Die Mathe-Redaktion - 25.04.2019 02:20 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Sept.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 211 Gäste und 7 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von fru MontyPythagoras
Mechanik » Dynamik des starren Körpers » Masse an abrollendem Seil: Beschleunigung berechnen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Masse an abrollendem Seil: Beschleunigung berechnen
traveller
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2306
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-24


Hallo

Ich habe gerade folgende fehlerhafte Überlegung gemacht.

Eine Masse $m$ hängt an einem masselosen Seil, das auf einem reibungsfrei drehbar gelagerten Zylinder mit Radius $r$ und Trägheitsmoment $J$ aufgerollt ist. Ich versuche, die Fallbeschleunigung der Masse zu berechnen, wenn sich das Seil abrollt.

Die Masse bewirkt ein Drehmoment $M=F_g r=mgr=J\alpha$ auf den Zylinder, welches eine Winkelbeschleunigung
$$\alpha=\frac{M}{J}=\frac{mgr}{J}$$
verursacht, welche auf dem Zylinderrand und damit für das Seil und die Masse zur Beschleunigung
$$a=r\alpha=\frac{mr^2}{J}g$$
führt.

Offensichtlich kann dies nicht stimmen, da wenn $mr^2>J$ die Masse sogar mit mehr als $g$ beschleunigen würde. Ich vermute der Fehler liegt darin, dass ich in der dynamischen Gleichung die Trägheit der Masse $m$ nicht berücksichtigt habe.

Allerdings kann ich keinen Fehler erkennen, wenn man strikt nur den Zylinder betrachtet. Aus dessen Sicht müsste es doch egal sein, ob die Kraft durch eine fallende Masse oder durch irgendwas anderes verursacht wurde.

Was läuft hier falsch? Und wie müsste man die Rechnung korrigieren?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kornkreis
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 664
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-24


Hi,

2019-03-24 14:15 - traveller im Themenstart schreibt:
Ich vermute der Fehler liegt darin, dass ich in der dynamischen Gleichung die Trägheit der Masse $m$ nicht berücksichtigt habe.

jep! An der Rolle zieht immer nur die Seilkraft. Im statischen Fall ist die Seilkraft gleich der Gewichtskraft der Masse, im dynamischen Fall ist es aber $mg-m|a|$.

Das sieht man schnell, wenn man die Masse freischneidet: Die Summe der Kräfte an der Masse bewirkt deren Beschleunigung, d.h. $F_\text{s}-mg=ma,$ wobei $F_\text{s}$ die Seilkraft bezeichnet und die $z$-Achse nach oben zeigt, d.h. wenn man dann noch die Rolle einbezieht um $F_\text{s}$ zu eliminieren, bekommt man ein negatives $a$.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 272
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo traveller,

die Seilkraft kann man sich auch an einem weiteren Beispiel ohne losschneiden überlegen:
Stell dir eine Masse $m$ vor, die an einem Seil hängt, das an einem Haken befestigt ist. Der Haken wird nun mit der konstanten Beschleunigung $a$ nach unten beschleunigt. Nun wird die Masse $m$ von der Schwerkraft $F_G$ nach unten gezogen, das Seil erlaubt aber nicht, dass die volle Erdbeschleunigung wirkt. Solange das Seil gespannt ist, ist die Beschleunigung höchstens so groß wie die des Seils selbst, also $a$. Dafür ist die Seilkraft verantwortlich, und es muss gelten

\[F_G+F_S=ma\\
F_S=ma-mg\]
Auf den Haken wirkt dann natürlich die umgekehrte Kraft $-F_S=mg-ma$, und diese Kraft wirkt in deinem Beispiel entsprechend auf die Rolle.

Alternativ kann man auch über die verrichtete Arbeit statt die Kraft gehen: Die verrichtete Arbeit ist

\[\Delta W=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\frac{v^2}{r^2}=\frac{1}{2}(m+\frac{I}{r^2})v^2\]
Wenn man $\Delta W=F\Delta s$ setzt und beide Seiten nach der Zeit ableitet, erhält man die Beschleunigung.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vGvC
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.04.2010
Mitteilungen: 1308
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-24


2019-03-24 14:15 - traveller im Themenstart schreibt:
Hallo
... Ich vermute der Fehler liegt darin, dass ich in der dynamischen Gleichung die Trägheit der Masse $m$ nicht berücksichtigt habe ...

Richtig. Laut dem d'Alembertschen Prinzip ist die Summe aller äußeren Kräfte (bzw. Momente) gleich der Summe aller Zwangskräfte (bzw. -momente). Also

\(\Large m\cdot g\cdot r=m\cdot a\cdot r+J\cdot\frac{a}{r}\)

Das lässt sich leicht nach a auflösen.

\(\Large a=\frac{g}{1+\frac{J}{m\cdot r^2}}\)



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kornkreis
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 664
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-24


Ach eine Sache will ich noch klären, weil es verwirren könnte:

2019-03-24 14:32 - Kornkreis in Beitrag No. 1 schreibt:
wenn man die Masse freischneidet

diese Ausdrucksweise hatte ich mal von den Maschinenbauern übernommen, freischneiden bedeutet hier im Prinzip "getrennt/einzeln betrachten", siehe de.wikipedia.org/wiki/Schnittprinzip



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
traveller hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]