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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz von Reihen
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Universität/Hochschule J Konvergenz von Reihen
HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-19


Hallo,

ich habe untere Definition von der Konvergenz von Reihen gegeben.
Soweit habe ich auch alles verstanden.

Was mit aber etwas komisch vorkommt ist, dass bei ii) der Wert der Laufvariable einmal bei 0 und einmal bei 1 beginnt.
Hat das irgend einen Grund? (Meiner Meinung nach nicht.)

Vorallem ist zu Beginn definiert, dass der Index von a eine Natürliche Zahl sein soll. Weiter voren wurde definiert, dass diese Menge NICHT die Zahl 0 enthalten soll.

Daher gehe ich momentan davon aus, dass sowohl bei i) als auch bei ii) versehentlich "n=0" anstelle von "n=1" geschrieben wurde.

Was meint ihr? Oder gibt es dafür einen Grund, der mir gerade nicht auffällt?

Danke vorab :)




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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

ich halte das für eine weitere Inkonsistenz in deinem Buch. Dort (bei Punkt 3.3.2 ii) ) steht ja auch \(n\in\IN\), oben wurden die natürlichen Zahlen ohne die Null definiert und direkt darunter beginnt der Index bei Null.

Ist ein wenig verwirrend aber in diesem Kontext zunächst einmal nicht so wichtig.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-19


Hallo,

grundsätzlich spielt es natürlich keine Rolle, ob man den ersten Summanden einer Reihe mit $a_0$, oder $a_1$ bezeichnet.
(Wenn man mal von Folgen absieht, die für bestimmte $n$-Werte nicht definiert sind, wie $a_n=1/n$, wobei man das ja auch entsprechend anpassen kann: $a_n=1/(n+1)$.)

Hier in diesem Fall gehe ich eigentlich von einem Tippfehler aus.
Wie gesagt, ist es aber auch nicht weiter wichtig.

Man kann den Index auch immer anpassen, indem man eine Indexverschiebung durchführt. Siehe das Beispiel oben.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-19


Hi,

d.h. es gibt keinen Grud warum da plötzlich mit dem Index 0 begonnen wurde? D.h. wenn ich für mich die Null durch eine 1 ersetze ist es auch korrekt?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-19


Hallo HDMIii,

mal anders herum gefragt: was ändert das denn an dem geschilderten Sachverhalt, also der Definition der absoluten Konvergenz, ob da mit n=0 oder n=1 begonnen wird?


Gruß, Diophant



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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-19


Meiner Meinung nach einiges.


i) Man könnte es so interpretieren, dass man für die Reihe erst ab dem 2. Glied der Folge (a_k) beginnen darf. D.h. für eine Reihe die ab dem 1. Glied der Folge beginnt, gilt der Satz nicht.

ii) Analog zu i)

Sicher, man könnte nun überlegen: Im Prinzip ändert sich nichts an der Konvergenz der Partialsummen, wenn ich auf jede Partialsumme noch einen Summanden drauf addiere.
Also ohne 1. Element der Folge
1 1,5 1,8 1,9 2 2 2 2 2 ...
Mit 1. Element = 1 der Folge
2 2,5 2,8 2,9 3 3 3 3 3 ...

Aber ich denke das soll ja nicht der Sinn und Zweck einer Definition sein.
Sondern die Definiton soll es möglichst auf den Punkt bringen (ohne, dass man noch lang überlegen muss)

Oder?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-19


Hallo,

bist du sicher, dass du den Sinn hinter der absoluten Konvergenz oder überhaupt der Reihenkonvergenz verstanden hast? Also für mich ist das völlig wurscht, ob die Partialsummenfolge beim 0., beim 1. oder beim 157. Folgengleid beginnt...

Gruß, Diophant



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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-19


Hi,

die Konvergenz einer Reihe gibt doch an welchen Wert die unendlichste Partialsumme hat (natürlich vorausgesetzt, die Reihe ist konvergent).

Die unendlichste Partialsumme ist:
s=a_1+a_2+a_3+...

Nun hängt der Wert doch ab von allen Elementen der Folge (a_k). Wenn ich nun  ein Element weg lasse (z.B. a_1) dann erhalte ich doch einen anderen Grenzwert s.

Oder liege ich da falsch?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-19


Hallo HDMIii,

2019-04-19 18:14 - HDMIii in Beitrag No. 7 schreibt:
die Konvergenz einer Reihe gibt doch an welchen Wert die unendlichste Partialsumme hat (natürlich vorausgesetzt, die Reihe ist konvergent).

