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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Differenzierbarkeit von stückweise definierten Funktionen
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Universität/Hochschule Differenzierbarkeit von stückweise definierten Funktionen
MatheHallodri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-22


Untersuche die Funktion auf differenzierbarkeit in \((0,0)\in \mathbb{R}^2\) und berechne Df:
\(f(x,y) = x + y\) falls x > 0 und \(f(x,y) =x+e^{-x^2}*y\) falls \(x \leq 0 \)
Beide Funktionen sind differenzierbar und stetig. Also muss ich (0,0) untersuchen. Mein Plan, beide Unterfunktionen separat zu betrachen und sie mit \(lim_{h \rightarrow 0} \frac{||f(x_0+h)-f(x_0)-A(x-x_0)||}{||h||}=0\) auf differenzierbarkeit in (0,0) zu untersuchen. Erst für den Fall x < 0:

Als erstes berechne ich die partielle Ableitung für \(x \leq 0\) und bestimme die lineare Abbildungs-Matrix:
\(\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} = \frac{h+e^{-h^2}*0}{h}= 1\)
\(\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h} = \frac{0+e^{0}*h}{h}= 1\)
Also A = (1,1)
\(\frac{f(0+x,0+y)-f(0,0)-(1,1)*(x,y)^T}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x+e^{-x^2}*y-0-(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
Falls x kleiner als x ist, vereinfacht sich das gannze zu
\(\frac{y*e^{x^2}-y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\frac{r*sin(\theta)*e^{(r*cos(\theta))^2}-r*sin(\theta))}{r}\)
\(\frac{sin(\theta)*e^{(r*cos(\theta))^2}-sin(\theta))}{1}\)
Falls r sich 0 annähert, dann:
\(\frac{sin(\theta)*e^{0}-sin(\theta))}{1}=\frac{sin(\theta)*1-sin(\theta))}{1}=\frac{0}{1}=0\)
Ich bin mir nicht sicher, wie genau das mit Stückweise definierten Funktionen funktioniert. Ist der Plan in Ordnung?



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 272
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo MatheHallodri,

Das grundlegende Vorgehen ist richtig (also partielle Ableitungen berechnen, Differential aufstellen, Grenzwert berechnen). Im Detail sind die Rechnungen aber fehlerhaft.
Bei der partiellen Ableitung nach x hast du nur den rechtsseitigen Grenzwert berechnet. Du musst zusätzlich aber noch den linksseitigen Grenzwert berechnen und sicherstellen, dass er mit dem rechtsseitigen übereinstimmt. Das macht man zwar etwas versteckt nochmal, wenn man auf totale Differenzierbarkeit prüft (denn wenn die Funktion total differenzierbar ist, dann auch partiell, also müssen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen), aber dann solltest du dir klarmachen, dass du die Existenz der partiellen Ableitung auf diese Art erst im nachhinein rechtfertigst.
Allerdings machst du beim prüfen auf totale Differenzierbarkeit einen ähnlichen Fehler: für $f(0+x,0+y)$ setzt du nur die Formel für $x\geq 0$ ein. Stattdessen musst du hier eine Fallunterscheidung machen: wird der Grenzwert 0 wenn $x<0$, und wird er auch 0, wenn $x\geq0$?

Alternativ könntest du diesen letzten Grenzwert komplett sparen, indem du einfach allgemein die partiellen Ableitungen bestimmst (auf der Linie $x=0$ nicht den beidseitigen Grenzwert vergessen), und dann zeigst, dass sowohl die Ableitung nach x, als auch die nach y in (0,0) stetig ist. Denn wenn die partiellen Ableitungen in einer offenen Umgebung eines Punktes existieren und in dem Punkt stetig sind, dann ist die Funktion in diesem Punkt total differenzierbar. $\mathrm Df$ berechnet sich dann aus dem partiellen Ableitungen wie gehabt.
\(\endgroup\)


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MatheHallodri
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Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 40
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-22


Wie schau ich mir den linksseitigen Grenzwrrt im detail denn an, wenn mein „h“ doch verschwindet?



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-22

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Du lässt einmal $h$ von links gegen 0 gehen, und einmal von rechts. $h$ darf ja auch negativ sein.
\(\endgroup\)


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MatheHallodri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-22


Entschuldige, ich habe erst jetzt wieder Zeit, mich der Aufgabe voll und ganz zu widmen.

2019-03-22 09:04 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:

Bei der partiellen Ableitung nach x hast du nur den rechtsseitigen Grenzwert berechnet. Du musst zusätzlich aber noch den linksseitigen Grenzwert berechnen und sicherstellen, dass er mit dem rechtsseitigen übereinstimmt.

Warum muss ich das für y nicht auch tun? Respektive, wieso ist es dort schon erledigt? Wegen dem strikt grösser als 0? Nur um es ganz zu verstehen

Edit: Bei den Beispielen, die ich gesehen habe, wird zuerst auch noch untersucht, ob f(x,y) selber stetig ist. Ist dies notwendig oder nur ein Bonus?



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Vercassivelaunos
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Mitteilungen: 272
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Muss mich selber entschuldigen, ich hab verpasst, dass hier wieder was kam.

Die Funktion ist für festes x, also als Funktion von y, nicht stückweise definiert, deshalb muss man nicht die Konvergenz zweier verschiedener Terme, einen von links, einen von rechts, prüfen, sondern nur einen. Denn dann eigentlich auch von links und von rechts, aber da der gewählte Term stetig ist, weiß man, dass der Grenzwert existiert, ohne beidseitig den Grenzwert zu überprüfen.

Die Stetigkeit von f zu prüfen kann einem Zeit sparen, wenn f unstetig ist, da unstetige Funktionen niemals differenzierbar sind. Sie können zwar trotzdem partiell differenzierbar sein (z.B. \(f(x,y)=\begin{cases}0&x\in\Q~\mathrm{oder}~y\in\Q\\1& \mathrm{sonst}\end{cases}\) ist auf der x- und der y-Achse 0, also partiell differenzierbar in deren Schnittpunkt), aber nicht total differenzierbar.
\(\endgroup\)


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