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Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
stpolster
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Kein bestimmter Bereich Alte Olympiadeaufgaben
weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1120, eingetragen 2019-07-04


Aufgabe 1 - 141231
In die $64$ Felder eines Schachbretts sind die Zahlen $1, 2, ..., 64$ so eingetragen, dass in der ersten waagerechten Reihe von links nach rechts die Zahlen $1, 2, ..., 8$, in der zweiten waagerechten Reihe von links nach rechts die Zahlen $9, 10, ..., 16$ u.s.w. in dieser Reihenfolge stehen. Jemand soll nun acht Türme so auf Felder des Schachbretts stellen, dass keine zwei von ihnen einander schlagen können. Danach soll er die Summe S der Zahlen bilden, die auf den von den Türmen besetzten Feldern stehen. Es sind alle dabei möglichen Werte von $S$ anzugeben.

Anmerkung: Zwei Türme können einander genau dann schlagen, wenn sie auf einer gemeinsamen waagerechten oder senkrechten Felderreihe stehen.


Geht man von der fertigen Turmaufstellung am Ende aus, so muss dann in jeder Reihe genau einer der $8$ Türme stehen und gleiches gilt auch für die Spalten. Die Nummern der aufgestellten Türme sind daher aufsteigend geordnet von der Form
\[8(k-1)+s_k,\ k=1,2,...,8\] wobei hier die Spaltennummern $s_1,s_2,...,s_8$ die Bedingung
\[ \{s_1,s_2,...,s_8\}=\{1,2,...,8\}\] erfüllen müssen, welche zunächst bei 8 Türmen klarerweise notwendig, aber dann auch hinreichend dafür ist, dass sich keine zwei der Türme gegenseitig schlagen können. Daraus folgt aber wegen der Kommutativität der Addition sofort
\[s_1+s_2+...+s_8=1+2+…+8=\frac{8\cdot 9}2=36\] und somit
\[S=\sum\limits_{k=1}^8 (8(k-1)+s_k)=9\sum\limits_{k=1}^8 k -8\cdot 8=9\cdot 36-64=260\] d.h., $S$ hat unabhängig von der Aufstellung der Türme, sofern diese nur den Bedingungen der Aufgabe hier genügt, stets den gleichen Wert $260$.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1117 begonnen.]



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1121, eingetragen 2019-07-04


Huhu,



das gibt es nicht, da der Flächeninhalt sonst nach dem Satz von Pick rational wäre.

Dazu hatte Eckard ja mal eine Aufgabe gestellt:

LinkProblem 3

Gruß,

Küstenkind



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HyperPlot
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2019-07-04 12:37 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1117 schreibt:




Zu bestimmen ist die Summe $x+y+z$. Es ist
$$y=q\cos30°-z\sin30°$$und
$$x=r\cos30°-z\sin30°$$Bekanntermaßen ist $\sin30°=\tfrac12$ und $\cos30°=\tfrac{\sqrt3}2$. Das ergibt:
$$x+y+z=\tfrac{\sqrt3}2r-\tfrac12z+\tfrac{\sqrt3}2q-\tfrac12z+z=\tfrac{\sqrt3}2(q+r)=h$$wobei $h$ die Höhe des Dreiecks sei.
q.e.d.
Man kann es sich auch durch einfache geometrische Überlegungen klarmachen, wenn man sieht, dass $x+y+z$ gleich der Summe der roten und orangefarbenen Strecke entspricht. Spiegelt man das ganze Dreieck an der Strecke $AB$, wird auch klar, dass die Summe der roten und orangefarbenen Strecke gleich der Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist.




Steffen, ich habe festgestellt, dass Du meine Skizzen, die ich als Bild einfüge, noch einmal abzeichnest. Ich zeichne die Skizzen mit Geogebra. Würde es Dir Arbeit ersparen, wenn ich Dir die Dateien einfach zur Verfügung stelle?
Ciao,Thomas

Mit TikZ:

<math>

% Vorgaben
\pgfmathsetmacro{\a}{5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfmathsetmacro{\q}{3} %
\pgfmathsetmacro{\z}{2} %

% Weitere Gren
\pgfmathsetmacro{\y}{\q*cos(30)-\z*sin(30)} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\c-\q} %
\pgfmathsetmacro{\x}{\r*cos(30)-\z*sin(30)} %

\pgfmathsetmacro{\xs}{\x+\z*sin(30)} %
\pgfmathsetmacro{\ys}{\y+\z*sin(30)} %


\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Annotationen - Dreieck
\coordinate[Punkt={above}{P}] (P) at (\q,\z);

% Senkrechte
\draw[] (P) -- ($(B)!(P)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{X}] (X)  node[midway, above]{$x$};
\draw[] (P) -- ($(A)!(P)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{Y}] (Y) node[midway, above]{$y$};
\draw[] (P) -- ($(A)!(P)!(B)$) coordinate[Punkt={below}{Z}] (Z)  node[midway, left]{$z$};

\draw[green!60!black] (A) -- (Z) node[midway, below]{$q$};
\draw[blue] (B) -- (Z) node[midway, below]{$r$};

% Parallele
\path[overlay] (Z) --+ ($(Y)-(P)$) coordinate(Yss);
\draw[red] (Z) -- ($(Z)!\ys cm!(Yss)$) coordinate(Ys);

\path[overlay] (Z) --+ ($(X)-(P)$) coordinate(Xss);
\draw[red] (Z) -- ($(Z)!\xs cm!(Xss)$) coordinate(Xs);

% Senkrechte
\draw[densely dashed] (P) -- ($(Z)!(P)!(Xs)$) coordinate(P1);
\draw[densely dashed] (P) -- ($(Z)!(P)!(Ys)$) coordinate(P2);

% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.7,
"$60^\circ$",
] {angle =B--A--C};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
"$60^\circ$",
] {angle =C--B--A};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
"$60^\circ$",
] {angle =A--C--B};

\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.8,
"$30^\circ$", double
] {angle =B--Z--Xs};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.7,
"$30^\circ$", double
] {angle =Ys--Z--A};

\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.8,
double,  pic text={$30^\circ$}, pic text options={xshift=4mm},
] {angle =Z--P--P1};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.8,
double,  pic text={$30^\circ$}, pic text options={xshift=-4mm},
] {angle =P2--P--Z};

\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.7,
"$\cdot$",
] {angle =Z--Xs--B};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.7,
"$\cdot$",
] {angle =A--Ys--Z};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.7,
"$\cdot$",
] {angle =P--X--B};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.7,
"$\cdot$",
] {angle =A--Y--P};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.7,
"$\cdot$",
] {angle =P--P1--Z};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.7,
"$\cdot$",
] {angle =Z--P2--P};

%%% Punkte
\foreach \P in {P,X,Y,Z,P1,P2,Xs,Ys}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>

Code
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
% Vorgaben
\pgfmathsetmacro{\a}{5} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{5} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{5} % 
 
\pgfmathsetmacro{\q}{3} % 
\pgfmathsetmacro{\z}{2} % 
 
% Weitere Größen
\pgfmathsetmacro{\y}{\q*cos(30)-\z*sin(30)} % 
\pgfmathsetmacro{\r}{\c-\q} % 
\pgfmathsetmacro{\x}{\r*cos(30)-\z*sin(30)} % 
 
\pgfmathsetmacro{\xs}{\x+\z*sin(30)} % 
\pgfmathsetmacro{\ys}{\y+\z*sin(30)} % 
 
 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
% Annotationen - Dreieck
\coordinate[Punkt={above}{P}] (P) at (\q,\z); 
 
% Senkrechte
\draw[] (P) -- ($(B)!(P)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{X}] (X)  node[midway, above]{$x$};
\draw[] (P) -- ($(A)!(P)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{Y}] (Y) node[midway, above]{$y$};
\draw[] (P) -- ($(A)!(P)!(B)$) coordinate[Punkt={below}{Z}] (Z)  node[midway, left]{$z$};
 
\draw[green!60!black] (A) -- (Z) node[midway, below]{$q$};
\draw[blue] (B) -- (Z) node[midway, below]{$r$};
 
% Parallele
\path[overlay] (Z) --+ ($(Y)-(P)$) coordinate(Yss);
\draw[red] (Z) -- ($(Z)!\ys cm!(Yss)$) coordinate(Ys);
 
