geschickt, er studiert im 5. Semester Angewandte Informatik an der Fachhochschule und das Fach isg künstliche Intelligenz.


Viele Grüße,
X3nion



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-21


Hallo X3nion,

da wird es eher darum gehen, einen Algorithmus zur numerischen Berechnung bei gegebenen m,n anzugeben. Schätze ich zumindest mal.

Mathematisch gesehen ergibt dieses Unterfangen für mich jedenfalls keinen Sinn.

Gruß, Diophant

PS: so, wie sich weiter unten die Diskussion jetzt entwickelt hat, bleibe ich zwar skeptisch, kann aber nicht ausschließen, dass es eventuell doch per Auflösen geht.



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-21


Hey,

Ab n=5 wird es i.a. eh nicht mehr möglich sein.
die Argumentation hinkt ein wenig, zwar gibt es keine allgemeine Lösungsformel, aber hier ist ja ein explizites Polynom hingeschrieben worden. Vielleicht gibt es hier Tricks, um das zu lösen.

Ich vermute aber auch, dass es hier nicht darum geht etwas in der Form $q=..$ hinzuschreiben. Die Lösung für $n=3$ ist schon ziemlich lang bei Wolfram alpha

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-03-21


@Creasy:
2019-03-21 13:36 - Creasy in Beitrag No. 8 schreibt:
Hey,

Ab n=5 wird es i.a. eh nicht mehr möglich sein.
die Argumentation hinkt ein wenig...

das war etwas nachlässig formuliert. Ich meinte, für n=5 oder größer.

Gruß, Diophant



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-03-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo Diophant,

ich glaube, Creasy ging es mehr darum, dass zwar für das allgemeine Polynom $\sum_{k=0}^n a_kx^k$ keine Lösungsformel ab $n=5$ existiert, dass aber unter verschärften Bedingungen an $a_k$ durchaus eine Lösungsformel existieren kann. Zum Beispiel ist das siebte Kreisteilungspolynom $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ faktorisierbar als $\prod_{k=1}^6 (x-e^{\frac{2\pi\mathrm i}{7}k})$, obwohl es einen höheren Grad als 5 hat. Da die hier zu lösende Gleichung aber nicht allgemein, sondern sogar sehr speziell ist, könnte es trotz des hohen Grades lösbar sein.

Ein Ansatz hier wäre zum Beispiel der Fakt, dass $1-q^{n+1}=\prod_{d\vert n+1}\Phi_d(q)$ mit dem $d$-ten Kreisteilungspolynom $\Phi_d$. Insbesondere ist $1-q$ das erste Kreisteilungspolynom, also ist $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\prod_{d\neq 1,d\vert n+1}\Phi_d(q)=x^n+x^{n-1}+\dots x+1$.

Also in irgendeiner Form wird es wohl über Einheitswurzeln laufen.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-03-21


@Vercassivelaunos:
verstehe ich dich richtig: du meinst, das ist allgemein, also für alle (m,n) lösbar?

Gruß, Diophant



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-03-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Es ist auf jeden Fall für $m=0$, $n$ beliebig lösbar, dann ist nämlich jede $d$-te primitive Einheitswurzel mit $d\vert n+1$ eine Lösung (außer die 1 selbst, denn da ist der Term undefiniert).
Ich würde mich nicht darauf festlegen, dass es auch für beliebige $m$ funktioniert, aber ich kann mir vorstellen, dass es funktioniert.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-03-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
2019-03-21 15:15 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 12 schreibt:
Es ist auf jeden Fall für $m=0$, $n$ beliebig lösbar, dann ist nämlich jede $d$-te primitive Einheitswurzel mit $d\vert n+1$ eine Lösung (außer die 1 selbst, denn da ist der Term undefiniert).
Ich würde mich nicht darauf festlegen, dass es auch für beliebige $m$ funktioniert, aber ich kann mir vorstellen, dass es funktioniert.

Ich muss jetzt doch nochmal nachhaken (ich verstehe es noch nicht wirklich):

du hältst es für möglich, dass die algebraische Gleichung

\[\sum_{k=0}^n q^k=m\]
für beliebige (positive, im Fall von n weiters ganze) Zahlen (m,n) nach q aufgelöst werden kann?

Ich habe da schon insofern Schwierigkeiten, als es sich ja auf der linken Seite nur für den Fall, dass n n+1 prim ist, um ein Kreisteilungspolynom handelt.

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
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Mitteilungen: 272
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-03-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
$\sum_{k=0}^n q^k$ ist zwar nur für Primzahlen $n$ selbst ein Kreisteilungspolynom, aber es ist für alle $n$ ein Produkt von Kreisteilungspolynomen. Das reicht ja auch schon für eine Faktorisierung. Damit kann man schonmal $\sum_{k=0}^n q^k=0$ lösen. $\sum_{k=0}^n q^k=m$ ist natürlich nochmal schwieriger. Vielleicht geht es auch tatsächlich nicht, ich halte es aber für möglich, ja. Für $m=1$ geht es zum Beispiel auch problemlos, dann ist nämlich

