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Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
stpolster
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Kein bestimmter Bereich Alte Olympiadeaufgaben
Kornkreis
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Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.440, eingetragen 2019-05-18 17:06


2019-05-18 16:39 - StrgAltEntf in Beitrag No. 439 schreibt:

Ist hier gemeint, dass P der Mittelpunkt der Strecke \(P_1P_2\) ist?


 Nein, es gibt verschiedene mögliche Teilverhältnisse und die entsprechenden Punkte $P$ haben nicht alle die gleichen Bezugspunkte $P_1$ und $P_2$.



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cyrix
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Aus: Flensburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.441, eingetragen 2019-05-18 17:10


@StrAltEntf: Jep: Du wählst dir einen beliebigen Punkt <math>P_1</math> auf <math>g_1</math> sowie einen beliebigen Punkt <math>P_2</math> auf <math>g_2</math> und bestimmst deren Mittelpunkt <math>P</math>. Der geometrische Ort aller dieser Punkte <math>P</math> ist gesucht.

Würden sich <math>g_1</math> und <math>g_2</math> schneiden, so wäre die von <math>g_1</math> und <math>g_2</math> aufgespannte Ebene die Lösung, da man für jden Punkt <math>P</math> dieser Ebene Punkte <math>P_1</math> auf <math>g_1</math> und <math>P_2</math> auf <math>g_2</math> finden kann, sodass <math>P</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>P_1P_2</math> ist.

Die Anmerkung in der Aufgabenstellung soll wohl die Beschreibung der Lösung vereinfachen. Wenn ich mal raten müsste, würde ich darauf tippen, dass vielleicht die zu <math>g_1</math> und <math>g_2</math> parallele Ebene, die zu beiden Geraden den gleichen Abstand hat, eine Rolle spielt.

edit: Auf die verschiedenen möglichen Teilverhältnisse hatte ich nicht geachtet. Da hat Kornkreis in seiner Antwort recht.

Cyrix

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.442, eingetragen 2019-05-18 17:37


2019-05-18 17:06 - Kornkreis in Beitrag No. 440 schreibt:
2019-05-18 16:39 - StrgAltEntf in Beitrag No. 439 schreibt:

Ist hier gemeint, dass P der Mittelpunkt der Strecke \(P_1P_2\) ist?


 Nein, es gibt verschiedene mögliche Teilverhältnisse und die entsprechenden Punkte $P$ haben nicht alle die gleichen Bezugspunkte $P_1$ und $P_2$.

Ach so! Für jedes \(\alpha\in[0,1]\) ist also die Menge \(T_\alpha\) aller Punkte \(P\) zu bestimmen, sodass \(P\) für gewisse \(P_1\in g_1,P_2\in g_2\) auf der Strecke \(P_1P_2\) liegt und diese im Verhältnis \(\frac{|PP_1|}{|P_1P_2|}=\alpha\) teilt. Und bei meiner ersten Interpretation wäre dann \(\alpha=\frac12\). Richtig?



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cyrix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.07.2004
Mitteilungen: 3035
Aus: Flensburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.443, eingetragen 2019-05-18 17:45


Jep, so würde ich die Aufgabe auch aufassen, wobei man <math>\alpha</math> wohl besser nur aus dem offenen Intervall wählt, um keine blöden Randfälle betrachten zu müssen.

Cyrix



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.444, eingetragen 2019-05-18 19:12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-05-15 20:36 - Kuestenkind in Beitrag No. 427 schreibt:
Huhu,



ich habe eine Anmerkung so der Lösung von Manuela Kugel zu dieser Aufgabe. Sie schreibt:



Das stimmt so einfach nicht. Zunächst mal ist das Relationszeichen verkehrt herum (der Kosinus ist schließlich konkav auf \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)), zum anderen ist der Kosinus konvex auf \(\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\), d.h. die Jensensche Ungleichung lässt sich nur anwenden, falls es ein spitzwinkliges Dreieck ist. Das steht so aber nicht in der Aufgabe.

Gruß,

Küstenkind

edit: Die 180° in der Klammer sind natürlich auch Blödsinn!

Funfact: Ein ähnlicher Fehler mit der Jensenungleichung ist mir vor ein paar Jahren bei der selben Aufgabe in diesem Thread hier passiert.

