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Strukturen und Algebra » Gruppen » Homomorphismus (P(M), Δ) → (P(N), Δ)
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Universität/Hochschule J Homomorphismus (P(M), Δ) → (P(N), Δ)
Alfmeister13
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.03.2019
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-22


Hi,

ich schreibe am Montag meine LinA1 Klausur, weswegen ich mich momentan sehr intensiv mit der Linearen Algebra befasse. Im Erstversuch kam eine Aufgabe dran, die ich ganz gern drauf haben möchte, da am Montag im Zweitversuch wahrscheinlich wieder eine solche Aufgabe dran kommen wird.

Es geht um folgende Aufgabe:
Seien M, N Mengen, φ: P(M) -> P(N), φ(X) = X ∩ N eine Abbildung zwischen zwei Gruppen (P(M), Δ) und (P(N), Δ)
a) Zeigen Sie, dass φ ein Gruppenhomomorphismus ist
b) Bestimmen Sie den Kern φ und Bild φ
c) Zeigen Sie: P(M) / P(M \ N) ist isomorph zu P(M ∩ N)

Zu a):
Wir müssen zeigen: φ(A Δ B) = φ(A) Δ φ(B) für alle A, B aus P(M)

Beweis:
Sei A, B aus P(M):

φ(A Δ B) = A Δ B ∩ N = (A \ (B ∩ N)) ∪ (B \ (A ∩ N))
Sei also x ∈ (A \ (B ∩ N)) ∪ (B \ (A ∩ N))
-> (x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ N) ∨ (x ∈ B ∧ x ∉ A ∧ x ∉ N)

-> [Platzhalter]

->  (x ∈ A ∧ x ∈ N ∧ x ∉ B ∧ x ∉ N) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ N ∧ x ∉ A ∧ x ∉ N)

-> ((A ∩ N)\(B ∩ N)) ∪ ((B ∩ N)\(A ∩ N))

-> (A ∩ N) Δ (B ∩ N)

-> φ(A) Δ φ(B)


Ich hab sowohl oben , als auch unten angefangen das ganze auseinander zu ziehen um dann beim [Platzhalter] den richtigen Lückenfüller zu finden, allerdings habe ich dort u.a. stehen, dass x ∈ N ∧ x ∉ N. Das ist eigtl ein Widerspruch, der für mich bedeutet, dass ich irgendeine Klammersetzung falsch gesetzt habe. Wahrscheinlich direkt zu Beginn?

Zu b):
Wird wohl der Homomorphiesatz sein oder?

Zu c):
Weiß ich nicht


Würde mich über Tipps freuen,

Grüße Alf




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Alfmeister13
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.03.2019
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-22


φ(A Δ B)
= (A Δ B) ∩ N
= ((A \ B) ∪ (B \ A )) ∩ N

Sei also x ∈ (A \ (B ∩ N)) ∪ (B \ (A ∩ N))
-> ((x ∈ A ∧ x ∉ B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∉ A)) ∧ x ∈ N

-> -> (x ∈ A ∧ x ∈ N ∧ x ∉ B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ N ∧ x ∉ A)

-> [Widerspruch zwischen oberer und der unterer Zeile?]

->  (x ∈ A ∧ x ∈ N ∧ x ∉ B ∧ x ∉ N) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ N ∧ x ∉ A ∧ x ∉ N)

= ((A ∩ N)\(B ∩ N)) ∪ ((B ∩ N)\(A ∩ N))

= (A ∩ N) Δ (B ∩ N)

= φ(A) Δ φ(B)



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Creasy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-22


2019-03-22 16:15 - Alfmeister13 in Beitrag No. 1 schreibt:
= ((A \ B) ∪ (B \ A )) ∩ N

Sei also x ∈ (A \ (B ∩ N)) ∪ (B \ (A ∩ N))

Hier ist bereits der Fehler.  (Bsp. Wenn B die leere Menge ist, stünde hier $A\cap N = A$)

Sind $M$ und $N$ Teilmengen einer größeren Menge?

c) sieht für mich nach Homomorphiesatz aus.
b) kann man direkt zeigen, in c) findest du im Prinzip das Ergebnis.


