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Lineare Algebra » Eigenwerte » Diagonalisierbarkeit von Matrizen
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Autor
Universität/Hochschule J Diagonalisierbarkeit von Matrizen
lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-23


Aufgabe:
Prüfen Sie mit dem Minimalpolynom, ob die Matrix über R (=reelle Zahlen) und/oder über C (=komplexe Zahlen) diagonalisierbar ist.


Matrix:
2   0   2   0

0  -1  -1   -1

-3  0   -2  0

2   2   2   1

Meine Frage/Bitte:
Kann mir jemand dieses Beispiel vorlösen/ alle Schritte nennen, die man hier durchgehen muss, um die Aufgabe zu lösen?

Ich habe noch mehr Matrizen, die ich auf dasselbe prüfen muss und bräuchte mal ein "Musterbeispiel"


Lieben Dank!



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-23


Hallo,

berechne das charakteristische Polynom $\chi$ von der Matrix $A$. Zerlege $\xi$ in Linearfaktoren und nehme ein Polynom $p$ derart, dass $p$ die gleichen Linearfaktoren wie $\chi$ hat, aber je Exponent $1$. Prüfe, ob $p(A) = 0$. Falls ja, ist die Matrix diagonalisierbar. Sonst nicht.

Mache dir klar, dass es so ist.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-23


2019-03-23 18:17 - Kezer in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

berechne das charakteristische Polynom $\chi$ von der Matrix $A$. Zerlege $\xi$ in Linearfaktoren und nehme ein Polynom $p$ derart, dass $p$ die gleichen Linearfaktoren wie $\chi$ hat, aber je Exponent $1$. Prüfe, ob $p(A) = 0$. Falls ja, ist die Matrix diagonalisierbar. Sonst nicht.

Mache dir klar, dass es so ist.

Danke für die Antwort. Bis zum Zerlegen schaffe ich es, aber wie fährt man fort?
Könntest du es mir (vlt auch an einem eigenen Beispiel) mal vormachen?

Danke und LG



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-23


Statt z.B. $\chi = (X-2)^2(X-3)^3(X-5)$ wähle nun $p = (X-2)(X-3)(X-5)$ und prüfe $p(A) = 0$.


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lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-24


2019-03-23 23:49 - Kezer in Beitrag No. 3 schreibt:
Statt z.B. $\chi = (X-2)^2(X-3)^3(X-5)$ wähle nun $p = (X-2)(X-3)(X-5)$ und prüfe $p(A) = 0$.

Was ist, falls das charakteristische Polynom = (x+1) * (x-4) * (x^2 + 2)
ist?

Heißt das dann, dass das charakteristische Polynom gleich dem Minimalpolynom ist?

Kann man somit einfach prüfen, ob algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit --> diagonalisierbar?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-24


2019-03-24 15:48 - lisalu in Beitrag No. 4 schreibt:

Was ist, falls das charakteristische Polynom $\chi= (X+1)(X-4)(X^2 + 2)$ ist?

Heißt das dann, dass das charakteristische Polynom gleich dem Minimalpolynom ist?

In diesem Fall heißt es das schon, aber nur, weil jeder Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1 hat.


Kann man somit einfach prüfen, ob algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit --> diagonalisierbar?
Ja, das muss für jeden Eigenwert gelten. Trotzdem müssen Minimalpolynom und charakteristisches Polynom nicht gleich sein, betrachte hierzu die Einheitsmatrix im $\mathbb{R}^{2\times 2}$



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-24


2019-03-24 15:48 - lisalu in Beitrag No. 4 schreibt:
2019-03-23 23:49 - Kezer in Beitrag No. 3 schreibt:
Statt z.B. $\chi = (X-2)^2(X-3)^3(X-5)$ wähle nun $p = (X-2)(X-3)(X-5)$ und prüfe $p(A) = 0$.

Was ist, falls das charakteristische Polynom = (x+1) * (x-4) * (x^2 + 2)
ist?