\[\sum_{k=0}^n q^k=1~\Rightarrow~\sum_{k=1}^n q^k=0~\Rightarrow~ q\sum_{k=0}^{n-1} q^k=0,\]
was man wie für $m=0$ lösen kann. Oder noch ein winziges Stück allgemeiner: Es gibt Fälle, in denen $m-1$ eine Lösung ist:

\[\begin{align*}&\sum_{k=0}^n (m-1)^k=m\\
&\sum_{k=1}^n (m-1)^k=m-1\\
&\sum_{k=2}^n (m-1)^k=0\end{align*}\\
m-1=0~\textrm{oder}~\sum_{k=0}^{n-2} (m-1)^k=0\]
Die letzte Gleichung ist durch $m-1=\xi_d$ mit einer primitiven $d$-ten Einheitswurzel mit $d\vert n-1$ gelöst, also sind die Lösungen für $m=1+\xi_d$ gegeben durch $q=0$ und $q=m-1=\xi_d$ (und noch einige weitere, die ich jetzt auf die Schnelle nicht finde).

Der springende Punkt ist: Es gibt einige Kombinationen von $m$ und $n$, für die diese Gleichung auflösbar ist, und mindestens für $m=0$ ist die Gleichung für beliebige $n$ auflösbar. Ich kann mir also schon vorstellen, dass mit etwas mehr Aufwand auch für beliebige $n,m$ die Gleichung gelöst werden kann. Sicher bin ich mir wie gesagt aber nicht.
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-03-21

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
Da sich die Diskussion wieder in Richtung von Details bewegt, möchte ich nochmal auf den aus meiner Sicht springende Punkt hinweisen: Wenn man mit Galoistheorie argumentiert, sollte man dies sauber tun. Die Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung $n$-ten Grades und die einer bestimmten Gleichung $n$-ten Grades in einen Topf zu werfen, wie das in den Beiträgen 3 und 5 gemacht wird, ist nicht sauber.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-03-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
@zippy:
2019-03-21 16:38 - zippy in Beitrag No. 15 schreibt:
Da sich die Diskussion wieder in Richtung von Details bewegt, möchte ich nochmal auf den aus meiner Sicht springende Punkt hinweisen: Wenn man mit Galoistheorie argumentiert, sollte man dies sauber tun. Die Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung $n$-ten Grades und die einer bestimmten Gleichung $n$-ten Grades in einen Topf zu werfen, wie das in den Beiträgen 3 und 5 gemacht wird, ist nicht sauber.

Auch hier muss ich zurückfragen:

In #3 schreibe ich dem Themenstarter, dass algebraische Gleichungen ab der Ordnung 5 im allgemeinen Fall nicht analytisch auflösbar sind.

In #5 bestätige ich auf Rückfrage dem Themenstarter, dass man die Nichtexistenz von allgemeinen Lösungsformeln für ebensolche Gleichungen ab der Ordnung 5 mit Hilfe der Galois-Theorie beweisen kann.

Ich verstehe jetzt rein fachlich die Kritik an diesen Beiträgen nicht. Also bitte nicht falsch verstehen: ich möchte mich nicht gegen die Kritik wehren, sondern ich möchte sie verstehen. :-)

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-03-21


In Beitrag 3 schreibst du, dass das ab $n=5$ im Allgemeinen nicht mehr möglich sein wird. Aber was man versucht zu sagen ist, das man hier nicht "im Allgemeinen" ist, sondern in einer konkreten Situation.

Vielleicht noch ein anderes Bsp: Wenn man fragt: Wie löst man $x^n= m$ mit $m\geq 0$ nach $x$ auf, würde man auch nicht sagen, dass das für $n\geq 5$ nicht geht.

Und ist $\sum_{j=0}^{n} x^j$ nicht eher dann ein Kreisteilungspolynom, wenn $n+1$ eine Primzahl ist?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-03-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo Creasy,

2019-03-21 17:30 - Creasy in Beitrag No. 17 schreibt:
In Beitrag 3 schreibst du, dass das ab $n=5$ im Allgemeinen nicht mehr möglich sein wird. Aber was man versucht zu sagen ist, das man hier nicht "im Allgemeinen" ist, sondern in einer konkreten Situation.

Es war mir in der Tat nicht bewusst, dass das hier für \(m\neq 0\) eine Rolle spielen könnte. Ich habe deshalb mal nachträglich in #3 noch den Hinweis eingefügt, dass es sich um eine Vermutung meinerseits handelt.

2019-03-21 17:30 - Creasy in Beitrag No. 17 schreibt:
Und ist $\sum_{j=0}^{n} x^j$ nicht eher dann ein Kreisteilungspolynom, wenn $n+1$ eine Primzahl ist?

Ja, klar: mein Fehler.

Ein letztes und völlig nichtmathematisches Argument möchte ich noch ins Feld führen: die Aufgabe wurde schon oft in verschiedenen Mathematikforen besprochen. Eine solche Möglichkeit, wie sie hier in Betracht gezogen wird, habe ich aber bei einer kurzen Internetrecherche nirgends finden können.

Aber gut: ich überlasse das Feld hier jetzt den Algebra-Experten (und bin selbst gespannt).

@Moderation: wäre dieser Thread nicht im Algebra-Unterforum besser aufgehoben? :-)

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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