-----------------
Smile (:



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Alfmeister13
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.03.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-22


Danke dass du so schnell geantwortet hast :D

Neuer Versuch zu a):

φ(A Δ B) = (A Δ B) ∩ N

= ((A \ B) ∪ (B \ A )) ∩ N

= ((A \ B) ∩ N ) ∪ ((B \ A) ∩ N))

= ((A ∩ N)\(B ∩ N)) ∪ ((B ∩ N)\(A ∩ N))

= (A ∩ N) Δ (B ∩ N)

= φ(A) Δ φ(B)



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-22


So stimmt's :)



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Alfmeister13
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-22


Und evtl. noch eine kleine Bemerkung, dass das Distributivgesetz gilt, weil wir (abelsche(?)) Gruppen vorliegen haben.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Alfmeister13
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-22


Zu b):
Kern φ = P(M \ N) und Bild φ = P(M ∩ N)

Kann man das immer so ablesen wenn zwei Gruppen isomorph zueinander sind?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-22


Ich verstehe nicht so ganz die Frage.
Du zeigst hier ja zb gerade, dass diese Gruppen isomorph sind. Wenn wir aber $\tilde{\varphi}\colon \mathcal{P}(M)\to \mathcal{P}(N)$ mit $A\mapsto \emptyset$ betrachten, dann ist $\ker (\tilde{\varphi})=\mathcal{P}(M)$ und nicht $\mathcal{P}(M\cap N)$.

Wenn du einen Isomorphismus von Gruppen $G/N$ und $H$ hast, dann gibt es einen Homomorphismus $G\to H$ der $N$ als Kern hat, aber nicht jeder Gruppenhomomorphismus von $G$ nach $H$ hat $N$ als Kern?



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Alfmeister13
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-22


Tut mir Leid für meine schlechte Ausdrucksweise, hab über das komplette Semester hinweg mich auf andere Module konzentriert, weswegen LinA bei mir so ein wenig auf der Strecke geblieben ist.

Ja okay das kann ich durchaus nachvollziehen. Dann war das wohl nur ein Zufall.
Zu einer deiner Fragen von zuvor ob M und N Teilnemngen einer Obermenge sind: Die Aufgabe ist aus einem Gedankenprotokoll, und da ich den Erstversuch nicht geschrieben habe, kenne ich die Obermenge nicht.

Neuer Versuch zu b):

Kern φ = φ(x) := e', mit e' Neutralelement von P(N)

Es muss also gelten:

e' ∩ n = n ∩ e' = n für alle n aus P(N)

Das wäre der Fall für e' = n (?)



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-03-23


Hey
Kern φ = φ(x) := e', mit e' Neutralelement von P(N)

Formal eher: $\ker \varphi =\{ A\in\mathcal{P}(M)| \varphi(A)=e\}$, wenn $e$ das neutrale Element von $\mathcal{P}(N)$ bezüglich der symmetrischen Mengendifferenz $\Delta$ ist. Um das zu berechnen, solltest du dir zunächst überlegen, welche Menge das neutrale Element bzgl. der Mengendifferenz ist
Antwort
Es ist die leere Menge, also $e=\emptyset$





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Alfmeister13
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-23


Zweiter Versuch zu b)

Es gilt:
Kern φ = {A ∈ P(M) | φ(A) = e} mit e neutrales Element von P(N)

Finde e mit der angegebenen Verknüpfung, sprich Δ:
   e Δ A = A Δ e = A
-> (e \ A) ∪ (A \ e) = (A \ e) ∪ (e \ A) = A
-> (∅ \ A) ∪ (A \ ∅) = (A \ ∅) ∪ (∅ \ A) = A
Also gilt e = ∅

Nun muss für alle A ∈ P(M) gelten:
   φ(A) = e
-> A ∩ N = ∅
-> (M \ N) ∩ N = ∅
-> (M ∩ N) \ (N ∩ N) = ∅
Also gilt A = (M \ N) bzw. Kern φ = φ(M \ N)

Bild φ := φ(M) = {M ∈ P(M) | φ(M)} = {M ∈ P(M) | M ∩ N}
Also gilt Bild φ = M ∩ N









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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-03-23


Hallo Alfmeister13,

du begehst jede Menge logische und formale Fehler.

