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Moderiert von fru MontyPythagoras
Mechanik » Kinematik des starren Körpers » Translationsbeschleunigung einer Masse welche über eine Umlenkrolle mit einer Scheibe verbunden ist
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Universität/Hochschule Translationsbeschleunigung einer Masse welche über eine Umlenkrolle mit einer Scheibe verbunden ist
NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-21


Der Titel sagt eigentlich eh schon alles aus. Gesucht ist die Beschleunigung der Masse $m_2$. Die Skizze zu der Aufgabe findet ihr hier:

Mein Ansatz war folgender:
Über die Summe der Kräfte der verschiedenen Gebiete möchte ich schlussendlich einen Ausdruck für a finden.
Für das erste Gebiet 1.Gebiets ($m_2$):$\sum F = 0: m_2 *g = -S_1$. wobei $S_1$ Die Seilkraft darstellen soll.
Ich denke die Umlenkrolle leistet keinen Beitrag am System. Ich bin mir allerdings unsicher, in welche Richtung die Seilkraft nach der Umlenkrolle schaut. Eigentlich denke ich das sich diese drehen sollte aber dann würde sie ja in die gleiche Richtung schauen wie die Kraft der Rolle. Demnach sind beide Seilkräfte meiner Meinung gleichgerichtet.
Sollte alles so weit einmal stimmen dann verzweifle ich an den Beitrag der 2.Rolle zur Kraft.
Wie kann ich mir die Beschleunigung der 2.Rolle ausrechnen?



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo NoNameTI-30x,

der Trick ist hier, schätze ich, die Kopplung der Gewichte aneinander auszunutzen. Da das Seil gespannt ist, müssen beide Körper die betragsmäßig gleiche Beschleunigung erfahren. So wie die Skizze aussieht, soll wohl auch noch die Drehgeschwdindigkeit der zweiten Rolle an die Geschwindigkeit des Seils gekoppelt sein, und damit auch an dessen Beschleunigung.

Mein Ansatz: Bestimme die effektiv Arbeit verrichtende Kraft (Differenz der Gewichtskraft beider Körper), und setze dann $\Delta W=F\cdot\Delta s$ mit der verrichteten Arbeit $\Delta W$ und der vom Seil zurückgelegten Strecke $\Delta s$ an. Die verrichtete Arbeit ist dann (wenn wir von einem ruhenden Start ausgehen) die gesamte kinetische Energie des Systems, inklusive Rotation der zweiten Rolle. Du solltest eine Gleichung erhalten, in der Geschwindigkeit und zurückgelegte Strecke des Seils eine Rolle spielen. Überleg dir, mit welcher Operation du eine Beschleunigung einbringen kannst.
\(\endgroup\)


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vGvC
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-22


2019-03-22 10:00 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
...So wie die Skizze aussieht, soll wohl auch noch die Drehgeschwdindigkeit der zweiten Rolle an die Geschwindigkeit des Seils gekoppelt sein, und damit auch an dessen Beschleunigung ...

Die Frage ist nur, wie diese Kopplung aussieht. Umschlingt das Seil die Scheibe? Oder gibt es gar keine direkte "Kopplung", und die Skizze ist falsch?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-22


Ich habe die Skizze so interpretiert, dass das Seil per Haftreibung die Scheibe andreht. Das hätte den selben Effekt wie deine Interpretation. Irgendeine Art Kopplung muss aber vorhanden sein, sonst würde sich die Scheibe nicht drehen, und dann hätten man es gleich bei einem nicht drehbaren Körper belassen können.



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vGvC
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Dabei seit: 07.04.2010
Mitteilungen: 1308
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-22

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
2019-03-22 12:43 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich habe die Skizze so interpretiert, dass das Seil per Haftreibung die Scheibe andreht. Das hätte den selben Effekt wie deine Interpretation. Irgendeine Art Kopplung muss aber vorhanden sein, sonst würde sich die Scheibe nicht drehen, und dann hätten man es gleich bei einem nicht drehbaren Körper belassen können.

Ja, da hast Du recht. Reicht es dann nicht, einfach die Gleichung für das dynamische Momentengleichgewicht aufzustellen?

\(\Large (m_2-m_1)\cdot g\cdot R=J_1\cdot\frac{a}{R}\)
\(\endgroup\)


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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-22


2019-03-22 13:18 - vGvC in Beitrag No. 4 schreibt:
\(\Large (m_2-m_1)\cdot g\cdot R=J_1\cdot\frac{a}{R}\)
Was ist bei dir $J_1$? Die Lösung (Lösungsweg ist nicht angegeben) ist laut Skript $a = g \frac{m_2-m_1}{3 m_1 + m_2}$ und soll mittels Schwerpunkt und Drallsatz berechnet werden.