Hier noch eine Alternativlösung:
Es seien $a,b,c$ die Längen der Dreiecksseiten, die den Winkeln $\alpha,\beta,\gamma$ gegenüberliegen.
Nach Kosinussatz ist die zu beweisende Ungleichung dann äquivalent zu
\[\newcommand{\term}[3]{\left(\frac{#1^2+#2^2-#3^2}{2#1 #2}\right)^2}
\term abc +\term bca +\term cab \geq \frac 34.
\] Stures Ausmultiplizieren und Vereinfachen zeigt, dass dies äquivalent ist zu
\[a^6+b^6+c^6 +3a^2b^2c^2 \geq a^4b^2+a^2b^4 +b^4c^2+b^2c^4+c^4a^2+c^2a^4\] Mit $x:=a^2, y:=b^2,z:= c^2$ ist das gerade die Ungleichung von Schur:
\[x^3+y^3+z^3 +3xyz \geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x).\] Da $x,y,z >0$ sind, tritt Gleichheit genau dann ein, wenn $x=y=z$, also $a=b=c$ ein, also genau dann, wenn das Dreieck gleichseitig ist.
\(\endgroup\)


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stpolster
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Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.445, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-18 19:40


Danke für die neuen Lösungen.
Ich habe alles eingearbeitet und bei 021223 die fehlerhafte Lösung von Manuela Kugel durch die Nuramons ersetzt.
Es sind jetzt 491 gelöste Aufgaben.

LG Steffen



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StrgAltEntf
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Mitteilungen: 4940
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.446, eingetragen 2019-05-18 23:20


081241

Lösung:
Für Ziffern \(a,b,c,d\in\{0,1,...,9\}\) bezeichnen wir mit \([abcd]\) die (bis zu) vierstellige Zahl \([abcd]:=1000a+100b+10c+d\). Dann ist \(10000z_1-z_1=[a_1a_2a_3a_4]\), also \(z_1=\frac{[a_1a_2a_3a_4]}{9999}\). Entsprechend ist \(z_2=\frac{[a_4a_1a_2a_3]}{9999}\), \(z_3=\frac{[a_3a_4a_1a_2]}{9999}\) und \(z_4=\frac{[a_2a_3a_4a_1]}{9999}\). Diese vier Brüche haben jetzt zwar denselben Nenner, jedoch liegen sie noch nicht unbedingt in gekürzter Form vor.

Die Primfaktorzerlegung der Nenner der vier Brüche lautet \(9999=3^2\cdot11\cdot101\). Also lassen sich hier bestenfalls die Faktoren 3, (oder sogar 9), 11 und 101 kürzen.

Bekanntlich ist eine ganze Zahl genau dann durch 3 (bzw. 9) teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 (bzw. 9) teilbar ist. Die Quersumme der vier Zähler ist jedoch identisch, also lässt sich bei allen vier Brüchen entweder 3 oder 9 oder keins von beiden kürzen.

Ebenfalls ist allgemein bekannt, dass eine ganze Zahl genau dann durch 11 teilbar ist, wenn die alternierende Quersumme der Zahl durch 11 teilbar ist. Die alternierende Quersumme der Zähler lautet hier \(a_1-a_2+a_3-a_4\) bzw. das Negative von diesem Wert. Also gilt auch hier: Entweder sind alle vier Zähler durch 11 teilbar oder keiner der Zähler. Und daher: Entweder lassen sich alle vier Brüche durch 11 kürzen oder keiner.

Schließlich gilt für \(x:=[abcd]\), dass \(x\) genau dann durch \(101\) teilbar ist, wenn \(a=c\) und \(b=d\). (Begründung: Wenn \([abcd]=101y\), dann ist \(y<100\) und damit \(y=10e+f\) für gewisse \(e,f\in\{0,1,...,9\}\) und daher \(101y=[efef]\)). Nach Voraussetzung ist jedoch der Fall, dass \(a_1=a_3\) und \(a_2=a_4\) ausgeschlossen, also ist keiner der vier Zähler durch 101 teilbar und daher bei keinem der vier Brüche der Faktor 101 kürzbar.

Zusammenfassend: Bei keinem der vier Brüche \(z_1,z_2,z_3,z_4\) lässt sich in obiger Darstellung der Faktor 101 kürzen, und die Faktoren 3 (bzw. 9) und 11 lassen sich in allen oder in keinem der Brüche kürzen. Somit besitzen alle vier Brüche in gekürzter Darstellung denselben Nenner.