2019-03-23 10:38 - Alfmeister13 in Beitrag No. 10 schreibt:
Es gilt:
Kern φ = {A ∈ P(M) | φ(A) = e} mit e neutrales Element von P(N)

Finde e mit der angegebenen Verknüpfung, sprich Δ:
   e Δ A = A Δ e = A
-> (e \ A) ∪ (A \ e) = (A \ e) ∪ (e \ A) = A
-> (∅ \ A) ∪ (A \ ∅) = (A \ ∅) ∪ (∅ \ A) = A (1)
Also gilt e = ∅

Nun muss für alle A ∈ P(M) gelten:
   φ(A) = e (2)
-> A ∩ N = ∅
-> (M \ N) ∩ N = ∅ (3)
-> (M ∩ N) \ (N ∩ N) = ∅
Also gilt A = (M \ N) (4)
bzw. Kern φ = φ(M \ N) (5)

Bild φ := φ(M) = {M ∈ P(M) | φ(M)} (6)
= {M ∈ P(M) | M ∩ N} (7)
Also gilt Bild φ = M ∩ N (8)

(1) Diese Implikation stimmt nicht. Wo ist denn plötzlich das e hin?

(2) Das muss nicht für alle A gelten, sondern nur für A, die im Kern enthalten sind.

(3) Diese Implikation stimmt nicht. Wo ist denn plötzlich das A hin? Zudem gilt diese Aussage für beliebige Mengen M und N.

(4) Diese Folgerung stimmt dann natürlich auch nicht. Die Aussage ist zudem falsch: Der Kern enthält mehr als nur M\N.

(5) ???

(6) Statt M ∈ P(M) meinst du wohl A ∈ P(M). Allerdings muss es heißen:
Bild φ := φ(P(M)) = {φ(A) | A ∈ P(M)}

(7) Entsprechend: {A ∩ N | A ∈ P(M)}

(8) Das kann überhaupt nicht sein, denn M ∩ N ist ein Element und keine Teilmenge von P(N).



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Alfmeister13
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.03.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-23


Hi StrgAltEntf,

Danke für deine Rückmeldung. Weiß ehrlich gesagt nicht wie ich nach deiner Rückmeldung nochmal an die Aufgabe heran gehen soll. Könntest du evtl. den Ablauf zur Bestimmung des Bildes und des Kerns anhand eines ähnlichen Beispiels mal vorführen, sodass ich das Verfahren auf diese Aufgabe anwenden kann?


Grüße, Alf



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4862
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-03-23


Hier mal ein paar Ansätze:

i)
Seien \(e,A\in{\cal P}(M)\) mit \(e\Delta A=A\). Zeige: \(e=\emptyset\).

Angenommen, das Gegenteil stimmt. Dann existiert ein \(x\in M\) mit \(x\in e\). Mache nun eine Fallunterscheidung. Fall 1: \(x\in A\). Fall 2: \(x\not\in A\). Führe beide Fälle zum Widerspruch.

Andererseits ist \(\emptyset\Delta A=A\) für jedes \(A\in{\cal P}(M)\). Wieso?

ii)
Zeige \(Kern\ \varphi={\cal P}(M\setminus N)\). Zeige dazu für jedes \(A\subseteq M\): \(\varphi(A)=\emptyset\iff A\subseteq M\setminus N\).

iii)
Zeige \(Bild\ \varphi={\cal P}(M\cap N)\). Zeige dazu: 1. Für jedes \(B\subseteq M\cap N\) gibt es ein \(A\subseteq M\) mit \(\varphi(A)=B\). 2. \(\varphi(A)\subseteq M\cap N\) für jedes \(A\subseteq M\).



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Alfmeister13
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.03.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-23


Zu i):
Darf ich e = ∅ nicht als trivial voraussetzen?