Heißt das dann, dass das charakteristische Polynom gleich dem Minimalpolynom ist?

Kann man somit einfach prüfen, ob algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit --> diagonalisierbar?


Ochen hat ja schon die Fragen zum Minimalpolynom beantwortet. Wenn du speziell bei diesem charakteristischen Polynom über $\mathbb{R}$ nachprüfen willst, ob es diagonalisierbar ist, dann überlege, woraus folgt, dass deine Matrix sicher nicht diagonalisierbar ist. (Das hat nicht viel mit Minimalpolynomen zu tun.) Es existiert hier ja nicht einmal eine Jordan-Normalform!


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lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-24


2019-03-24 16:21 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
2019-03-24 15:48 - lisalu in Beitrag No. 4 schreibt:

Was ist, falls das charakteristische Polynom $\chi= (X+1)(X-4)(X^2 + 2)$ ist?

Heißt das dann, dass das charakteristische Polynom gleich dem Minimalpolynom ist?

In diesem Fall heißt es das schon, aber nur, weil jeder Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1 hat.


Kann man somit einfach prüfen, ob algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit --> diagonalisierbar?
Ja, das muss für jeden Eigenwert gelten. Trotzdem müssen Minimalpolynom und charakteristisches Polynom nicht gleich sein, betrachte hierzu die Einheitsmatrix im $\mathbb{R}^{2\times 2}$


Danke, ich habe mir eben gedacht, dass falls ich beim charakteristischen Polynom, wenn die algebraische Vielfachheit = 1 ist, es gleich dem Minimalpolynom ist und man dann einfach "ganz normal" prüft, dass algebraische Vielfachheit = geometrische. Dann wäre die Matrix auch diagonalisierbar.



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lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-24


2019-03-24 16:21 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
2019-03-24 15:48 - lisalu in Beitrag No. 4 schreibt:

Was ist, falls das charakteristische Polynom $\chi= (X+1)(X-4)(X^2 + 2)$ ist?

Heißt das dann, dass das charakteristische Polynom gleich dem Minimalpolynom ist?

In diesem Fall heißt es das schon, aber nur, weil jeder Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1 hat.


Kann man somit einfach prüfen, ob algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit --> diagonalisierbar?
Ja, das muss für jeden Eigenwert gelten. Trotzdem müssen Minimalpolynom und charakteristisches Polynom nicht gleich sein, betrachte hierzu die Einheitsmatrix im $\mathbb{R}^{2\times 2}$


Aber ich frage mich, welchen Sinn die Aufgabe dann macht. Es heißt ja "prüfen Sie mit dem Minimalpolynom". Bei der Matrix, die ich angegeben habe, bekommt man alch charakteristisches Polynom (x-i*Wurzel2)*(x+i*Wurzel2)*(x-i)*(x+i) raus, was ja gleich dem Minimalpolynom ist.

Und somit bräuchte ich nur noch mein typisches Schama durchlaufen, wie es auch hier: matrixcalc.org/de/
nachprüfbar ist.

D.h. ich würde es jetzt wirklich so machen, dass ich ganz normal algebraische Vielfachheit, geometrische Vielfachheit bestimme, rausbekomme, ob die Matrix diagonalisierbar ist und dann meine Diagonalmatrix, P und P^-1 bilde.


Oder habe ich hier einen Denkfehler?

LG



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-03-24


Wenn Minimalpolynom = charakteristisches Polynom, dann ist unmittelbar klar, dass die Matrix diagonalisierbar (in $\mathbb{C}$ immer) oder nicht diagonalisierbar ist. Entsprechend verstehe ich auch nicht, was du mit "typisches Schema" oder dem Matrizenrechner meinst. Vielleicht meinst du die Bestimmung der Eigenwerte und -vektoren. Natürlich kannst du das wie gewohnt machen, aber hier geht es nur um die Diagonalisierbarkeit und einer anderen Methode.

