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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Galois-Zusammenhang
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Universität/Hochschule Galois-Zusammenhang
Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-10


Hallo Leute,

wäre schön, wenn jemand bei folgender Aufgabe unter die Arme greifen könnte, da sie in ein paar Tagen fällig ist:
\(Wir \ haben \ einen \ antiaonen \ Galois \ Zusammenhang \ mit \ den \ Funktionen \ f: X \rightarrow Y \ und \ g:Y \rightarrow X \ zeige \ f(\cup_{x \in A} x)= \cap_{x \in A} f(x) \forall A \subseteq X\)
Mein Lösungsversuch:
\( Sei \ A \subseteq X \ und \ y \in \cap_{x \in A} f(x) \Leftrightarrow \forall x \in A: y = f(x) \Leftrightarrow \forall x \in A: x = g(y) \Leftrightarrow \cup_{x \in A} x = g(y) \Leftrightarrow h(\cup_{x \in A} x) = f(g(y)) = y \Leftrightarrow y \in f(\cup_{x \in A} x) \)
Leider kam jetzt heute heraus, dass Supremum und Infimum gemeint waren vom Professor und nicht Vereinigung und Schnitt, ich habe auch schon versucht eine neue Lösung zu machen, leider ist mir nur das obere Eingefallen und wie man v und ^ statt der abgerundeten Symbole auf Latex eingibt, weiß ich auch nicht. Wäre schön, wenn jemand hilft und vielen Dank dafür.

Schöne Grüße
Alif



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tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-10

\(\begingroup\)\( \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}\)
Wenn man ordnungstheoretische Dinge tut, lohnt es sich oft, das "Prinzip der indirekten Gleichheit" anzuwenden: Um $a=b$ zu zeigen, zeigt man, dass für alle $y$ gilt: $y \leq a \iff y \leq b$. (Das geht auch mit $y$ rechts statt links, und ist ein Spezialfall des Yoneda-Lemmas.)

Hier führt das zu etwas sehr elegantem: Zu zeigen ist $\inf(f[A]) = f(\sup A)$ für $A \subseteq X$.
Dazu benutzen wir o.g. Prinzip: Sei $y \in Y$ beliebig. Dann:
$$\begin{array}{rlll}
&y \leq \inf (f [A]) \\
\iff & \forall x\in A.\ y \leq f(x) & \text{Def. }\inf, \text{Bild} \\
\iff & \forall x\in A.\ x \leq g(y) & \text{Galois-Verbindung} \\
\iff & \sup A \leq g(y) & \text{Def. }\sup \\
\iff & y \leq f(\sup A) & \text{Galois-Verbindung}
\end{array}$$

PS: $\bigvee,\bigwedge$ bekommt man mit \bigvee,\bigwedge.
\(\endgroup\)


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Alif
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Mitteilungen: 101
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-10


Hallo Tactac,

danke schonmal für die Info soweit, ich hätte lediglich noch ein paar kleine Nachfragen:
Verstehe ich das richtig, dass deine unten angegebene Lösung schon komplett ist und \(inf(f(A)) \leq y \Leftrightarrow f(sup(A)) \leq y\) gar nicht gezeigt werden muss?
Außerdem ist mir nicht ganz klar, warum du in deiner Lösung inf und sup und nicht die unten angegebenen \bigvee und \bigwedge verwendest, macht das einen Unterschied?
Wäre gut, wenn du mir diese zwei Nachfragen noch beantworten könntest, danke dafür.

Schöne Grüße
Alif



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tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1576
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-10

\(\begingroup\)\( \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2019-04-10 09:54 - Alif in Beitrag No. 2 schreibt:
Verstehe ich das richtig, dass deine unten angegebene Lösung schon komplett ist und \(inf(f(A)) \leq y \Leftrightarrow f(sup(A)) \leq y\) gar nicht gezeigt werden muss?
Richtig.

Außerdem ist mir nicht ganz klar, warum du in deiner Lösung inf und sup und nicht die unten angegebenen \bigvee und \bigwedge verwendest, macht das einen Unterschied?
Das macht inhaltlich keinen Unterschied. inf und sup lassen sich nur schneller tippen und verschwenden weniger Platz.
\(\endgroup\)


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Alif
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Mitteilungen: 101
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-11


Hallo Tactac,

Danke für deine Antwort.
Ich muss zwar nochmal etwas arbeiten, um zu verstehen, warum dieses Beweisprinzip gilt, da sich dazu im Internet nichts findet, aber sonst habe ich das soweit verstanden und es scheint ja wirklich super einfach zu sein.
Zur Beantwortung meiner zweiten Frage kann ich nur sagen sehr schlau und auch witzig, leider kann man sich in Mathe nicht immer alles so leicht machen.
Solltest du einen anderen Satz kennen, der mit diesem Prinzip bewiesen wird, wo dann klar wird, warum das Prinzip stimmt, stell ihn doch bitte hier noch rein.