Es reicht doch zu behaupten, dass e = ∅ gilt mit
(∅ \ A) ∪ (A \ ∅) = (A \ ∅) ∪ (∅ \ A) = A
Hinzu kommt dass das neutrale Element immer eindeutig  bestimmt ist, weswegen dies die einzige Lösung ist.

Anderer Ansatz wäre dass laut Vorlesung gilt dass jede Matrix zu sich selbst invers ist, sprich es gilt
((A \ A) ∪ (A \ A) = (A \ A) ∪ (A \ A) = e. Diese Lösung ist offensichtlich die leere Menge ∅.

Zu ii):
Sei A ⊂ M beliebig (nicht zwingend eine echte Teilmenge):
φ(A) = ∅ <=> A ∩ N = ∅
Sei weiter x ∈ A ∩ N = ∅
-> (x ∈ A ∧ x ∈ N) = ∅
Diese Gleichung ist erfüllt für die zusätzliche Voraussetzung: x ∉ N
-> ((x ∈ A ∧ x ∉ N) ∧ x ∈ N)
-> (A \ N) ∩ N

Zusammemgefasst:
1. Voraussetzung: A ⊂ M
2. Voraussetzung: A \ N
Also: A ⊂ (M \ N) = Kern φ


iii)
Hab das ganze für ii) wahrscheinlich sowieso unvollständig bearbeitet



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Ralip
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-03-23


Hey,
du hast zwar das Häkchen gesetzt, aber es passt manches nicht.


Es reicht doch zu behaupten, dass e = ∅ gilt mit
(∅ \ A) ∪ (A \ ∅) = (A \ ∅) ∪ (∅ \ A) = A
Hinzu kommt dass das neutrale Element immer eindeutig  bestimmt ist, weswegen dies die einzige Lösung ist.
Das stimmt. Von der Formulierung bin ich nicht gerade begeistert, aber es stimmt.


Anderer Ansatz wäre dass laut Vorlesung gilt dass jede Matrix zu sich selbst invers ist, sprich es gilt
((A \ A) ∪ (A \ A) = (A \ A) ∪ (A \ A) = e. Diese Lösung ist offensichtlich die leere Menge ∅.
Dazu kann ich nichts sagen. Benutz aber lieber Obiges.


Sei weiter x ∈ A ∩ N = ∅
-> (x ∈ A ∧ x ∈ N) = ∅
Du kannst gewiss nicht annehmen, ein Element sei Element der leeren Menge.

Du meinst aber {x : x ∈ A ∧ x ∈ N} = ∅. Das ist korrekt.

Also ist A genau dann Element des Kernes, wenn es kein Element von N hat.

Eine Formulierung wie "ist erfüllt für die zusätzliche Voraussetzung" ist unausreichend. Du brauchst hier Äquivalenz - "genau dann, wenn".


--> A genau dann Element des Kernes, wenn es kein Element von N hat.

Mach da mal weiter, im Grunde ist die einzige Hürde nun das formal zu beweisen. Ansonsten ist es erstmal getan.


Eine Sache noch:

2. Voraussetzung: A \ N
Das ist keine Aussage! Also auch keine "Voraussetzung".


Gruß



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Alfmeister13
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-24


Hi,

sitze an der Aufgabe jetzt schon seit 2 Tagen und kriege es einfach nicht hin das ganze formell / dem erwarteten Umfang korrekt zu lösen.

Meine Klausur ist bereits Morgen, weswegen ich die Aufgabe bis spätestens heute Abend drauf haben muss. Könntet ihr mir die Lösung zu b) und c) verraten, sodass ich sie mir durchlesen kann und einmal ohne auf die Lösungen zu gucken selbstständig bearbeiten könnte?

Wäre euch wirklich sehr sehr dankbar.

Grüße Alf



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Ralip
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-03-24


Hey Alf,
okay. Hier meine Lösung:

a) Hast du ja bereits

b)
[Ich schreibe statt phi nun f, das ist schneller.]