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MontyPythagoras
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Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-22


Hallo NoNameTI-30x,
das Ergebnis kommt genau dann raus, wenn man folgende Annahmen trifft:
1. Die Umlenkrolle bei A sei masse- und trägheitslos.
2. Das rechte, die Masse $m_1$ berührende Seil ist mit dieser Masse gekoppelt (zum Beispiel die Scheibe umschlingend) und rutscht nicht über die Scheibe hinweg oder dran vorbei.
3. Die Masse $m_1$ ist eine Vollscheibe, so dass ihr Trägheitsmoment $J=\frac12m_1R^2$ ist.

Ciao,

Thomas



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 272
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Ich persönlich habe mich immer damit schwergetan, Drehmomente und lineare Kräfte zu kombinieren, deshalb war mein Ansatz über die Arbeit statt das Kräftegleichgewicht zu gehen.

Mit meinem Ansatz wäre

\[\Delta W=\frac{1}{2}m_1v^2+\frac{1}{2}I_1\omega^2+\frac{1}{2}m_2v^2\]
mit $\omega=\frac{2v}{R}$ ($2v$ da die Randgeschwindigkeit der Scheibe in deren Ruhesystem betrachtet werden muss) und $I_1=\frac{1}{2}m_1R^2$ wird daraus


\[\Delta W=\frac{1}{2}v^2(m_1+m_2+2m_1)=\frac{1}{2}v^2(3m_1+m_2)\]


Mit $\Delta W=F\Delta s$ wird daraus nach einer Zeitableitung:


\[F\dot s=\dot vv(3m_1+m_2)\\
(m_2-m_1)gv=av(3m_1+m_2)\\
a=g\frac{m_2-m_1}{3m_1+m_2}\]


Also genau das gewünschte Ergebnis.

Wenn man über Schwerpunkt und Drallsatz gehen soll, sehe ich die große Schwierigkeit darin, dass das Schwerpunktsystem jedes beliebigen Teilsystems (also nur die zweite Rolle, nur das zweite Gewicht, Gesamtschwerpunkt) beschleunigt ist, was das Aufstellen von Kräften schwerer macht.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
\(\endgroup\)


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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-23


2019-03-22 17:37 - MontyPythagoras in Beitrag No. 6 schreibt:
Hallo NoNameTI-30x,
das Ergebnis kommt genau dann raus, wenn man folgende Annahmen trifft:
1. Die Umlenkrolle bei A sei masse- und trägheitslos.
2. Das rechte, die Masse $m_1$ berührende Seil ist mit dieser Masse gekoppelt (zum Beispiel die Scheibe umschlingend) und rutscht nicht über die Scheibe hinweg oder dran vorbei.
3. Die Masse $m_1$ ist eine Vollscheibe, so dass ihr Trägheitsmoment $J=\frac12m_1R^2$ ist.
Ich scheitere aber leider immer noch daran, meine Kräfte Gleichungen aufzustellen.
Ich möchte die Summe aller Kräfte berechnen:
Die Masse $m_2$ liefert die Kraft: $m_2 g$. Die Umlenkrolle leistet keinen Beitrag. Welche Kraft übt aber nun die Rolle aus?
Mit der Winkelgeschwindigkeit $\alpha = \frac{a}{R}$ und dem Trägheitsmoment würde ich für die Masse 1 auf $J \frac{a}{R} +m_1 g$ Die Summe aus beiden Kräften bilden führt aber nicht zum gewünschten Ergebnis.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-03-23