Die unendlichste Partialsumme ist:
s=a_1+a_2+a_3+...

Nun hängt der Wert doch ab von allen Elementen der Folge (a_k). Wenn ich nun  ein Element weg lasse (z.B. a_1) dann erhalte ich doch einen anderen Grenzwert s.

Oder liege ich da falsch?

nein, das ist schon richtig. Aber hier geht es noch lange nicht um Reihenwerte, sondern nur um die Frage, ob ein solcher existiert oder nicht: also um die Frage der Konvergenz.

Es ist eine Sache, eine Reihe auf Konvergenz zu untersuchen. Eine ganz andere, oft um ein vielfaches schwierigere Sache ist es, den Reihenwert im Falle der Konvergenz zu berechnen.

Und nochmal: hier geht es ausschließlich um die Definitionen von Konvergenz und absoluter Konvergenz, die Reihengrenzwerte interessieren in diesem Zusammenhang (noch) nicht.


Gruß, Diophant



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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-19


Ok, ja bei der reinen Konvergenz spielt es keine Rolle da das Weglassen eines einzelnen Summanden (z.B. a_1) nichts an der Tatsache ändert, dass eine Reihe konvergiert.
D.h. um zurück zum Anfang zu kommen. Es spielt keine Rolle ob ich in der Definition bei der Summe mit 0 oder 1 beginnt (auch wenn der Index der Folge bei 0 beginnt)

Aber da meine Unterlage bisher immer mit dem Index 1 begonnen hat, werde ich auch in dieser Definition mit dem Index 1 beginnen (sowohl für die Folge (a_n) als auch für die Summe). Damit habe ich auch wieder alle Folgenelemente von (a_n) berücksichtigt.

Richtig?



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-04-19


Hallo

ja richtig, ob man mit 1 oder 0 als Index beginnt ist für die Konvergenz nicht wichtig.

Gruß Caban



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-19


Hallo HDMIii,

ja, das kannst du machen. Was ich immer noch nicht so ganz verstehe ist, warum dir das fürs Verständnis des ganzen so wichtig ist. Ich an deiner Stelle hätte das je nach Stimmung mit einem Augenzwinkern oder einem Kopfschütteln zur Kenntnis genommen und weitergelesen. ;-)

Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]



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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-19


2019-04-19 18:46 - Diophant in Beitrag No. 11 schreibt:
Was ich immer noch nicht so ganz verstehe ist, warum dir das fürs Verständnis des ganzen so wichtig ist. Ich an deiner Stelle hätte das je nach Stimmung mit einem Augenzwinkern oder einem Kopfschütteln zur Kenntnis genommen und weitergelesen. ;-)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]

Ja, du bist auch ein Experte. Ich hingegen bin gerade dabei mich in das Thema einzuarbeiten und wenn plötzlich der Index mit 0 beginnt (wenn er sonst immer mit 1 begonnen hat) ist das verdächtig und es könnte mehr dahinter stecken als nur reine Willkür (was hier aber nicht der Fall ist). Daher wollte ich nachfragen. :)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-04-19


Hi HDMIii,

2019-04-19 19:28 - HDMIii in Beitrag No. 12 schreibt:
Ja, du bist auch ein Experte. Ich hingegen bin gerade dabei mich in das Thema einzuarbeiten und wenn plötzlich der Index mit 0 beginnt (wenn er sonst immer mit 1 begonnen hat) ist das verdächtig und es könnte mehr dahinter stecken als nur reine Willkür (was hier aber nicht der Fall ist). Daher wollte ich nachfragen. :)

Danke für die Blumen, aber so weit her ist es dann auch wieder nicht. :-)

Es ist aber ein guter Punkt hier am Ende des Threads? noch eine Bemerkung anzubringen: beim Studium der Mathematik, gerade von Lehrbüchern, ist es ungemein hilfreich, wenn man in der Lage ist, die wichtigen von den unwichtigen Dingen zu unterscheiden. Das war hier wohl ein Stück weit das Problem.

Um aber ehrlich zu sein: diese Fähigkeit ist etwas, was jeder von uns auch immer wieder aufs neue lernen und üben muss. Experte hin oder her. ;-)


Gruß & schönen Abend, Diophant

PS: und natürlich weiterhin immer her mit den Fragen. :-)



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HDMIii
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Ja, um das wichtige vom unwichtigen trennen zu können, muss man beides erst einmal verstehen und ich denke darin liegt der Knackpunkt :).

Da alles geklärt ist schließe ich hier ab.

Nochmal danke an alle und ja, ich denke es werden sich noch ein paar weitere Fragen ergeben. :)



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