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Mathematik » Lineare Algebra » Tensorprodukt in der Quantenphysik: Addition von Drehimpulsen
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Universität/Hochschule J Tensorprodukt in der Quantenphysik: Addition von Drehimpulsen
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-21


Hallo alle zusammen,

ich habe eine Frage zu folgendem Dokument:



Konkret geht es um Seite 2 Gleichung 1.3 (die Box). Was bedeutet foglender Ausdruck:

$\hat J_i \equiv \hat J_i^{(1)} \otimes \mathbf{1} + \mathbf{1} \otimes \hat J_i^{(2)}$  ?

Konkret geht es mir um die $\mathbf{1}$? Also $V_1$ und $V_2$ sind Vektorräume. Nun hat jeder Vektorraum einen Vektor $1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \ \forall \ v\in V$ (   ).
Ist das die $1$, die gemeint ist?

Falls ja, warum ist dann keine Unterscheidung zwischen der $\mathbf{1}$ in $V_1$ bzw. $V_2$ notwendig?

Gruß
Neymar





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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo Neymar,

unter der $\bf 1$ versteht man die Identitätsabbildung, also $(\hat J^{(1)}_i\otimes\mathbf{1})(v\otimes w):=(\hat J^{(1)}_i v)\otimes w$. Analogwenn die $\bf 1$ auf der linken Seite des Tensorprodukts steht.

Die Gleichung heißt also im wesentlichen, dass der Gesamtspin eines Zwei-Teilchen-Systems, dessen Teilchen sich jeweils in einem Spin-Eigenzustand befinden, einfach die Summe der Einzelspins ist.
\(\endgroup\)


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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-21


Stimmt, das ergibt auch Sinn, denn $\hat{J_k}$ ist ja ein Operator, der auf einen Vektor wirkt, aus dessen Vektorraum er kommt. Da (wie das Dokument betont) $\hat J_k$ auf den Vektorraum $V_1 \otimes V_2$ wirkt, können (bzw. eher müssen) wir uns fragen, was dieser Operator mit einem beliebigen Element von $V_1 \otimes V_2$ macht, also z. B. $v_1 \otimes v_2$ (wobei wir o. B. d. A. einen reinen Tensor nehmen), so wie man es halt allgemein mit Operatoren tut.

Dann definiert man $(\hat J^{(1)}_i\otimes\mathbf{1})(v_1\otimes v_2):=(\hat J^{(1)}_i v_1)\otimes v_2$, so wie du es geschrieben hast.
Und, wie du angemerkt hast, definiert man noch $\left( \mathbf{1} \otimes \hat J_i^{(2)} \right)(v_1 \otimes v_2) := v_1 \otimes \left( \hat J_i^{(2)}w_1 \right)$.

Nice, danke dir!

Neymar



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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