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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Schwache Konvergenz im Sobolevraum
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Universität/Hochschule J Schwache Konvergenz im Sobolevraum
MiMo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-14 19:07


Guten Abend,

Ich habe in einem Buch über PDE's im Anfangskapitel, in dem noch einmal kurz Funktionalanalysis wiederholt wird, gelesen, dass gilt

fed-Code einblenden

Die Rückrichtung ist klar, wenn man sich die Funktion im Dualraum von
\(L^p(\Omega)\) passend bastelt. Allerdings ist mir noch nicht klar wie die Hinrichtung folgt.
Hat hier vielleicht einer eine Idee oder weiß wo ich das nachschlagen könnte? Ich habe schon bisschen gesucht aber noch nichts gefunden.

LG, MiMo



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-14 21:56


Hey MiMo,

die Hinrichtung lässt sich mit dem Satz von Rellich-Kondrachov beweisen. Zumindest, wenn \(\Omega\) ein beschränktes Lipschitz-Gebiet ist und \(p< \infty\) gilt. Diesen Satz findest du bei Wikipedia und vermutlich in jedem Buch über PDEs oder Sobolev-Räume. Für \(p= \infty\) wäre es mir neu.



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MiMo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-15 09:36


Danke für die schnelle Antwort! Nir damit ich das richtig verstanden habe: wir benutzen Rellich-Kondrachov aber es reicht schon, dass wir wissen dass \(W^1,p\) stetig in \(L^p\) eingebettet ist, also dass die Einbettung sogar kompakt ist braucht man hier nicht unbedingt oder?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-15 11:03


Die kompakte Einbettung benötigst du, um aus \(u_n \rightharpoonup u\) in \(W^{1,p}(\Omega)\) die starke Konvergenz \(u_n \to u\) in \(L^p(\Omega)\) zu bekommen. Mit nur stetiger Einbettung würdest du wieder nur schwache Konvergenz bekommen.



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-15 22:24


Hallo ihr Beiden,

nur kurz der Vollständigkeit halber. Die Äquivalenz gilt nur modulo Teilfolgenauswahl.

Viele Grüße

doglover



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-15 23:00


Die Äquivalenz gilt auch für die ganze Folge. Wenn \(u_n \rightharpoonup u\) in \(W^{1,p}(\Omega)\), dann ist \(u_n\) insbesondere eine beschränkte Folge in \(W^{1,p}(\Omega)\). Sei nun \(u_{n_k}\) eine beliebige Teilfolge von \(u_n\). Diese ist wiederum beschränkt in \(W^{1,p}(\Omega)\) und wegen der kompakten Einbettung in \(L^p(\Omega)\) existiert ein \(v \in L^p(\Omega)\) und eine Teilfolge \(u_{n_{k_l}}\) von \(u_{n_k}\), sodass \(u_{n_{k_l}} \to v\) in \(L^p(\Omega)\) für \(l \to \infty\). Da nach Voraussetzung \(u_n \rightharpoonup u\) in \(W^{1,p}(\Omega)\), gilt insbesondere \(u_{n_{k_l}} \rightharpoonup u\) in \(W^{1,p}(\Omega)\), also insbesondere auch in \(L^p(\Omega)\). Da wegen \(u_{n_{k_l}} \to v\) in \(L^p(\Omega)\) auch \(u_{n_{k_l}} \rightharpoonup v\) in \(L^p(\Omega)\) gilt, folgt wegen der Eindeutigkeit des schwachen Grenzwertes \(v=u\), also \(u_{n_{k_l}} \to u\) in \(L^p(\Omega)\).
Da die Teilfolge \(u_{n_k}\) beliebig war, liefert nun das Teilfolgenprinzip die starke Konvergenz für die gesamte Folge, also \(u_n \to u\) in \(L^p(\Omega)\).



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MiMo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-16 10:59


Danke, jetzt sehe ich wieso die kompakte Einbettung benötigt wird.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-16 19:04


Danke Kampfpudel für die Verbesserung!

Da habe ich (mal wieder) etwas zu schnell aus der Hüfte geschossen.

Beste Grüße

doglover



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