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Gewöhnliche DGL » Nichtlineare DGL 2. Ordnung » Phasenportrait Trajektorien
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Kein bestimmter Bereich Phasenportrait Trajektorien
tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-22


Hallo, ich weiß nicht in welches Forum der Thread hier gehört.

Jedenfalls habe ich die Zustandsdifferentialgleichung gegeben und das dazugehörige Phasenportrait. Aufgabe ist es die Trajektorien mit Pfeilen zu versehen.
Auf dem Bild wird auch erklärt, wie man diese Pfeile zeichnet.. jedoch verstehe ich nicht was da gemacht wird.
Also es werden einfach irgendwelche Werte eingesetzt und dann hab ich ein Ergebnis.. toll. Wie hilft mir das beim Pfeile zeichnen?




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rlk
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-23


Hallo tinkaamelie,
was gibt der Funktionswert $f(\tilde{x})$ an? Wie hängt er mit der Richtung der Pfeile zusammen?

Servus,
Roland


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Nichtlineare DGL 2. Ordnung' von rlk]



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 276
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo tinkaamelie,

ich nehme an, es handelt sich um das Phasenportrait der Differentialgleichung

\[\left(\begin{array}{c}\dot x_1\\\dot x_2\end{array}\right)=f(x_1,x_2)=\left(\begin{array}{c}x_1(x_2-1)\\x_2(x_1-1)\end{array}\right)\]
Dann gibt ja $f(x_1,x_2)$ gerade die Zeitableitung von $(x_1,x_2)$ an, das heißt, der Vektor $f(x_1,x_2)$ gibt die Richtung an, in welche sich der Vektor $(x_1,x_2)$ momentan zeitlich entwickelt. Wenn du also einen Punkt $\tilde x$ im Phasenportrait aussuchst und zu diesem Punkt $f(\tilde x)$ berechnest, dann erhältst du die Richtung, in die sich das System im Phasenraum bewegt, wenn es sich im Punkt $\tilde x$ befindet. Entsprechend muss der Pfeil auf der Trajektorie in Richtung des Vektors $f(\tilde x)$ zeigen.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-23


Ja, und genau das verstehe ich nicht.

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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 276
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Dass am Punkt $(0.5,2)$ der Pfeil in Richtung $(0.5,0.5)$ zeigen muss, also nach rechts oben.

Wobei ja eigentlich $f(0.5,2)=(0.5,-1)$ ist, also muss der Pfeil nach rechts unten zeigen.
\(\endgroup\)


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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-23


Und warum tut er das nicht?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-23


Vielleicht schaust du auf den falschen Punkt im Phasenraum? Hier ist er, und dort zeigt die Trajektorie nach unten rechts:




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tinkaamelie
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Mitteilungen: 177
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-23


Hä? Das ist nicht der Punkt. x1 ist die senkrechte Achse und x2 die Waagerechte.



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-23


Ja, es handelt sich hierbei um einen sog. geimeinen Phasenraum mit imaginärer x-Vertauschung. Da muss man besonders aufmerksam herangehen  wink .



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 276
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-03-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Nein, $x_1$ ist waagrecht und $x_2$ ist senkrecht. Es wäre schon sehr unkonventionell, wenn es andersherum wäre (und die Trajektorien wären auch falsch). Die Beschriftung ist vielleicht nicht optimal, da sie direkt neben der jeweils falschen Achse liegen. Aber es sollen eigentlich die Ränder des Schaubilds beschriftet sein, nicht die dazu senkrechten Mittelachsen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-03-24


. . . ein schwaches Forum. . ohne Sinn für Humor



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haegar90
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.03.2019
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-03-24


Ich will hier gelöscht werden.Danke.



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