Schöne Grüße



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tactac
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Mitteilungen: 1576
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}\)
2019-04-11 00:50 - Alif in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich muss zwar nochmal etwas arbeiten, um zu verstehen, warum dieses Beweisprinzip gilt, da sich dazu im Internet nichts findet, aber sonst habe ich das soweit verstanden und es scheint ja wirklich super einfach zu sein.
Zur Beantwortung meiner zweiten Frage kann ich nur sagen sehr schlau und auch witzig, leider kann man sich in Mathe nicht immer alles so leicht machen.
Dass das Prinzip gilt, ist wirklich leicht zu zeigen. Man muss eigentlich nur anfangen, und plötzlich ist man fertig.  smile
Tipp für den Anfang:
Zeige, dass $a \leq b$ äquivalent ist zu $\forall x.\ x \leq a \Rightarrow x \leq b$. (Für den Beweis des Prinzips ist aber nur die Richtung nach links nützlich.)

Solltest du einen anderen Satz kennen, der mit diesem Prinzip bewiesen wird, wo dann klar wird, warum das Prinzip stimmt, stell ihn doch bitte hier noch rein.
Man kann sehr viele Dinge so beweisen. Beispiel: In einer Heyting-Algebra gilt $(a \lor b)\land c = a \land c \lor b \land c$ (hier wird die gedrehte Version verwendet): Für beliebige $x$ haben wir:
$$\begin{array}{lll}
&(a \lor b)\land c \leq x
\\\iff & a \lor b \leq c \to x & \text{Def. } \to
\\\iff & a \leq c \to x\text{ und } b \leq c \to x & \text{Def. } \lor
\\\iff & a \land c \leq x \text{ und } b \land c \leq x & \text{2x Def. } \to
\\\iff & a \land c \lor b \land c \leq x & \text{Def. } \lor
\end{array}$$

In themattchan.com/docs/algprog.pdf (aber natürlich nicht nur dort) findet man mehr Beispiele.
\(\endgroup\)


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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-11


Ich muss mich nochmals bedanken, wenn man auch bedenkt, dass fdeine rechte Seite für alle x zu gelten hat, ist \(a=b\) die einzige logische Schlussfolgerung.
Mir scheint übrigens, dass du ausversehen \(a \leq b\) abgetippt hast.
Also danke, eigentlich ist dieser Beweis offensichtlich, nur leider scheint man im Internet kaum etwas oder nichts dazu zu finden, was doch schade ist.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Nichtaristoteles
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Mitteilungen: 200
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-19

\(\begingroup\)\( \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2019-04-11 02:06 - tactac in Beitrag No. 5 schreibt:
Zeige, dass $a \leq b$ äquivalent ist zu $\forall x.\ x \leq a \Rightarrow x \leq b$.

Hat zwar vielleicht keine Relevanz für diesen Thread, aber mir ist gerade aufgefallen, dass $a\leq b$ in Wohlordnungen (allgemein in geordneten Mengen gilt's aber nicht) äquivalent zu $\forall x.\, x < a \Rightarrow x < b$ ist. Denn in Wohlordnungen gilt immer $a\leq b$ oder $b\leq a$. Im ersten Fall sind wir fertig. Im zweiten Fall gilt entweder $b=a$ (dann sind wir auch fertig) oder $b < a$ (dann gilt nach Annahme $b<b$, was der Reflexivität widerspricht). Die andere Richtung gilt wegen Transitivität.
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Aus: Grothendieck Universum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-19

\(\begingroup\)\( \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \newcommand{\tfae}{\textbf{T.F.A.E.}} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \newcommand{\bop}{\bigoplus} \newcommand{\eps}{\epsilon} \renewcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\vth}{\vartheta} \newcommand{\pfam}[1]{(#1)_{v\in\mathfrak{M}_k}} \newcommand{\finfam}[1]{(#1)_{i=1}^n} \newcommand{\udl}[1]{\underline{#1}} \DeclareMathOperator{\End}{End} \newcommand{\Uij}{U_i\cap U_j} \newcommand{\vpi}{\varphi_i} \newcommand{\CC}{\c{C}} \newcommand{\CS}{\mathcal{S}} \newcommand{\vpj}{\varphi_j} \newcommand{\twist}[1]{\c{O}_{\mathbb{P}_k^n}(#1)} \DeclareMathOperator{\rad}{rad} \newcommand{\fam}[1]{(#1)_{i\in I}} \DeclareMathOperator{\char}{char} \DeclareMathOperator{\Proj}{Proj} \newcommand{\prj}[1]{\Proj (#1)} \newcommand{\part}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \DeclareMathOperator{\length}{length} \DeclareMathOperator{\locArt}{locArt} \DeclareMathOperator{\Ass}{Ass} \newcommand{\kxn}{k[x_0,\pts,x_n]} \DeclareMathOperator{\Supp}{Supp} 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2019-04-11 10:03 - Alif in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich muss mich nochmals bedanken, wenn man auch bedenkt, dass fdeine rechte Seite für alle x zu gelten hat, ist \(a=b\) die einzige logische Schlussfolgerung.
Dass die Morphismen $hom(-,A)\to hom(-,B)$ in Bijektion mit den Morphismen $A\to B$ stehen ist ein Spezialfall des Yoneda lemmas und gilt in jeder lokal kleinen Kategorie, nicht nur in partiell geordneten Mengen.

Es ist im allgemeinen immer einfacher mit $hom$ Funktoren zu rechnen, als mit den Objekten.

EDIT
Das hatte tactac eigentlich schon gesagt.




-----------------
Poincaré and Erdős went to an étalé party at Čech's
with an adèle and an étale as gifts. Čech was happy.
\(\endgroup\)


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