\path[overlay] (Z) --+ ($(X)-(P)$) coordinate(Xss);
\draw[red] (Z) -- ($(Z)!\xs cm!(Xss)$) coordinate(Xs);
 
% Senkrechte
\draw[densely dashed] (P) -- ($(Z)!(P)!(Xs)$) coordinate(P1);
\draw[densely dashed] (P) -- ($(Z)!(P)!(Ys)$) coordinate(P2);
 
% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.7,
"$60^\circ$", 
] {angle =B--A--C};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
"$60^\circ$", 
] {angle =C--B--A};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
"$60^\circ$", 
] {angle =A--C--B};
 
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.8,
"$30^\circ$", double
] {angle =B--Z--Xs};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.7,
"$30^\circ$", double
] {angle =Ys--Z--A};
 
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.8,
double,  pic text={$30^\circ$}, pic text options={xshift=4mm}, 
] {angle =Z--P--P1};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.8,
double,  pic text={$30^\circ$}, pic text options={xshift=-4mm}, 
] {angle =P2--P--Z};
 
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.7,
"$\cdot$",
] {angle =Z--Xs--B};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.7,
"$\cdot$",
] {angle =A--Ys--Z};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.7,
"$\cdot$",
] {angle =P--X--B};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.7,
"$\cdot$",
] {angle =A--Y--P};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.7,
"$\cdot$",
] {angle =P--P1--Z};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.7,
"$\cdot$",
] {angle =Z--P2--P};
 
%%% Punkte
\foreach \P in {P,X,Y,Z,P1,P2,Xs,Ys}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\end{tikzpicture}
 
\end{document}




2019-07-04 13:32 - stpolster in Beitrag No. 1118 schreibt:
Allerdings kann man in Geogebra das Bild als tikz-Datei auslagern. Das wäre nicht schlecht.

Ja schon, aber das ist ja bekanntermaßen katastrophal.
Da habe ich ja einen unverlangten Vortrag drüber gehalten: LinkAlte Olympiadeaufgaben
Wenngleich die GeoGebraer das leicht verbessern könnten.

Hier ist eine Vorlage zur Dreieckskonstruktion:
LinkPlanimetrie - Dreieckskonstruktion mit TikZ - Vorlage

Der Rest ist, bis auf Spezialdetails, kopieren und einfügen.



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1123, eingetragen 2019-07-04




Es seien $m$ die Reihenanzahl der beiden kleinen Stapel
und $(m+k)$ die Reihenanzahl für den großen Stapel.
Für die Aufsummierung der Reihen bietet sich die Gaußsche Summenformel an:
\[1+2+3+4...+n=\sum_{k=1}^n k=\frac{n^2+n}{2}\;\;\;(a)\] \[\] \[\frac{(m+k)^2+(m+k)}{2}=2\frac{(m^2+m)}{2}\] \[\] \[(m+k)^2+(m+k)=2(m^2+m)\;\;\;(1)\] \[\] Betrachten wir $(1)$ so wird klar dass die Summe von $(m+k)$ durch $2$ teilbar sein muss.
Somit kommen für $\;(m+k)$ nur die Werte $(3\mod4)$ und $(4\mod 4)$ in Betracht(*).
\[\] Wir schätzen $z$ für $m$ und $(m+k)$ mit $(a)$ ab und erhalten mit
\[1.000\leq z\leq10.000\] \[45\leq m<(m+k)\leq 140\;\;\;(i)\] \[\] Wir setzen nun m=45 und (m+k)=90 in $(1)$ ein und erhalten:
\[\frac{90^2+90}{45^2+45}=\frac{8890}{2070}\approx 4\] \[\] Da mit $(1)$ bekannt ist dass das Verhältnis 2 betragen muss, ist die Folgerung
$(m+k)\approx m\sqrt{2}$.
\[\] \[(m+k)=[m\sqrt{2}]\;\;\;(2)\] Wir erhalten für $m=45: \;(m+k)=[45\sqrt{2}]=64$ und überprüfen dies.
\[\] \[\frac{64^2+64}{45^2+45}=\frac{4160}{2070}\approx 2\] \[\] \[45\leq m\leq 99\;\;\;(ii)\] \[64\leq (m+k)\leq 140\;\;\;(iii)\] \[\] Mit $(*),(ii),(iii)$ reduziert sich die Anzahl der Möglichkeiten für $(n+k)$ auf 29 Werte
und durch einsetzen in $(1)$ erhalten wir mit $m=84$ bzw. $(m+k)=119$ auch eine Lösung.

Das ist alles an den Haaren herbeigezogen und gefällt mir so nicht. Allerdings stecke ich fest und gebe auf. Freue mich auf eine baldige "richtige" Lösung.

LG Olga

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1121 begonnen.]



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1124, eingetragen 2019-07-04


2019-07-04 17:55 - OlgaBarati in Beitrag No. 1123 schreibt:
Das ist alles an den Haaren herbeigezogen und gefällt mir so nicht. Allerdings stecke ich fest und gebe auf. Freue mich auf eine baldige "richtige" Lösung.

Hallo Olga,

wenn du Lust hast, kannst du meinen Beitrag hier zu einer Lösung ausformulieren. Ich habe gerade keine Lust dazu.  razz



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2019-07-02 09:57 - stpolster in Beitrag No. 1080 schreibt:
<math>
\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6,samples=400]
\draw[->] (-5,0) -- (4,0) node[below] {$x$};
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,8) node[left] {$y$};
\draw[blue] plot[domain=-4.5:3.2] (\x,{abs(\x+4)});
\draw[red] plot[domain=-3:3.2] (\x,{abs(\x*\x-2)});
\draw[red] (2,2) node[right] {\small $h(x)=|x^2-2|$};
\draw[blue] (2,6) node[left] {\small $g(x)=|x+4|$};
\foreach \i in {-4,-3,...,3}
{ \draw[fill=black] (\i,0) circle (0.04);
\node[below] at (\i,0) {\small \i};
}
\foreach \i in {1,2,3,4,5,7}
{ \draw[fill=black] (0,\i) circle (0.04);
\node[left] at (0,\i) {\small \i};
}
\draw[fill=white] (-2,2) circle (0.05);
\draw[fill=white] (3,7) circle (0.05);
\node[left] at (-2,2) {\small A(-2;2)};
\node[right] at (3,7) {\small B(3;7)};
\end{tikzpicture}
</math>



Ist das so korrekt:

Aufgabe 3 - 171223

Es sind alle ganzen Zahlen $x$ zu ermitteln, für die
\[
f(x) = \frac{3x^2 + x - 2}{x^2 - 2}
\] ganzzahlig ist.

Lösung:
Durch Polynomdivision erhält man
\[
f(x) = \frac{3x^2 + x - 2}{x^2 - 2} = 3 + \frac{x+4}{x^2-2}
\] Damit kann $f(x)$ nur ganzzahlig sein, wenn der Bruch $\frac{x+4}{x^2-2}$ ganzzahlig ist, d.h. auch $|x+4| \geq |x^2-2|$ gilt. Die Gleichung $|x+4|=|x^2-2|$ hat ihre Lösungen bei $x_1 = -2$ und $x_2 = 3$.\\
Eine grafische Darstellung der Funktionen $g(x) = |x+4|$ und $h(x) = |x^2-1|$ zeigt, dass nur im Intervall $[-2; 3]$ die Beziehung $|x+4| \geq |x^2-2|$ gilt.

