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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Polynome » Formel für Produkt von Polynomen
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Universität/Hochschule Formel für Produkt von Polynomen
wernichtfragtbleibt
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-25


Hallo Zusammen,

auf der ersten Seite des Kapitels Polynomringe eines Buchs steht folgendes:

Multiplikation von Polynomen erfolgt nach der Regel:

fed-Code einblenden

Linke Seite des =
Wenn ich m,n=1 wähle, dann sind die Indizes von a und b höchstens 1

Rechte Seite des =
wenn ich m,n=1 wähle, dann sind die Indizes von a und b plötzlich 2, wegen k=m+n=2, also ist die Kombi i+j=0+2 möglich. Es tauchen jetzt a und b auf die vorher nicht da waren..
Wie kann das sein?

Ich kenne das Cauchy Produkt und da passt es ja, weil die Indizes bis ins Unendliche laufen, aber hier verstehe ich das nicht..
Danke schonmal für Hinweise.




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wernichtfragtbleibt
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.03.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-25


Ahh ich glaube ich weiß was mein Denkfehler ist.
fed-Code einblenden



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-25


Hallo,


Es tauchen jetzt a und b auf die vorher nicht da waren..
Wie kann das sein?

Hast du es dir schon mal ausführlich hingeschrieben?

Wenn wir n=m=1 haben, dann ist ja:

$(a_1X+a_0)(b_1X+b_0)=a_1b_1X^2+a_1b_0X+a_0b_1X+a_0b_0$

gesucht.

Was läuft ist der Exponent, nicht die Indizierung.

Denn:

$\sum_{k=0}^2\sum_{i+j=k} (a_ib_j)X^k$

bedeutet ja, dass wir für $k=0$ nur die Möglichkeit $i=j=0$ haben.
Für k=1 gilt i=0 und j=1, oder i=1 und j=0.
Für k=2 gilt i=j=1.
Insgesamt also vier Summanden, die der Reihe nach:

$a_0b_0X^0=a_0b_0$
$a_0b_1X+a_1b_0X$
$a_1b_1X^2$


lauten.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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wernichtfragtbleibt
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Dabei seit: 25.03.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-25


2019-03-25 13:52 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 2 schreibt:

Was läuft ist der Exponent, nicht die Indizierung.

Denn:

$\sum_{k=0}^2\sum_{i+j=k} (a_ib_j)X^k$

bedeutet ja, dass wir für $k=0$ nur die Möglichkeit $i=j=0$ haben.
Für k=1 gilt i=0 und j=1, oder i=1 und j=0.
Für k=2 gilt i=j=1.
Insgesamt also vier Summanden, die der Reihe nach:

$a_0b_0X^0=a_0b_0$
$a_0b_1X+a_1b_0X$
$a_1b_1X^2$


lauten.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Also im Buch steht, dass für k=2 die Möglichkeiten
i=0, j=2,
i=j=1 und
i=2, j=0 existieren.
Aber wenn ich es richtig verstehe, sind $a_2$ ,$b_2$=0 , da gilt $a_i$=0 für i>n
und das gleiche für b.
Dh. $a_0b_2X^2$ und $a_2b_0X^2$ verschwinden wieder.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-25


Ich fände es irgendwie umständlich es so zu machen.
Man kann ja viel besser einfach mit den Indizes/Koeffizienten arbeiten, die man zur Verfügung hat.

Aber ansonsten kann man natürlich künstlich neue solche Indizes hinzufügen, die dann eben alle Null sind und für die weitere Berechnung daher keine Rolle spielen, außer, dass man sinnlose Berechnungen durchführt.



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wernichtfragtbleibt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-25


Stimmt, verstehe was du meinst.



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wernichtfragtbleibt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-25


Danke, habe das Thema als erledigt markiert.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-25


2019-03-25 14:06 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber ansonsten kann man natürlich künstlich neue solche Indizes hinzufügen, die dann eben alle Null sind und für die weitere Berechnung daher keine Rolle spielen, außer, dass man sinnlose Berechnungen durchführt.

Das halte ich für keine so gute Idee. Es könnte ja sein, dass \(a_2\) und \(b_2\) bereits definiert sind. Und dann kommt man in die Küche - ihr wisst schon, in wessen ...

Sinnvoller ist es, die Formel für das Produkt zu präzisieren. Unter der inneren Summe steht dann nicht "\(i+j=k\)", sondern "\(i+j=k,0\leq i\leq n,0\leq j\leq m\)", auch wenn das etwas sperrig ist.

Gruß
StrgAltEntf



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