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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Differentiation » Taylorentwicklungen » Taylorreihe: f(x)=ln(∛(7+3x)) um x0=0 (gelöst)
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Universität/Hochschule Taylorreihe: f(x)=ln(∛(7+3x)) um x0=0 (gelöst)
Aconex
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Aus: Gladbeck
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-23


Hey Leute,

Vor ein kurzem hat der Prof uns eine neue Variante von Taylorreihen-Aufgaben (ln) präsentiert, und das nur wenige Tage vor der Klausur...

Zuvor hatten wir nur Taylorreihen mit e^x.

Der erste Schritt ist die nte Ableitung zu finden:



fed-Code einblenden

Das ging auch relativ problemlos.
Nun zum Restglied:
e ist in dem Fall Epsilon.

fed-Code einblenden

Die Funktion einsetzen:
fed-Code einblenden
Umstrukturieren und die Betragsstriche nur um Werte legen, die negativ werden können:
fed-Code einblenden
Vereinfachen und Kürzen (n-1)! / (n+1)! = 1/(n * (n + 1)) = 1/ (n² + n). Außerdem |-1|^(n-1) immer 1:
fed-Code einblenden


Nun bin ich nicht mehr sicher wie ich weitermachen soll.

Meistens in anderen Aufgaben kam etwas mit x^n/n! heraus, was gegen 0 geht, aber das sehe ich hier nicht.

Hoffe jemand kann mir hier weiterhelfen.

Danke im Vorraus :)



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

ehrlich gesagt: es ist in diesem Fall mühsam, sich durch deine ganzen mathematischen Notationen zu wühlen. Nimm doch Latex oder den fedgeo-Formeleditor.

2019-03-23 15:07 - Aconex im Themenstart schreibt:
Der erste Schritt ist die nte Ableitung zu finden:


f(x)= ln((7+3x)^(1/3))

f'(x)= 1/(3x+7)

f''(x)= -3/(3x+7)²

f'''(x)= 18/(3x+7)³



fn(x) = (-1)^(n-1) * 3^(n-1) * (n-1)! / (3x+7)^n

Das passt.

Einen Fehler konnte ich auch sonst nicht entdecken, aber bei der Notation gebe ich da keine Garantie ab.

Zu deiner eigentlichen Frage: das bedeutet ja, dass das Restglied für \(n\to\infty\) nicht konvergiert. Heißt ja erst einmal nur, dass die Reihe nicht mit der Funktion übereinstimmt.

Gruß, Diophant



\(\endgroup\)


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Aconex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-23


Achja stimmt. Dann wäre, wenn der Rest nicht konvergiert einfach der Fehler der entsteht. Stimmt, danke für den Denkanstoß :)

Habe die Frage jetzt auch besser Formatiert, wusste nicht, dass es solch eine Funktion gab.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-23


Ich seh ich hier eine Menge Ableitungen und dann auch eine umständliche Betrachtung des Restglieds, lauter Dinge, welche man m.E. hier überhaupt nicht braucht, außer man will sich selbst das Leben schwer machen.  eek

Tatsächlich muss man hier die gegebene Funktion $f(x)$ ja nur ein einziges(!) Mal differenzieren, die Taylorreihe der Ableitung

$f'(x)=\frac 17 \frac 1{1+\frac{3x}7}$

ist samt Konvergenzradius ja bekannt wie ein bunter Hund, diese nimmt man einfach und integriert sie einmal mit passender Integrationskonstanten, um wieder zu $f(x)$ zurückzukommen, wobei der Konvergenzradius natürlich gleich bleibt, und fertig! Und wieder eine wertvolle Viertelstunde oder sogar mehr bei der Klausur gespart...  biggrin

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Diophant
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Mitteilungen: 748
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
@weird:
2019-03-23 16:35 - weird in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich seh ich hier eine Menge Ableitungen und dann auch eine umständliche Betrachtung des Restglieds, lauter Dinge, welche man m.E. hier überhaupt nicht braucht, außer man will sich selbst das Leben schwer machen.  eek

Tatsächlich muss man hier die gegebene Funktion $f(x)$ ja nur ein einziges(!) Mal differenzieren, die Taylorreihe der Ableitung

$f'(x)=\frac 17 \frac 1{1+\frac{3x}7}$

ist samt Konvergenzradius ja bekannt wie ein bunter Hund, diese nimmt man einfach und integriert sie einmal mit passender Integrationskonstanten, um wieder zu $f(x)$ zurückzukommen, wobei der Konvergenzradius natürlich gleich bleibt, und fertig! Und wieder eine wertvolle Viertelstunde oder sogar mehr bei der Klausur gespart...  biggrin

Ja, für solche Sachen fehlt mir gerade manchmal der Blick noch ein wenig. Aber genial!

@Aconex:
Den Trick solltest du unbedingt nachvollziehen und abspeichern!

Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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