<math>
\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6,samples=400]
\draw[->] (-5,0) -- (4,0) node[below] {$x$};
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,8) node[left] {$y$};
\draw[blue] plot[domain=-4.5:3.2] (\x,{abs(\x+4)});
\draw[red] plot[domain=-3:3.2] (\x,{abs(\x*\x-2)});
\draw[red] (2,2) node[right] {\small $h(x)=|x^2-2|$};
\draw[blue] (2,6) node[left] {\small $g(x)=|x+4|$};
\foreach \i in {-4,-3,...,3}
{ \draw[fill=black] (\i,0) circle (0.04);
\node[below] at (\i,0) {\small \i};
}
\foreach \i in {1,2,3,4,5,7}
{ \draw[fill=black] (0,\i) circle (0.04);
\node[left] at (0,\i) {\small \i};
}
\draw[fill=white] (-2,2) circle (0.05);
\draw[fill=white] (3,7) circle (0.05);
\node[left] at (-2,2) {\small A(-2;2)};
\node[right] at (3,7) {\small B(3;7)};
\end{tikzpicture}
</math>

Eine zusätzliche Möglichkeit für ein ganzzahligen Bruch $\frac{x+4}{x^2-2}$ ergibt sich für $x = -4$, da durch ein Zähler = 0 der ganze Bruch 0 wird (Nenner wird nicht 0).
Da $x$ ganzzahlig sein soll, verbleiben für $x$  nur die Möglichkeiten $x \in \lbrace -4,-2,-1,0,1,2,3\rbrace$. Einsetzen von $x$ in die Ausgangsfunktion ergibt
<math>
\begin{tabular}{cc|cc|cc|cc}
$x$ & $f(x)$ & $x$ & $f(x)$ & $x$ & $f(x)$ & $x$ & $f(x)$\\
-4 & 3 & -2 & 4 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & -2 & 2 & 6 & 3 & 4 \\
\end{tabular}
</math>
Da in jedem Fall $f(x)$ ganzzahlig ist, ist die gesuchte Lösungsmenge $x \in \lbrace -4,-2,-1,0,1,2,3\rbrace$.

LG Steffen


Man kann Kurven mit TikZ/pgf umsetzen. Üblicher ist dafür allerdings pgfplots. Vorteil: man muss das KoSy nicht selbst zeichnen und für vieles gibt es Macros.  Nachteil: man muss teils neue Syntax lernen.

Automatische Ermittlung der Schnittpunkte geht hier allerdings zur Zeit nicht; auf dem eigenen PC sollte es so aussehen:




latex
\documentclass[border=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=newest}
 
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usetikzlibrary{intersections, plotmarks}
\begin{document}
 
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,
/pgf/number format/NumberStyle/.style={
fixed, 1000 sep={,}, 
%precision=3,
},
]
\begin{axis}[
title={Titel},
axis lines = middle,
axis line style = {-latex},
samples     = 200,
xmin = -5.5, xmax=5,
%  ymin = 0, ymax=15,
minor tick num=1,
enlarge x limits={abs=1,lower},
enlarge y limits={abs=1},
xlabel={$x$},
xlabel style={anchor=north west, inner sep=1pt},
ylabel={$y$},
ylabel style={anchor=east, inner sep=1pt},
]
\node[below left] at (0,0) {$0$};
 
\addplot[name path=g, blue, domain=-6:4] {abs(\x+4)} node[pos=0, anchor=south,shift={(6mm,2mm)}]{$g(x)=|x+4|$};
\addplot[name path=h, red, domain=-3.3:3.3] {abs(\x^2-2)} node[pos=0, anchor=south]{$h(x)=|x^2-2|$};
 
% Schnittpunkte
\path[name intersections={of=g and h, name=S, total=\t}] [draw, fill=white]
\foreach \s/\Name/\Anker in {1/A/east, 2/B/west}{%
plot [mark=*,mark size=1.75pt] coordinates {(S-\s)}
%(S-\s) circle (2pt)   % geht auch
node[anchor=\Anker] {
\pgfplotspointgetcoordinates{(S-\s)}
$\Name (
\pgfmathprintnumber[NumberStyle]{\pgfkeysvalueof{/data point/x}},
\pgfmathprintnumber[NumberStyle]{\pgfkeysvalueof{/data point/y}}
)$ 
}};
 
 
% Geht auch
%\foreach \s/\Name/\Anker in {1/A/east, 2/B/west}{%%%%%%%%
%\edef\temp{%
%\noexpand\draw[red] plot [mark=*,mark size=1.75pt] coordinates {(S-\s)}  
%node[anchor=\Anker]{
%\noexpand\pgfplotspointgetcoordinates{(S-\s)}  
%$\Name (
%\noexpand\pgfmathprintnumber[NumberStyle]{\pgfkeysvalueof{/data point/x}},
%\noexpand\pgfmathprintnumber[NumberStyle]{\pgfkeysvalueof{/data point/y}}           )$ 
%};%
%}   \temp%
%}%%%%%%%%
\end{axis}
\end{tikzpicture}
 
\end{document}


 



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1126, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-04


2019-07-04 19:57 - HyperPlot in Beitrag No. 1125 schreibt:
Man kann Kurven mit TikZ/pgf umsetzen. Üblicher ist dafür allerdings pgfplots. Vorteil: man muss das KoSy nicht selbst zeichnen und für vieles gibt es Macros.  Nachteil: man muss teils neue Syntax lernen.
Pgfplots habe ich bei den abgetippten Mathematikabituraufgaben verwendet. Es hat seine Vorteile, aber die Darstellungen mit tikz gefallen mir persönlich besser.

LG Steffen



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HyperPlot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1127, eingetragen 2019-07-04


2019-07-04 21:26 - stpolster in Beitrag No. 1126 schreibt:
2019-07-04 19:57 - HyperPlot in Beitrag No. 1125 schreibt:
Man kann Kurven mit TikZ/pgf umsetzen. Üblicher ist dafür allerdings pgfplots. Vorteil: man muss das KoSy nicht selbst zeichnen und für vieles gibt es Macros.  Nachteil: man muss teils neue Syntax lernen.
Pgfplots habe ich bei den abgetippten Mathematikabituraufgaben verwendet. Es hat seine Vorteile, aber die Darstellungen mit tikz gefallen mir persönlich besser.

Die TikZ-Umsetzungen sind insofern erstmal angenehmer, weil man alles selbst erstellt und weniger gegen Autoformate ankämpfen muss.
pgfplots hätte eine Einstellung 'schoolbookaxis' (o.s.ä.) vertragen wie die (praktisch nicht mehr verwendete, da durch pgfplots abgelöst) Bibliothek dataplots.

Die Rechengenauigkeit von pgfplots ist schonmal höher als TikZ, d.h. kompliziertere Funktionen werden nur mit pgfplots richtig dargestellt.

Das hat schon seine Gründe warum das alle verwenden, anstatt bei TikZ zu bleiben.

Allerdings ist auch pgfplots eingeschränkt.
Ein besonderer Vorteil ist, dass gnuplot verwendet werden kann, sofern gnuplot installiert und im Pfad ist:



latex
% arara: pdflatex: {shell: yes}
\documentclass[margin=5mm, tikz]{standalone}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.16}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[]
\newcommand\Curve[1]{2*11000*(1 - 1.40576 - cos(#1) + sqrt(1.40576^2 - sin(#1)^2))}
\newcommand\curve[1]{2\cdot 11000\cdot \left(1 - 1.40576 - \cos(#1) + \sqrt{1.40576^2 - \sin(#1)^2}\right)}
\begin{axis}[
title={$f(x)=\curve{x}$},
xlabel = $x$,
ylabel = $y$, 
xmin = -0.07, 
xmax = 0.07, 
ymin = 0, 
ymax = 14.500,
grid = major,
%smooth,
scaled ticks=false,
tick label style={/pgf/number format/fixed}
]
\addplot[blue,domain = {-0.07:0.07}] plot gnuplot[samples=500,id=curve]{\Curve{x}} node[pos=0.9,anchor=east]{gnuplot: gut};
 
\addplot[red,domain = {-0.07:0.07}, trig format plots=rad]{\Curve{x}} node[pos=0.7,anchor=east]{pgfplots: schlecht};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}






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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1128, eingetragen 2019-07-04


Aufg. 5 - 301235
Man untersuche, ob die durch
\[x_1 =1, \quad x_{n+1}  = \frac1{x_n +1}\quad (n =1,2,3,...)\] definierte Folge $(x_n)$ konvergent ist, und ermittle, wenn das der Fall ist, ihren Grenzwert.


Zunächst werden die Rechnungen hier alle etwas einfacher, wenn wir auch noch das Folgenglied $x_0=0$ dazunehmen, was mit obiger Rekursionsvorschrift offensichtlich kompatibel ist. Da $x_0$ und mit jedem $x_n\ (n\in\mathbb N)$ dann auch $x_{n+1}$ rational ist, können wir hier auch mit dem Ansatz
\[x_n=\frac{a_n}{b_n}\quad (n\in\mathbb N)\] arbeiten, wobei $(a_n)$ und $(b_n)$ hier zwei Folgen natürlicher Zahlen mit ggT$(a_n,b_n)=1$ sind und die folgenden Gleichungen gelten
\[\frac{a_0}{b_0}=\frac 01,\quad \frac{a_1}{b_1}=\frac 11,\quad \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}=\frac1{\frac{a_n}{b_n}+1}=\frac{b_n}{a_n+b_n}\] aus denen wir sofort die einfache Rekursionsbeziehung
\[a_0=0,\quad a_1=1,\quad a_{n+2}=b_{n+1}=b_n+a_n=a_{n+1}+a_n\quad (n\in \mathbb N)\quad (*)\] herleiten können. Die Folge $(b_n)$ ist dann wegen
\[b_n=a_{n+1}\quad (n\in \mathbb N)\quad (**)\] der Folge $(a_n)$ sehr ähnlich und gegenüber ihr einfach nur um eine Position nach hinten verschoben.