Insbesondere ist nicht stets Minimalpolynom = charakteristisches Polynom wie ochen schon angemerkt hat, in einem solchen Fall ist dann mehr zu machen (als "unmittelbar klar").

Du meintest ja auch, dass ihr noch weitere Matrizen habt, wo das zu überprüfen ist. Sicher kommen Fälle vor, wo Minimalpolynom != charakteristisches Polynom gilt. (Hier wäre die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes > 1. Ohne einen Eigenraum zu berechnen ist also a priori nicht klar, ob die Matrix diagonalisierbar ist.)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-03-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
@kezer:
Ich habe den Thread nicht im Detail gelesen, also fehlt mir eventuell Kontext, aber die Aussage
2019-03-24 19:09 - Kezer in Beitrag No. 9 schreibt:
Wenn Minimalpolynom = charakteristisches Polynom, dann ist unmittelbar klar, dass die Matrix diagonalisierbar (in $\mathbb{C}$ immer) oder nicht diagonalisierbar ist.
finde ich sehr unglücklich formuliert. Je nachdem, wie man sie liest, ist die Aussage trivial (jede Matrix ist diagonalisierbar oder nicht diagonalisierbar) oder sie ist falsch: Allein mit der Information, dass Minimalpolynom = Charakteristisches Polynom ist, kann man noch keine Aussage über die Diagonalisierbarkeit machen.

@lisalu:
Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn ihr Minimalpolynom nur einfache Nullstellen hat und über dem Körper in Linearfaktoren zerfällt (letzteres ist über $\IC$ immer erfüllt).
\(\endgroup\)


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-03-24


Hallo,

Nuramon, du hast Recht, die Aussage ist wirklich unglücklich formuliert. Sorry dafür. Ich hatte sie zuerst über $\mathbb{C}$ formuliert, mir ist danach noch aufgefallen, dass ich Körper, welche nicht algebraisch abgeschlossen sind, noch reinnehmen sollte.

Ich meinte damit Folgendes: Wenn Minimalpolynom = charakteristisches Polynom, dann könnte man am charakteristischen Polynom unmittelbar ablesen, ob die Matrix diagonalisierbar ist (nämlich mit dem Kriterium von Nuramon).


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lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-25


2019-03-24 20:33 - Kezer in Beitrag No. 11 schreibt:
Hallo,

Nuramon, du hast Recht, die Aussage ist wirklich unglücklich formuliert. Sorry dafür. Ich hatte sie zuerst über $\mathbb{C}$ formuliert, mir ist danach noch aufgefallen, dass ich Körper, welche nicht algebraisch abgeschlossen sind, noch reinnehmen sollte.

Ich meinte damit Folgendes: Wenn Minimalpolynom = charakteristisches Polynom, dann könnte man am charakteristischen Polynom unmittelbar ablesen, ob die Matrix diagonalisierbar ist (nämlich mit dem Kriterium von Nuramon).

Ich bin immernoch verwirrt...

Nuramon kenne ich (noch) nicht. Ich kenne nur die Tatsache, dass man Matrizen diagonalisieren kann, wenn algebraische = geometrische Vielfalt.

Ist es für die oben genannte Aufgabe möglich, dies so zu prüfen?
Kann ich HIER davon ausgehen, dass Minimalpolynom = charakteristisches Polynom?

Wäre dankbar um eine klare Antwort.

LG



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-03-25


Wenn alle Eigenwerte die algebraische Vielfachheit 1 haben, so ist dein charakteristisches Polynom auch dein Minimalpolynom und deine Matrix komplex diagonalisierbar.

Wenn für alle Eigenwerte die algebraische Vielfachheit mit der geometrischen übereinstimmt, so ist deine Matrix komplex diagonalisierbar. Möglicherweise ist aber das charakteristische Polynom nicht dein Minimalpolynom.

Was "HIER" anwendbar ist, kommt auf die Eigenwerte deiner Matrix an.



