Die Mathe-Redaktion - 22.09.2019 16:45 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 492 Gäste und 20 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Schwache Konvergenz im Sobolevraum
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Schwache Konvergenz im Sobolevraum
MiMo
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2016
Mitteilungen: 81
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-14


Guten Abend,

Ich habe in einem Buch über PDE's im Anfangskapitel, in dem noch einmal kurz Funktionalanalysis wiederholt wird, gelesen, dass gilt

fed-Code einblenden

Die Rückrichtung ist klar, wenn man sich die Funktion im Dualraum von
\(L^p(\Omega)\) passend bastelt. Allerdings ist mir noch nicht klar wie die Hinrichtung folgt.
Hat hier vielleicht einer eine Idee oder weiß wo ich das nachschlagen könnte? Ich habe schon bisschen gesucht aber noch nichts gefunden.

LG, MiMo



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1595
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-14


Hey MiMo,

die Hinrichtung lässt sich mit dem Satz von Rellich-Kondrachov beweisen. Zumindest, wenn \(\Omega\) ein beschränktes Lipschitz-Gebiet ist und \(p< \infty\) gilt. Diesen Satz findest du bei Wikipedia und vermutlich in jedem Buch über PDEs oder Sobolev-Räume. Für \(p= \infty\) wäre es mir neu.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MiMo
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2016
Mitteilungen: 81
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-15


Danke für die schnelle Antwort! Nir damit ich das richtig verstanden habe: wir benutzen Rellich-Kondrachov aber es reicht schon, dass wir wissen dass \(W^1,p\) stetig in \(L^p\) eingebettet ist, also dass die Einbettung sogar kompakt ist braucht man hier nicht unbedingt oder?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1595
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-15


Die kompakte Einbettung benötigst du, um aus \(u_n \rightharpoonup u\) in \(W^{1,p}(\Omega)\) die starke Konvergenz \(u_n \to u\) in \(L^p(\Omega)\) zu bekommen. Mit nur stetiger Einbettung würdest du wieder nur schwache Konvergenz bekommen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
doglover
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.02.2015
Mitteilungen: 320
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-15


Hallo ihr Beiden,

nur kurz der Vollständigkeit halber. Die Äquivalenz gilt nur modulo Teilfolgenauswahl.

Viele Grüße

doglover



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1595
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-15


Die Äquivalenz gilt auch für die ganze Folge. Wenn \(u_n \rightharpoonup u\) in \(W^{1,p}(\Omega)\), dann ist \(u_n\) insbesondere eine beschränkte Folge in \(W^{1,p}(\Omega)\). Sei nun \(u_{n_k}\) eine beliebige Teilfolge von \(u_n\). Diese ist wiederum beschränkt in \(W^{1,p}(\Omega)\) und wegen der kompakten Einbettung in \(L^p(\Omega)\) existiert ein \(v \in L^p(\Omega)\) und eine Teilfolge \(u_{n_{k_l}}\) von \(u_{n_k}\), sodass \(u_{n_{k_l}} \to v\) in \(L^p(\Omega)\) für \(l \to \infty\). Da nach Voraussetzung \(u_n \rightharpoonup u\) in \(W^{1,p}(\Omega)\), gilt insbesondere \(u_{n_{k_l}} \rightharpoonup u\) in \(W^{1,p}(\Omega)\), also insbesondere auch in \(L^p(\Omega)\). Da wegen \(u_{n_{k_l}} \to v\) in \(L^p(\Omega)\) auch \(u_{n_{k_l}} \rightharpoonup v\) in \(L^p(\Omega)\) gilt, folgt wegen der Eindeutigkeit des schwachen Grenzwertes \(v=u\), also \(u_{n_{k_l}} \to u\) in \(L^p(\Omega)\).
Da die Teilfolge \(u_{n_k}\) beliebig war, liefert nun das Teilfolgenprinzip die starke Konvergenz für die gesamte Folge, also \(u_n \to u\) in \(L^p(\Omega)\).



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MiMo
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2016
Mitteilungen: 81
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-16


Danke, jetzt sehe ich wieso die kompakte Einbettung benötigt wird.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
doglover
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.02.2015
Mitteilungen: 320
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-16


Danke Kampfpudel für die Verbesserung!

Da habe ich (mal wieder) etwas zu schnell aus der Hüfte geschossen.

Beste Grüße

doglover



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]