Als nächstes bestimmen wir aus der Rekursion (*) eine explizite Formel für die Folge $(a_n)$ mit dem üblichen Ansatz
\[a_n=c_1q_1^n+c_2q_2^n\] wobei $q_1$ und $q_2$ die zwei Lösungen der Gleichung $q^2-q-1=0$, also dann
\[q_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt 5}2\] sind und sich die Werte von $c_1$ und $c_2$ aus
\[c_1q_1^0+c_2q_2^0=a_0=0,\quad c_1q_1+c_2q_2=a_1=1\] zu
\[c_1=-c_2=\frac1{\sqrt 5}\] ergeben, womit also dann letztendlich
\[a_n=\frac1{\sqrt 5}(q_1^n-q_2^n), \quad b_n=a_{n+1}=\frac1{\sqrt 5}(q_1^{n+1}-q_2^{n+1})\Rightarrow x_n=\frac{q_1^n-q_2^n}{q_1^{n+1}-q_2^{n+1}}\quad (n\in\mathbb N)\] gilt. Insbesondere folgt daraus wegen $q_2\approx-0.61$, dass $(q_2^n)$ eine Nullfolge ist und somit die Folge $(x_n)$ konvergiert und zwar mit dem Grenzwert
\[\lim\limits_{n\to \infty} x_n=\frac1{q_1}=\frac{\sqrt 5-1}2\] was also dann alle Fragen hier beantwortet.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1125 begonnen.]



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1129, eingetragen 2019-07-04




Aufgabenteil a)
$$\frac{(4-3)(5-3)(6-3)...(n-3)}{(4-2)(5-2)(6-2)...(n-2)}\cdot\frac{(4+3)(5+3)(6+3)...(n+3)}{(4+2)(5+2)(6+2)...(n+2)}\\
=\frac{1\cdot2\cdot3...(n-3)}{2\cdot3\cdot4...(n-2)}\cdot\frac{7\cdot8\cdot9...(n+3)}{6\cdot7\cdot8...(n+2)}=\frac{n+3}{6(n-2)}>\frac16$$

Aufgabenteil b)
$$\frac{n+3}{6(n-2)}>0,1667$$$$n+3>1,0002(n-2)$$$$0,9996>0,0002\cdot n$$$$n<4998$$Für die Zahl $0,1667$ anstatt $\tfrac16$ ist die Ungleichung nur erfüllt für $n<4998$, weshalb die Ungleichung dann nicht mehr für alle $n$ erfüllt ist.

Ciao,

Thomas

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1127 begonnen.]



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1130, eingetragen 2019-07-05


Ich vermute mal, dass die ursprüngliche Angabe (mit dem Term $2n+n^2$ statt $2^n+n^2$) falsch war, da damit die Aufgabe viel zu einfach wäre. Falls ich damit falsch liege, bitte die nachfolgende Lösung einfach ignorieren!

Aufgabe 6 - 301236
Man beweise: Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen $n$, für die $2^n+n^2$ durch 100 teilbar ist.


Sieht man sich einmal den ersten Teilsummanden $2^n$ für $(n\in\mathbb N)$ an, so ist klar, dass er für $n\ge 2$ stets durch 4 teilbar ist und er mod $25$ wegen ggt$(2,25)=1$ die Periode $20 (=\varphi(25))$ oder einen Teiler davon hat, was dann also für $n\ge2$ auch mod $100$ gilt. Für den zweiten Teilausdruck $n^2$ gilt dagegen
\[\forall k\in\mathbb N:\quad (n+50k)^2=n^2+100nk+2500k^2\equiv n^2 \mod 100\] sodass also für den Geamtausdruck $2^n+n^2$ für $n\ge2$ dann jedenfalls gilt
\[\forall k\in\mathbb N:\quad 2^{n+100k}+(n+100k)^2\equiv 2^n+n^2 \mod 100\quad (*)\] Es genügt somit eine einzige(!) Zahl $n\in\mathbb N$ zu finden, für die $2^n+n^2$ durch $100$ teilbar ist, denn wegen (*) hat man damit automatisch dann auch unendlich viele solcher Zahlen. Und ja, $n=6$ ist z.B. eine solche, wie man wohl am einfachsten durch Probieren - es kommen ja offensichtlich nur gerade $n$ in Frage! -sehr schnell herausfindet.



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stpolster
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2019-07-05 09:34 - weird in Beitrag No. 1130 schreibt:
Ich vermute mal, dass die ursprüngliche Angabe (mit dem Term $2n+n^2$ statt $2^n+n^2$) falsch war, da damit die Aufgabe viel zu einfach wäre. Falls ich damit falsch liege, bitte die nachfolgende Lösung einfach ignorieren!
Deine Änderung ist richtig. Ich hatte wieder einen Schreibfehler.

Danke
Steffen



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1132, eingetragen 2019-07-05





Die Grundfläche des Tetraeders ist ein gleichseitiges Dreieck der Kantenlänge $a$. Die Höhe eines Manteldreiecks sei $h$. Dann ist
$$h=\sqrt{1-\tfrac14a^2}$$und die Oberfläche des Tetraeders ist:
$$F=\tfrac{\sqrt3}4a^2+3\cdot\tfrac12ah=\tfrac{\sqrt3}4a^2+\tfrac32a\sqrt{1-\tfrac14a^2}$$Gemäß Aufgabenstellung gelte:
$$\tfrac{\sqrt3}4a^2+\tfrac32a\sqrt{1-\tfrac14a^2}<\tfrac32\sqrt3$$$$\tfrac12a^2+\sqrt3a\sqrt{1-\tfrac14a^2}<3$$$$3a^2(1-\tfrac14a^2)<(3-\tfrac12a^2)^2$$$$3a^2-\tfrac34a^4<9-3a^2+\tfrac14a^4$$$$0<a^4-6a^2+9$$$$0<(a^2-3)^2$$Diese Gleichung ist erfüllt, wenn $a>\sqrt3$ ist. Es tritt jedoch Gleichheit ein, wenn $a=\sqrt3$ ist, was genau dann der Fall ist, wenn der Tetraeder auf eine Höhe von null zusammenschrumpft, so dass die Oberfläche dann genau zweimal dem gleichseitigen Dreieck mit Kantenlänge $\sqrt3$ entspricht. Strenggenommen gilt die Ungleichung laut Aufgabenstellung also nur, wenn der Punkt $D$ über dem Dreieck $ABC$ liegt, und nicht in der gleichen Ebene.

Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1133, eingetragen 2019-07-05




Zunächst die linke Ungleichung:
$$0\leq\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}-\frac{x+y}2$$$$\frac{x+y}2\leq\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}$$$$\frac{x^2+2xy+y^2}4\leq\frac{x^2+y^2}2$$$$x^2+2xy+y^2\leq2x^2+2y^2$$$$0\leq x^2-2xy+y^2$$$$0\leq(x-y)^2$$Das ist immer erfüllt. Rechte Ungleichung: es ist
$$\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}-\frac{x+y}2\leq\frac{|x-y|}2$$$$\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}\leq\frac{x+y}2+\frac{|x-y|}2=\max(x,y)$$$$\frac{x^2+y^2}2\leq(\max(x,y))^2=\max(x^2,y^2)$$Auch das ist immer erfüllt, da $x^2\leq\max(x^2,y^2)$ und $y^2\leq\max(x^2,y^2)$ ist.
q.e.d.