Es gilt (∅ Element von P(M)) und (Für alle A Element von P(M): ∅ Δ A = (∅ \ A) ∪ (A \ ∅) = (A \ ∅) ∪ (∅ \ A) = A).
Damit ist ∅ das neutrale Element von P(M) und auch für P(N) (letzteres ergibt sich völlig analog).

Somit:
Kern f = {X Teilmenge von M : X ∩ N = ∅}

Es gilt:
Kern(f) Teilmenge von P(M \ N), denn für ein X Teilmenge von M mit X ∩ N = ∅ gilt für alle x Element von X: x Element von M per definitionem und, da x nicht Element von N ist, gilt auch x Element von M \ N. Damit gilt also: X Teilmenge M \ N und somit Kern(f) Teilmenge von P(M \ N).

Die andere Inklusion:
Für X Element von P(M \ N), also X Teilmenge von M \ N gilt natürlich X ∩ N = ∅. Somit also X Element des Kernes, und damit: P(M \ N) Teilmenge von Kern(f).

Man resultiert also: kern(f) = P(M \ N).



Für das Bild, probier es nochmal selber. Benutz den Hinweis aus Beitrag. No. 13 von StrgAltEntf:

Zeige \(Bild\ \varphi={\cal P}(M\cap N)\). Zeige dazu: 1. Für jedes \(B\subseteq M\cap N\) gibt es ein \(A\subseteq M\) mit \(\varphi(A)=B\). 2. \(\varphi(A)\subseteq M\cap N\) für jedes \(A\subseteq M\).


P.S.
Ich hoffe es ist auch ohne Latex noch lesbar. Frag sonst nach.
Ebenso hoffe ich da jetzt nicht in der Schnelle einen Fehler eingebaut zu haben, sonst korregiert mich bitte!

und zu c):
Da musst du im Grunde nur die Ergebnisse aus b) einsetzen.
Poste am besten mal in welcher Version ihr den Homomorphiesatz vorliegen habt.

Grüße



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-03-24


$\ker(\varphi)=\mathcal{P}(M/N)$:
$A\in \ker(\varphi) \iff A\cap N=\emptyset \iff A\subseteq M/N \iff A\in\mathcal{P}(M/N)$.


$im(\varphi)=\mathcal{P}(M\cap N)$: $B\in im(\varphi) \iff \exists A\subseteq M: A\cap N=B \iff B\subseteq M\cap N \iff B\in \mathcal{P}(M\cap N)$.

Bei der einen Implikation kann man noch schreiben: Wähle $A:=B$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]



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Alfmeister13
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Hi,

vielen vielen Dank für die zahlreichen Rückmeldungen.
Bin deinen Text durchgegangen und habe alles in Formeln umgeschrieben und habe keinen Logikfehler entdeckt, weswegen ich das ganze ganz gut nachvollziehen kann.
Jetzt wo ich eine passende Vorlage habe sollte ich das ganze analog auch fürs Bild schaffen.

Dem Homomorphiesatz hatten wir wie folgt definiert:


Mit anderen Worten: Ich muss zeigen dass das ganze bijektiv und ein Gruppenhomomorphismus ist. Gruppenhomomorphismus hatte ich ja bereits, das sollte ich gleich nochmal selbstständig hinbekommen. Zeige ich für bijektiv am sinnvollsten die Exisstenz einer Umkehrabbildung oder ganz typisch injektiv surjektiv?


Gruß Alf



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-03-24


Bei c) musst du nichts mehr machen.
in a) hast du gezeigt, dass $\varphi: \mathcal{P}(M)\to \mathcal{P}(N)$ ein Gruppenhomomorphismus ist. (das ist das $f$ aus dem Satz) Du hast in b) kern und Bild bestimmt. Die Aussage c) ist also eine direkte Anwendung des Satzes und der Resultate aus a) und b).




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Alfmeister13
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Jetzt seh ich's auch :D

Also reicht zu sagen, dass aus den Erkenntnissen aus a) und b) direkt c) dank des Homomorphiesatzes folgt.

Vielen Dank euch, drückt mir die Daumen dass die Klausur morgen läuft :D

Grüße Alf



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