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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1235
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.447, eingetragen 2019-05-18 23:21


081235 Gegeben  seien  eine  dreiseitige  Pyramide  und  die  ihr  umbeschriebene  Kugel. ̈Uber  diesePyramide und diese Kugel werden die folgenden Aussagen gemacht:
(1)   Eine   Grundkante   der   Pyramide   ist   ebenso   lang   wie   der   Durchmesser   der   Kugel.
(2) Die L ̈angen der beiden anderen Grundkanten verhalten sich wie 3 : 4.
(3) Das Volumen der Pyramide betr ̈agt 40 cm3.
(4) Alle Kanten der Pyramide sind einander paarweise gleich lang.
(5) Die Grundfl ̈ache der Pyramide ist ein rechtwinkliges Dreieck.
(6) Die H ̈ohe der Pyramide ist ebenso lang wie der Radius der Kugel.

Es   sei   bekannt,   dass   von   den   obigen   sechs   Aussagen   eine   Aussage   falsch   und   die ̈ubrigen Aussagen wahr sind.Wie lang sind die Kanten der Pyramide?

Die Aussagen 1) und 4) können nicht beide gleichzeitig erfüllt sein, da es höchstens eine Kante mit Länge des Kugeldurchmessers geben kann.

Eine Pyramide mit der rechtwinkligen Grundfläche mit den Seiten $3;4;5$ und einer Höhe $2,5$, wobei die Spitze über dem Mittelpunkt der Hypotenuse liegt, erfüllt die Bedingungen 1), 2), 5) und 6). Diese hat da Volumen $V=\frac{1}{3}Gh=\frac{1}{3}\frac{3\cdot 4}{2}\cdot 2,5=5$. Streckung um den Faktor 2 ergibt eine Pryramide mit den Volumen 40 und den Grundkanten $6;8;10$. Die anderen Kanten sind gleichlang, da die Spitze direkt über dem Mittelpunkt des Umkreises der Grundfläche liegt und haben die Länge $5\sqrt{2}$. Dieses läßt sich leicht an dem gleichschenkligen und rechtwinkligen Dreick bestehend aus der Hypotenuse und der Spitze ablesen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.445 begonnen.]



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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1235
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.448, eingetragen 2019-05-18 23:54


Aufgabe 091235
Die Ebene $\varepsilon$ eines gegebenen Dreiecks ABC wird in dessen Eckpunkten derart von drei Kugeln berührt, dass die Kugeln außerdem paarweise einander von außen berühren. Ermitteln Sie die Radien der drei Kugeln in Abhängigkeit von den Seitenlängen des gegebenen Dreiecks!

Seien $M_A,M_B,M_C$ und $r_A,r_B,r_C$ die Mittelpunkte bzw. die Radien der Kugeln. Das Viereck $ABM_BM_A$ hat in A und B zwei rechte Winkel und die Seiten $AM_A$ und $BM_B$ sind parallel. Da die Kugel sich berühren hat $M_AM_B$ die Länge $r_A+r_B$. Der Satz des Pythagoras ergibt die Gleichung $|AB|^2 +(|AM_A|-|BM_B|)^2 = |M_AM_B|^2$. Einsetzen und kürzen liefert die Gleichung $c^2=4r_Ar_B$. Zusammen mit den Gleichungen zu den beiden anderen Seiten erhalten wir das Gleichungssystem
\[c^2=4r_Ar_B \\
b^2=4r_Ar_C \\
a^2=4r_Br_C \ \text{.}\] Dieses hat die Lösung $r_A=\frac{bc}{2a},r_B=\frac{ac}{2b}, r_C=\frac{ab}{2c}$



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salomeMe
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Mitteilungen: 449
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.449, eingetragen 2019-05-19 01:06


zu "Aufgabe 140931:
Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl <math>x</math> (wobei <math>x</math> nicht unbedingt einstellig sein soll), die folgende Eigenschaft hat:
Die Zahl <math>83 \cdot x</math> (das Produkt aus 83 und <math>x</math>) hat als Darstellung die Ziffernfolge <math>3x8</math> (d.h., vor die Ziffer oder
Ziffernfolge der Zahl <math>x</math> ist eine 3, hinter die so gebildete Ziffernfolge eine 8 zu setzen)."


Man kann <math>x = z_n z_{n-1...z_1}</math> Ziffer für Ziffer eindeutig bestimmen:
<math>z_1 = 6</math> , da <math>6 \cdot 3</math> auf 8 endet.
...
<math>83 \cdot 41096 = 3410968</math>

Da jede Ziffer von <math>x</math> eindeutig bestimmt ist, denn das Resultat  <math>3 \cdot z_i </math> nimmt für verschiedene Ziffern  <math>z_i</math> verschiedene letzte Ziffern an und da für <math>x = 41096</math>  die Gleichung <math>83 \cdot x = 3x8</math> erstmals erfüllt ist, muss <math>x = 41096</math> die kleinste natürliche Zahl mit der geforderten Eigenschaft sein.





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