Ciao,

Thomas




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MontyPythagoras
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Aufgrund der Symmetrie zwischen $a$, $b$ und $c$ reicht es, die Extremwerte nur für eine der drei Variablen zu berechnen. Sie gelten dann für die anderen beiden Variablen in gleicher Weise. Es ist
$$c=2-(a+b)$$Also:
$$ab+(a+b)\left(2-(a+b)\right)=1$$$$ab+2a+2b-a^2-2ab-b^2=1$$$$(1)\qquad2a+2b-a^2-ab-b^2=1$$(Dies ist eine Kegelschnittgleichung, konkret eine Ellipse, wenn man $a$ und $b$ als zwei voneinander abhängige Größen betrachtet und in einem Koordinatensystem darstellt). Die Extremwerte für $a$ erhält man, indem man die Gleichung (1) implizit nach $b$ ableitet und gleich null setzt:
$$2-a-2b=0$$$$b=1-\tfrac12a$$Dies wieder in (1) eingesetzt:
$$2a+2-a-a^2-a(1-\tfrac12a)-1+a-\tfrac14a^2=1$$$$a-\tfrac34a^2=0$$Daraus folgt offenkundig, dass die beiden Extremwerte $a=0$ und $a=\tfrac43$ sind, so dass gilt:
$$0\leq a,b,c\leq\tfrac43$$q.e.d.

Ciao,

Thomas



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1135, eingetragen 2019-07-05

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Alternativlösung zu


Lösung
Nach Voraussetzung ist
\[b+c=2-a\]  und
\[bc=1-a(b+c)=1-a(2-a)=1-2a+a^2=(a-1)^2.\] Nach Vieta hat das quadratische Polynom $x^2-(b+c)x+bc$ die Nullstellen $b,c\in \IR$. Daher ist die Diskriminante dieses Polynom nichtnegativ, d.h. es gilt
\[
\begin{align*}
0&\leq (b+c)^2-4bc \\
&= (2-a)^2-4(a-1)^2 \\
&= (2-a-2(a-1))(2-a+2(a-1)) \\
&= a(4-3a) \\
&= -\frac 13 a\left(a-\frac 43\right).
\end{align*}\] Also folgt, dass $0\leq a \leq \frac 43$.
Die Abschätzungen für $b$ und $c$ folgen analog.

\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1136, eingetragen 2019-07-05

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-07-05 14:12 - Nuramon in Beitrag No. 1135 schreibt:
(...)
Lösung
Nach Voraussetzung ist
\[b+c=2-a\]  und
\[bc=1-a(b+c)=1-a(2-a)=1-2a+a^2=(a-1)^2.\] Nach Vieta hat das quadratische Polynom $x^2-(b+c)x+bc$ die Nullstellen $b,c\in \IR$. Daher ist die Diskriminante dieses Polynom nichtnegativ, d.h. es gilt
\[
\begin{align*}
0&\leq (b+c)^2-4bc \\
&= (2-a)^2-4(a-1)^2 \\
&= (2-a-2(a-1))(2-a+2(a-1)) \\
&= a(4-3a) \\
&= -\frac 13 a\left(a-\frac 43\right).
\end{align*}\] Also folgt, dass $0\leq a \leq \frac 43$.
Die Abschätzungen für $b$ und $c$ folgen analog.


Auch schön. Stellt man die Abhängigkeiten zwischen $a$, $b$ und $c$ in einem 3D-Koordinatensystem dar, ergibt sich ein Kreis, den man zum Beispiel wie folgt parametrisieren kann:
$$\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\tfrac23\\\tfrac23\\\tfrac23\end{array}\right)+\frac{\sqrt3}3\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)\cos\varphi+\frac13\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\2\end{array}\right)\sin\varphi$$  smile

Ciao,

Thomas
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1137, eingetragen 2019-07-05


@Nuramon

Schön!  wink

Man kann aber an einer Stelle - ohne Berufung auf Vieta - auch einfacher so argumentieren:


$0\le(b-c)^2=(b+c)^2-4bc=...$


Was mir noch aufgefallen ist: Man sieht ja sofort, dass die Punkte $(a,b,c)$ auf dem Kreis liegen müssen, den die Ebene $x+y+z=2$ aus der Kugel um den Ursprung mit Radius $\sqrt 2$ ausschneidet, ohne dass ich jetzt daraus sofort die gesuchten Abschätzungen ablesen könnte, also in einfacherer Weise, als es hier schon geschehen ist.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1138, eingetragen 2019-07-05

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-07-05 15:41 - weird in Beitrag No. 1137 schreibt:
@Nuramon

Schön!  wink

Man kann aber an einer Stelle - ohne Berufung auf Vieta - auch einfacher so argumentieren:


$0\le(b-c)^2=(b+c)^2-4bc=...$

Das ist sicher richtig, aber finde ich an der Stelle unmotiviert, da diese Gleichung irgendwie vom Himmel fällt.
Oder hast du eine Heuristik dafür, die empfiehlt den Term $(b-c)^2$ näher zu betrachten? (Na gut, man könnte argumentieren, dass das die Diskriminante ist, aber in der Form ist sie Schülern wohl eher nicht bekannt und dann landet man doch wieder bei dem quadratischen Polynom...)
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1139, eingetragen 2019-07-05

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-07-05 15:54 - Nuramon in Beitrag No. 1138 schreibt:
Das ist sicher richtig, aber finde ich an der Stelle unmotiviert, da diese Gleichung irgendwie vom Himmel fällt.
Oder hast du eine Heuristik dafür, die empfiehlt den Term $(b-c)^2$ näher zu betrachten? (Na gut, man könnte argumentieren, dass das die Diskriminante ist, aber in der Form ist sie Schülern wohl eher nicht bekannt und dann landet man doch wieder bei dem quadratischen Polynom...)

Ich finde gerade nicht, dass dieses Argument hier vom Himmel fällt und es wird an der Mathematik auch in vielen anderen bedeutsamen Beweisen verwendet (s. etwa hier).

Aber unabhängig davon kann man sich fragen, ob es bei der Lösung von Aufgaben zur Mathematik-Olympiade überhaupt sowas wie eine "Motivation" geben muss? Meine eigene Antwort darauf wäre ein klares Nein, da es eben gerade die Schwierigkeit und auch den Reiz von solchen Aufgaben ausmacht, dass ein erster Ansatz oft schwer zu finden ist, da eben die Motivation, die Aufgabe unter diesem Blickwinkel zu betrachten oft gänzlich fehlt. Aber ich lass die Frage mal so stehen.
\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1140, eingetragen 2019-07-05




Die drei Seitenlängen seien $a$, $b$ und $c$ mit $0 < a\leq b\leq c$. Die kürzeste Seitenlänge ist $a=b=1$.

Wenn $a$ ungerade ist, ist $b+c$ gerade. Es gilt dann $b=a,a+1,...,\frac{1993-a}2$, denn wenn $b=c=\frac{1993-a}2$ ist, würde mit weiterer Erhöhung $b>c$ werden und es würden Dreiecke erzeugt, die schon vorgekommen sind. Für alle ungeraden $a$ gibt es also $\frac{1993-a}2-a+1$ Dreiecke. Sei $A_a$ die Anzahl der Dreiecke für ein gegebenes $a=2m+1$ mit $m\geq0$, dann ist
$$A_{2m+1}=\frac{1993-2m-1}2-2m-1+1=996-3m$$
Wenn $a$ gerade ist, ist $b+c$ ungerade. Dann gilt $b=a,a+1,...,\frac{1992-a}2$, und die Anzahl der Dreiecke ist $\frac{1992-a}2-a+1$. Für das letzte gezählte Dreieck gilt dann $b=c-1$. Ähnlich wie oben sei nun $a=2m$ mit $m\geq1$, und es gilt:
$$A_{2m}=\frac{1992-2m}2-2m+1=997-3m$$
Die Obergrenze für die Seitenlänge $a$ ist $a=664$, denn dann ist $b=664$ und $c=665$. Bei den ungeraden $a$ muss daher gelten $0\leq m\leq331$, während bei den geraden $1\leq m\leq332$ gilt. Damit erhalten wir als Gesamtanzahl:
$$A=\sum_{m=0}^{331}A_{2m+1}+\sum_{m=1}^{332}A_{2m}$$$$A=\sum_{m=0}^{331}(996-3m)+\sum_{m=1}^{332}(997-3m)$$Die erste Summe ist die Summe der Zahlen $996,993,990,...,9,6,3$. Daher kann man sie auch darstellen als
$$\sum_{m=0}^{331}(996-3m)=\sum_{m=1}^{332}3m$$Somit folgt:
$$A=\sum_{m=1}^{332}3m+\sum_{m=1}^{332}(997-3m)=\sum_{m=1}^{332}997=332\cdot997=332000-996$$$$A=331004$$Es gibt insgesamt 331004 nicht zueinander kongruente Dreiecke.