Hallo NoNameTI-30x,
2019-03-21 13:41 - NoNameTI-30x im Themenstart schreibt:
Ich bin mir allerdings unsicher, in welche Richtung die Seilkraft nach der Umlenkrolle schaut. Eigentlich denke ich das sich diese drehen sollte aber dann würde sie ja in die gleiche Richtung schauen wie die Kraft der Rolle. Demnach sind beide Seilkräfte meiner Meinung gleichgerichtet.
Seilkräfte wirken IMMER auf Zug. Da gibt es doch überhaupt kein Vertun. Schneide ich ein senkrecht verlaufendes Seil frei, dann wird an dem oberen Seilstück nach unten gezogen, und an dem unteren Seilstück nach oben. Warum muss man da lange über die Richtung der Seilkraft nachdenken?
Auf den nach unten beschleunigten Körper $m_2$ wirkt die Schwerkraft nach unten, die Trägheitskraft und die Seilkraft nach oben. Sei $a$ die Beschleunigung des Körpers und $S_2$ die Kraft im Seil direkt über dem Körper $m_2$, dann gilt schon einmal aufgrund des Kräftegleichgewichts an diesem Körper (nach oben wirkende Kräfte positiv):
$$(1)\qquad m_2a+S_2-m_2g=0$$Sei nun $S_1$ die Kraft im Seil über der Scheibe $m_1$. Aufgrund der masse- und trägheitsfreien Umlenkrolle wirkt $S_1$ auf beiden Seiten derselben. Rechts an der Scheibe zieht also $S_1$ nach oben und $S_2$ nach unten. Die Differenz der beiden Seilkräfte sorgt dafür, dass die Scheibe in Drehrichtung beschleunigt wird, zusätzlich zu der translatorischen Aufwärtsbeschleunigung. Letztere ist gleich der Abwärtsbeschleunigung der Masse $m_2$, denn Scheibe und Klotz sind ja auch translatorisch über des Seil gekoppelt. Also gilt aufgrund des Kräftegleichgewichts an der Scheibe:
$$(2)\qquad-m_1a-m_1g+S_1+S_1-S_2=0$$Aufgrund des Drallsatzes (ich nenne es eigentlich lieber Momentengleichgewicht, aber das ist subjektiv) gilt außerdem am Mittelpunkt der Scheibe (gegen den Uhrzeigersinn wirkende Momente positiv):
$$J_1\alpha+S_1R-S_2R=0$$(Aufpassen mit der Drehrichtung). Dabei ist $\alpha=2\frac aR$ die Drehbeschleunigung (warum $2\frac aR$ und nicht $\frac aR$?) und $J_1=\frac12m_1R^2$ das Trägheitsmoment einer Vollscheibe. Daraus folgt:
$$\frac12m_1R^2\cdot2\frac aR+S_1R-S_2R=0$$$$(3)\qquad m_1a+S_1-S_2=0$$Das sind drei Gleichungen für die drei Unbekannten $a$, $S_1$ und $S_2$. Wir rechnen nun (1) minus (2) plus 2 mal (3), damit wir gleich die Seilkräfte eliminieren:
$$m_2a+S_2-m_2g+m_1a+m_1g-2S_1+S_2+2m_1a+2S_1-2S_2=0$$Die Seilkräfte fallen raus:
$$m_2a-m_2g+m_1a+m_1g+2m_1a=0$$Alles mit $g$ nach rechts, der Rest bleibt links:
$$3m_1a+m_2a=m_2g-m_1g$$$$a=\frac{m_2-m_1}{3m_1+m_2}g$$Der Ansatz über die Energien ist natürlich in diesem Fall um Längen eleganter, aber leider vom Aufgabensteller nicht erwünscht...

Ciao,

Thomas



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NoNameTI-30x
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Danke für die Hilfe. 2 kleine Fragen habe ich noch:
Ganz klar ist mir nicht wie man auf $\alpha = 2 \frac{a}{R}$ kommt. Ich vermute es hat was damit zu tun, dass die Geschwindigkeit in der Rolle linear steigt. Da das Seil aber im Mittelpunkt angreift, dürfte das doch nichts bewirken.
Meine 2.Frag ist, wieso die Seilkraft $S_2$ bei den Momenten eine Rolle spielt? Sie greift ja nicht direkt an..



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MontyPythagoras
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Hallo NoNameTI-30x,
wenn die Mitte der Scheibe stillsteht, und der Rand der Scheibe sich mit einer Umfangsgeschwindigkeit $v$ bewegt, dann ist die Winkelgeschwindigkeit $\omega=\frac vR$. Sinngemäß gilt für die Beschleunigungen $\alpha=\frac aR$. Wenn die Scheibe an einem äußeren Punkt stillstehen und der Mittelpunkt sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegen würde, zum Beispiel, indem die Scheibe an einem Seil abrollt, dann wäre die Winkelgeschwindigkeit auch $\omega=\frac vR$.
HIER passiert beides gleichzeitig: der Mittelpunkt der Scheibe bewegt sich mit $v$ aufwärts, der Punkt am Umfang rechts bewegt sich mit $v$ abwärts. Diese beiden Effekte addieren sich, so dass die Winkelgeschwindigkeit $\omega=2\frac vR$ beträgt, und dementsprechend $\alpha=2\frac aR$.
Natürlich greift die Kraft $S_2$ direkt an der Scheibe an. Sie zieht am rechten Rand der Scheibe (bei "3 Uhr") nach unten, während die Kraft $S_1$ dort nach oben zieht. Das hatte ich doch geschrieben, dass die Differenz der beiden Kräfte für den Antrieb der Scheibe in Drehrichtung sorgt. Siehe meine Gleichung (3).

Ciao,

Thomas



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NoNameTI-30x
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Danke für deine Hilfe. Hab das jetzt denk ich verstanden.



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