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lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-26


2019-03-25 21:28 - ochen in Beitrag No. 13 schreibt:
Wenn alle Eigenwerte die algebraische Vielfachheit 1 haben, so ist dein charakteristisches Polynom auch dein Minimalpolynom und deine Matrix komplex diagonalisierbar.

Wenn für alle Eigenwerte die algebraische Vielfachheit mit der geometrischen übereinstimmt, so ist deine Matrix komplex diagonalisierbar. Möglicherweise ist aber das charakteristische Polynom nicht dein Minimalpolynom.

Was "HIER" anwendbar ist, kommt auf die Eigenwerte deiner Matrix an.

Ich betrachte hier das charakterisitische Polynom
 (x-i*Wurzel2)*(x+i*Wurzel2)*(x-i)*(x+i), habe also
4 verschiedene Eigenwerte. Also ist es gleich dem Minimalpolynom. Stimmts?

Und was gilt für die reelen Zahlen? Wenn eine Matrix komplexe und reelle Eigenwerte (EW) hat, wann ist sie dann diagonalisierbar?
Betrachtet man dann reellr und komplexe EW getrennt?
In der Aufgabe heisst es ja "diagonalisierbar überR oder C"

LG



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-03-26


2019-03-26 07:02 - lisalu in Beitrag No. 14 schreibt:
Ich betrachte hier das charakterisitische Polynom
 (x-i*Wurzel2)*(x+i*Wurzel2)*(x-i)*(x+i), habe also
4 verschiedene Eigenwerte. Also ist es gleich dem Minimalpolynom. Stimmts?
Ja


Und was gilt für die reellen Zahlen? Wenn eine Matrix komplexe und reelle Eigenwerte (EW) hat, wann ist sie dann diagonalisierbar?
Betrachtet man dann reelle und komplexe EW getrennt?
In der Aufgabe heisst es ja "diagonalisierbar über R oder C"
Sie ist nicht diagonalisierbar über R, da sie nicht-reelle Eigenwerte hat. Aber sie ist über C diagonalisierbar.



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lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-26


2019-03-26 07:35 - ochen in Beitrag No. 15 schreibt:
2019-03-26 07:02 - lisalu in Beitrag No. 14 schreibt:
Ich betrachte hier das charakterisitische Polynom
 (x-i*Wurzel2)*(x+i*Wurzel2)*(x-i)*(x+i), habe also
4 verschiedene Eigenwerte. Also ist es gleich dem Minimalpolynom. Stimmts?
Ja


Und was gilt für die reellen Zahlen? Wenn eine Matrix komplexe und reelle Eigenwerte (EW) hat, wann ist sie dann diagonalisierbar?
Betrachtet man dann reelle und komplexe EW getrennt?
In der Aufgabe heisst es ja "diagonalisierbar über R oder C"
Sie ist nicht diagonalisierbar über R, da sie nicht-reelle Eigenwerte hat. Aber sie ist über C diagonalisierbar.

Alles klar, vielrn Dank!
Ich denke, ich verstehe das Beispiel nun.

Mich würde nur noch interessieren, was passiert, wenn man auch reelle EW hat.

(X+1)(X−4)(X^2+1) hat ja reelle und komplexe EW, wobei Minimalpolynom wieder = charakteristisches Polynom. Was heißt das nun für die Diagonalisierbarkeit über R oder C?

LG



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-03-26


Wenn du über R diagonalisierst, ist wichtig, dass alle Eigenwerte reell sind. Wenn du über C diagonalisierst, dann ist dürfen sie reell oder auch nicht-reell sein.



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lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-26


2019-03-26 10:34 - ochen in Beitrag No. 17 schreibt:
Wenn du über R diagonalisierst, ist wichtig, dass alle Eigenwerte reell sind. Wenn du über C diagonalisierst, dann ist dürfen sie reell oder auch nicht-reell sein.

Alles klar, dankeschön!



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lisalu hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
lisalu hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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