Ciao,

Thomas



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Nuramon
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Ich finde Motivation gerade bei Wettbewerbsaufgaben schon sehr wichtig und will das etwas erläutern.

Mit Motivation meine ich hier: Wenn man den Beweis liest, soll man sich denken "Das ist total natürlich, wieso bin ich da nicht selbst darauf gekommen?" oder zumindest "Den Trick merke ich mir, denn der könnte bei ähnlichen Aufgaben ja noch einmal funktionieren."
Bei einer unmotivierten Lösung denkt man sich eher "Ok, das funktioniert zwar, aber es ist überhaupt nicht nachvollziehbar, wie man auf die Lösung kommt."
Anders gesagt: Wenn ein Schüler sich auf einen Mathematikwettbewerb vorbereitet und sich deshalb die Lösung angesehen hat,dann sollte er danach nicht nur wissen, wie man die spezielle Aufgabe löst, sondern etwas gelernt haben, das ihm beim nächsten Wettbewerb helfen könnte.

MontyPythagoras Lösung ist in der Hinsicht sehr gut. Sein Verfahren ist wahrscheinlich das natürlichste und man kann es in ähnlicher Weise oft anwenden. (Etwas überspitzt könnte man die Lösung auch als "Auf diese Weise kann man es einfach nachrechnen" bezeichnen.)

Mein Gedankengang beim Lösen der Aufgabe war ein bisschen anders:
1. Wir kennen die Terme $a+b+c$ und $ab+bc+ca$, da kann man bestimmt etwas mit Vieta machen: $a,b,c$ sind die Nullstellen von $p(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc = x(x-1)^2-abc$.
2. Auf den zweiten Blick bringt das doch nicht so viel, denn ein Polynom vom Grad drei hat immer eine reelle Nullstelle.
3. Aber wir wollen ja sogar dass alle drei Nullstellen reell sind. Wenn wir aus $p(x)$ einen Faktor $x-a$ abspalten, dann sollte der Quotient ein quadratisches Polynom mit zwei reellen Nullstellen sein. Letzteres kann man mit der Diskriminante testen.


2019-07-05 16:22 - weird in Beitrag No. 1139 schreibt:
2019-07-05 15:54 - Nuramon in Beitrag No. 1138 schreibt:
Das ist sicher richtig, aber finde ich an der Stelle unmotiviert, da diese Gleichung irgendwie vom Himmel fällt.
Oder hast du eine Heuristik dafür, die empfiehlt den Term $(b-c)^2$ näher zu betrachten? (Na gut, man könnte argumentieren, dass das die Diskriminante ist, aber in der Form ist sie Schülern wohl eher nicht bekannt und dann landet man doch wieder bei dem quadratischen Polynom...)

Ich finde gerade nicht, dass dieses Argument hier vom Himmel fällt und es wird an der Mathematik auch in vielen anderen bedeutsamen Beweisen verwendet (s. etwa hier).
Dass das Argument "Quadrate sind positiv" in vielen Beweisen vorkommt habe ich ja auch gar nicht bestritten. Mir geht es darum, dass unklar ist, warum man genau dieses Quadrat betrachten sollte. Die Idee hinter dem Beweis kann ja wohl nicht sein, alle möglichen Terme zu quadrieren, bis man zufällig einen findet, der klappt.

 

 

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1139 begonnen.]
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2019-07-05 11:03 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1132 schreibt:





Die Grundfläche des Tetraeders ist ein gleichseitiges Dreieck der Kantenlänge $a$. Die Höhe eines Manteldreiecks sei $h$. Dann ist
$$h=\sqrt{1-\tfrac14a^2}$$und die Oberfläche des Tetraeders ist:
$$F=\tfrac{\sqrt3}4a^2+3\cdot\tfrac12ah=\tfrac{\sqrt3}4a^2+\tfrac32a\sqrt{1-\tfrac14a^2}$$Gemäß Aufgabenstellung gelte:
$$\tfrac{\sqrt3}4a^2+\tfrac32a\sqrt{1-\tfrac14a^2}<\tfrac32\sqrt3$$$$\tfrac12a^2+\sqrt3a\sqrt{1-\tfrac14a^2}<3$$$$3a^2(1-\tfrac14a^2)<(3-\tfrac12a^2)^2$$$$3a^2-\tfrac34a^4<9-3a^2+\tfrac14a^4$$$$0<a^4-6a^2+9$$$$0<(a^2-3)^2$$Diese Gleichung ist erfüllt, wenn $a>\sqrt3$ ist. Es tritt jedoch Gleichheit ein, wenn $a=\sqrt3$ ist, was genau dann der Fall ist, wenn der Tetraeder auf eine Höhe von null zusammenschrumpft, so dass die Oberfläche dann genau zweimal dem gleichseitigen Dreieck mit Kantenlänge $\sqrt3$ entspricht. Strenggenommen gilt die Ungleichung laut Aufgabenstellung also nur, wenn der Punkt $D$ über dem Dreieck $ABC$ liegt, und nicht in der gleichen Ebene.

Ciao,

Thomas



Kannst Du bitte das Koordinatensystem beschreiben für die verwendeten x-,y-,z-Achsen im Bezug auf die normalen Achsen x0 und y0?




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2019-07-05 17:31 - HyperPlot in Beitrag No. 1142 schreibt:

Kannst Du bitte das Koordinatensystem beschreiben für die verwendeten x-,y-,z-Achsen im Bezug auf die normalen Achsen x0 und y0?

Klar kann ich das Koordinatensystem beschreiben. Meistens sind es drei Linien, die am selben Punkt beginnen (diesen Punkt nennt man Ursprung). Am Ende der Linien sind meist kleine Pfeilspitzen und neben den Pfeilspitzen befinden sich oft die Buchstaben, die die Achsen bezeichnen.

 biggrin

Nee, im Ernst. Welches Koordinatensystem? Ich habe das in einer 2D-Grafik in Geogebra Frei-nach-Schnauze hinskizziert, so wie man es auch mit dem Stift auf Papier macht. Ich benutze doch gar kein Koordinatensystem für diese Herleitung. Oder verstehe ich Deine Frage nicht? (Wenn es ein orthogonales K-System sein soll, können jedenfalls nicht x und y entlang der zwei Dreiecksseiten zeigen, denn das ist ein gleichseitiges Dreieck.)

Ciao,

Thomas



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2019-07-05 17:31 - HyperPlot in Beitrag No. 1142 schreibt:
2019-07-05 11:03 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1132 schreibt:





Die Grundfläche des Tetraeders ist ein gleichseitiges Dreieck der Kantenlänge $a$. Die Höhe eines Manteldreiecks sei $h$. Dann ist
$$h=\sqrt{1-\tfrac14a^2}$$und die Oberfläche des Tetraeders ist:
$$F=\tfrac{\sqrt3}4a^2+3\cdot\tfrac12ah=\tfrac{\sqrt3}4a^2+\tfrac32a\sqrt{1-\tfrac14a^2}$$Gemäß Aufgabenstellung gelte:
$$\tfrac{\sqrt3}4a^2+\tfrac32a\sqrt{1-\tfrac14a^2}<\tfrac32\sqrt3$$$$\tfrac12a^2+\sqrt3a\sqrt{1-\tfrac14a^2}<3$$$$3a^2(1-\tfrac14a^2)<(3-\tfrac12a^2)^2$$$$3a^2-\tfrac34a^4<9-3a^2+\tfrac14a^4$$$$0<a^4-6a^2+9$$$$0<(a^2-3)^2$$Diese Gleichung ist erfüllt, wenn $a>\sqrt3$ ist. Es tritt jedoch Gleichheit ein, wenn $a=\sqrt3$ ist, was genau dann der Fall ist, wenn der Tetraeder auf eine Höhe von null zusammenschrumpft, so dass die Oberfläche dann genau zweimal dem gleichseitigen Dreieck mit Kantenlänge $\sqrt3$ entspricht. Strenggenommen gilt die Ungleichung laut Aufgabenstellung also nur, wenn der Punkt $D$ über dem Dreieck $ABC$ liegt, und nicht in der gleichen Ebene.

Ciao,

Thomas



Kannst Du bitte das Koordinatensystem beschreiben für die verwendeten x-,y-,z-Achsen im Bezug auf die normalen Achsen x0 und y0?



2019-07-05 18:33 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1143 schreibt:
2019-07-05 17:31 - HyperPlot in Beitrag No. 1142 schreibt:

Kannst Du bitte das Koordinatensystem beschreiben für die verwendeten x-,y-,z-Achsen im Bezug auf die normalen Achsen x0 und y0?

Klar kann ich das Koordinatensystem beschreiben. Meistens sind es drei Linien, die am selben Punkt beginnen (diesen Punkt nennt man Ursprung). Am Ende der Linien sind meist kleine Pfeilspitzen und neben den Pfeilspitzen befinden sich oft die Buchstaben, die die Achsen bezeichnen.

 :-D

Nee, im Ernst. Welches Koordinatensystem? Ich habe das in einer 2D-Grafik in Geogebra Frei-nach-Schnauze hinskizziert, so wie man es auch mit dem Stift auf Papier macht. Ich benutze doch gar kein Koordinatensystem für diese Herleitung. Oder verstehe ich Deine Frage nicht? (Wenn es ein orthogonales K-System sein soll, können jedenfalls nicht x und y entlang der zwei Dreiecksseiten zeigen, denn das ist ein gleichseitiges Dreieck.)

Ja keine Ahnung, meine Einheitsvektoren sind jetzt
\begin{tikzpicture}[
z={(0,1)},
y={({0.9*cos(10)},{0.9*sin(10)})},
x={({cos(16.5)},{-sin(16.5)})},
]
Die Syntax dürfte klar sein. Mir allerdings nicht:
z.B. weiß ich nicht, wieso hier z vor x und y kommen muss.


<math>
\pgfmathsetmacro{\a}{0.85}

\pgfmathsetmacro{\m}{\a*sqrt(3)/2}
\pgfmathsetmacro{\H}{sqrt(1-\m^2/4)} %  Hhe
\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(\H^2-\m^2/4)} %  Mantellinie


\begin{tikzpicture}[scale=5.7,
font=\footnotesize,
z={(0,1)},
y={({0.9*cos(10)},{0.9*sin(10)})},
x={({cos(16.5)},{-sin(16.5)})},
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]


\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\a,0,0);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (0,\a,0);
%\coordinate[label=below:$D$] (D) at (0,0,\a);

\draw[fill=lightgray!50] (A) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[] (A) -- (B) node[below, near start]{$a$};
\path[] (B) -- (C) node[right, near start]{$a$};
\path[] (A) -- (C) node[above, near start]{$a$};


\path[] (A) -- ($(B)!0.5!(C)$) coordinate(Ha);
\path[] (B) -- ($(A)!0.5!(C)$)  coordinate(Hb);
\coordinate[] (M) at (intersection of A--Ha and B--Hb);
\pgfmathsetmacro{\k}{0.05*\m}
\draw[] ($(M)!-\k cm!(C)$) -- ($(M)!\k cm!(C)$);
\draw[] ($(M)!-\k cm!(B)$) -- ($(M)!\k cm!(B)$);

\path[] (M) --+ (0,0,\H) coordinate[label=$S$] (S);
\draw[] (A) -- (S) node[midway, left]{$1$};
\draw[] (B) -- (S) node[midway, right]{$1$};
\draw[] (C) -- (S) node[midway, right]{$1$};

\draw[densely dashed] (S) -- (M) node[near end, right]{$H$};
\draw[] (S) -- ($(A)!0.5!(B)$) node[midway, left]{$h$} coordinate(Mc);

\pgfmathsetmacro{\b}{0.3*\a}
\begin{scope}[-latex, shift={(0,0,\H-\b)}
]
\foreach \P/\s/\Pos in {(\b,0,0)/x/below, (0,\b,0)/y/above, (0,0,\b)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}

% Punkte
\foreach \P in {A,B,C,Mc,S}
\draw[fill=black!1, scale=1/5.7] (\P) circle (1.75pt);

%\node[anchor=north west, align=left, yshift=-1cm, draw] at (A){
%a = \a cm \\
%m  = \m cm \\
%H  = \H cm \\
%h  = \h cm
%};

\end{tikzpicture}

</math>

latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
 
\begin{document}
 
\pgfmathsetmacro{\a}{0.85}
 
\pgfmathsetmacro{\m}{\a*sqrt(3)/2}
\pgfmathsetmacro{\H}{sqrt(1-\m^2/4)} %  Höhe
\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(\H^2-\m^2/4)} %  Mantellinie
 
 
\begin{tikzpicture}[scale=5.7,
font=\footnotesize,
z={(0,1)},
y={({0.9*cos(10)},{0.9*sin(10)})},
x={({cos(16.5)},{-sin(16.5)})},
]
 
 
\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0,0); 
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\a,0,0); 
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (0,\a,0); 
%\coordinate[label=below:$D$] (D) at (0,0,\a); 
 
\draw[fill=lightgray!50] (A) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[] (A) -- (B) node[below, near start]{$a$};
\path[] (B) -- (C) node[right, near start]{$a$};
\path[] (A) -- (C) node[above, near start]{$a$};
 
 
\path[] (A) -- ($(B)!0.5!(C)$) coordinate(Ha);
\path[] (B) -- ($(A)!0.5!(C)$)  coordinate(Hb);
\coordinate[] (M) at (intersection of A--Ha and B--Hb); 
\pgfmathsetmacro{\k}{0.05*\m}
\draw[] ($(M)!-\k cm!(C)$) -- ($(M)!\k cm!(C)$); 
\draw[] ($(M)!-\k cm!(B)$) -- ($(M)!\k cm!(B)$); 
 
\path[] (M) --+ (0,0,\H) coordinate[label=$S$] (S);
\draw[] (A) -- (S) node[midway, left]{$1$};  
\draw[] (B) -- (S) node[midway, right]{$1$};  
\draw[] (C) -- (S) node[midway, right]{$1$};  
 
\draw[densely dashed] (S) -- (M) node[near end, right]{$H$};  
\draw[] (S) -- ($(A)!0.5!(B)$) node[midway, left]{$h$} coordinate(Mc);  
 
\pgfmathsetmacro{\b}{0.3*\a}
\begin{scope}[-latex, shift={(0,0,\H-\b)}
]
\foreach \P/\s/\Pos in {(\b,0,0)/x/below, (0,\b,0)/y/above, (0,0,\b)/z/right} 
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
 
% Punkte
\foreach \P in {A,B,C,Mc,S}
\draw[fill=black!1, scale=1/5.7] (\P) circle (1.75pt);
 
%\node[anchor=north west, align=left, yshift=-1cm, draw] at (A){
%a = \a cm \\
%m  = \m cm \\
%H  = \H cm \\
%h  = \h cm 
%};
 
\end{tikzpicture}
 
\end{document}
 






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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1145, eingetragen 2019-07-05


... ich habe das wirklich nur nach Gefühl und Optik skizziert, mehr nicht. (Reicht doch auch für diesen Zweck.)

Ciao,

Thomas



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querin
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2019-07-05 16:36 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1140 schreibt:

...
Es gibt insgesamt 331004 nicht zueinander kongruente Dreiecke.

Ich glaube, du hast die Dreiecksungleichung $a+b>c$ nicht berücksichtigt. Es gibt deutlich weniger solche Dreiecke.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1147, eingetragen 2019-07-05


2019-07-05 20:45 - querin in Beitrag No. 1146 schreibt:
2019-07-05 16:36 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1140 schreibt:

...
Es gibt insgesamt 331004 nicht zueinander kongruente Dreiecke.

Ich glaube, du hast die Dreiecksungleichung $a+b>c$ nicht berücksichtigt. Es gibt deutlich weniger solche Dreiecke.

Hallo querin,
inwiefern würde das die Zählung der Dreiecke beeinflussen? Ich habe die Dreiecke nur "sortiert". Ich wüsste nicht, welches Dreieck ich doppelt gezählt haben sollte. Sag mir ein Beispiel.

Ciao,

Thomas



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1148, eingetragen 2019-07-05


(2019-07-05 20:55 - MontyPythagoras in <a Hallo querin,
inwiefern würde das die Zählung der Dreiecke beeinflussen? Ich habe die Dreiecke nur "sortiert". Ich wüsste nicht, welches Dreieck ich doppelt gezählt haben sollte. Sag mir ein Beispiel.

Ciao,

Thomas

Hallo Thomas,

du zählst nichts doppelt. Aber z.B. ein Dreieck mit $a=b=1$ und Umfang 1993 gibt es nicht.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1149, eingetragen 2019-07-05


Hallo querin,
jetzt weiß ich, was Du meinst, und Du hast recht. Dadurch werden es tatsächlich erheblich weniger. Dann muss ich die Aufgabe noch einmal überarbeiten...  smile

Ciao,

Thomas



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1150, eingetragen 2019-07-05

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
@Nuramon

Ich hätte unendlich viel zu dem Thema zu sagen, aber ich glaube, es ist hier einfach nicht der richtige Platz dafür. Belassen wir es einfach dabei, dass es für dich "vom Himmel fällt", wenn man zur Begründung von  $0\le (b+c)^2-4bc$ einfach $0\le(b-c)^2=(b+c)^2-4bc$ anführt, während ich hier noch keinen darüber hinaus gehenden Erklärungsbedarf oder gar die Notwendigkeit einer "Motivation" sehe.   wink

Ich möchte stattdessen lieber selber noch eine Alternativlösung von

Aufgabe 4 - 321244
Man beweise: Wenn reelle Zahlen $a,b,c$ das Gleichungssystem \[a+b+c =2 ; \quad ab+ac+bc =1\] erfüllen, so gilt
\[0≤ a ≤ \frac43;\quad  0≤ b ≤ \frac43; 0≤ c ≤ \frac43 \]

präsentieren, da in meinen Augen vor allem der Punkt, dass die Werte $a,b,c\ge0$ sind, in euren Lösungen etwas zu kurz kommt. Vielleicht habe aber da auch einfach nur etwas übersehen.


Zunächst folgt aus den gegebenen Gleichungen
\[a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=4-2=2\] sowie
\[2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=(2-c)^2-(2-c^2)=2(c^2-2c+1)=2(c-1)^2\] insgesamt also
\[ab=(c-1)^2\quad \text{und analog}\quad ac=(b-1)^2,\ bc=(a-1)^2\] Da damit $a,b,c$ nicht ein unterschiedliches Vorzeichen haben können und andererseits auch $a+b+c=2>0$ gilt, folgt daraus zunächst einmal die Abschätzung
\[a,b,c\ge 0\] von $a,b,c$ nach unten. Die entsprechende Abschätzung nach oben ergibt sich schließlich aus
\[0\le(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=(2-c)^2-4(c-1)^2=-3c^2+4c=c(4-3c)\] Da wir nun schon wissen, dass $c\ge 0$ ist, gilt damit auch $4-3c\ge0$, also $c\le \frac 43$, und somit insgesamt und zusammen mit den anlogen Beziehungen für $a$ und $b$ tatsächlich
\[a,b,c\in\left[0,\frac43\right]\] wie behauptet.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1143 begonnen.]
\(\endgroup\)


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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1151, eingetragen 2019-07-05



Es gibt hier zwei Start-Szenarien, einmal mit Regel (1) ESR und einmal mit Regel (2) ESSE welche sich mit den Regeln (2),(3),(4) beliebig fortsetzen lassen.
z.B. ES ESSE ESSEESSE   ESSSSE    ERRRSE   ERSE.
z.B. ESR ESRRSE ESSE
Entscheidend ist jedoch, jedes nachfolgende Wort beginnt stets mit E und endet mit E.
Die zwischen E....E liegenden Buchstaben S sind mit den gegebenen Regeln nicht vollständig zu eleminieren, da bedingt durch die Regeln (2) und (4) S stets aus 2er-Potenzen besteht und daher mit Regel (3) nicht vollständig zu eleminieren ist.
 
Sei \(2^n\) der Anzahl der Buchstaben S die durch
Anwendung der Regeln (2),(4) gebildet wird und \(2^m\cdot 3\) die Anzahl der Buchstaben S die durch Regel (3) eliminiert werden.
 
\[n,m \in \mathbb{N_0}\] \[2^n-2^m*3\neq0\] \[2^n\neq 2^m\cdot3\] \[2^{n-m}\neq 3\]

Man gelangt also nicht zu E, EE bzw. EEEE woraus über ERRR dann ER werden könnte.
Es ist nicht möglich mit den gegebenen Regeln aus dem Wort ES das Wort  ER zu erhalten.


LG Olga

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1149 begonnen.]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1152, eingetragen 2019-07-05


Moin Olga,

(2019-07-05 21:19 - OlgaBarati in <a
Entscheidend ist jedoch, jedes nachfolgende Wort beginnt stets mit E und endet mit E und es sind die zwischen E.B..E liegenden Buchstaben B (insbesondere das S) mit den gegebenen Regeln nicht vollständig zu eleminieren.

kannst du den Satz etwas weiter ausführen, warum das nicht geht?

Cyrix



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1153, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-05


Hallo,
das war wieder ein erfolgreicher Tag. Nun sind es 1289 gelöste Aufgaben.

Danke
Steffen

PS: Wie schon angemerkt, werde ich vielleicht/wahrscheinlich die PDF-Datei ab morgen nicht regelmäßig aktualisieren können. Wenn mein Netz wieder richtig läuft, hole ich es sofort nach. Versprochen.
Meine Internetseite läuft stabil weiter, d.h. die im Moment aktuelle Datei kann weiterhin abgerufen werden.



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1154, eingetragen 2019-07-05



a) 9 schwarze Würfel
Untere  Ebene
S W W
W S W
W W S

Mittlere  Ebene
W S W
W W S
S W W

Obere Ebene
W W S
S W W
W S W

b) 10 schwarze Würfel
Untere und obere Ebene wie a)
Mittlere Ebene
W S W
W S S
S W W


LG Olga

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1151 begonnen.]



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1155, eingetragen 2019-07-05


Aufgabe 3 - 331223
Man ermittle alle diejenigen Paare $(m,n)$ positiver ganzer Zahlen $m,n$, für die $1994^m −1993^n$ eine Quadratzahl ist.


Sei
\[1994^m-1993^n=k^2 \quad (m,n\in\mathbb N^*,\ k\in \mathbb N)\ \quad (*)\] Indem wir diese Gleichung mod $4$ betrachten, wird daraus die Kongruenz
\[2^m-1\equiv k^2 \mod 4\] Hier liegt für $m>1$ die linke Seite der Kongruenz in der Restklasse $3$ mod 4, die rechte aber in der Restklasse von $0$ oder $1$ mod $4$, was also dann nur den Schluss zulässt, dass $m=1$ sein muss. In diesem Fall ist aber die linke Seite von (*) für $n>1$ negativ und daher sicher keine Quadratzahl. Für die verbleibende Möglichkeit $n=1$ erhält man dagegen \[1994-1993=1\] also dann trivialerweise eine Quadratzahl und damit ist $(m,n)=(1,1)$ dann auch das einzige Paar von positiven ganzen Zahlen, für welches dies gilt.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1152 begonnen.]



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1156, eingetragen 2019-07-05


@OlgaBarati, füge doch bitte (wasserdichte) Begründungen hinzu, sowie Erklärungen der Variablen (so hast du im Beitrag 1100 $l$ etc. nicht definiert).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1154 begonnen.]



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1157, eingetragen 2019-07-05

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)


Bei der Aufgabe sehe ich momentan keine Lösung mit Schulmathematik.
Hier meine Überlegungen dazu:

Für festes $k\in\{1,2,3,4,5\}$ bekommt leicht Rekursionen für die Anzahl der Wörter der Länge $n$, die mit dem Buchstaben $k$ enden. Z.B. ist die Anzahl der Wörter der Länge $n+1$, die auf $2$ enden, gleich der Summe der Anzahlen der Wörter der Länge $n$, die auf $1$ bzw. auf $3$ enden.

Dadurch bekommt man folgende Matrixdarstellung für die in der Aufgabe gesuchte Anzahl $A_n$ der Wörter der Länge $n$:
\[
A_n = \begin{pmatrix}1&1&1&1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\
1&0&1&0&0\\
0&1&0&1&0\\
0&0&1&0&1\\
0&0&0&1&0
\end{pmatrix}^{n-1}
\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}
\] Mit ein bisschen Theorie (siehe Tridiagonal-Toeplitz-Matrix oder auch in diesem Thread hier) kann man das ganze auch expliziter darstellen als
\[A_n = \begin{cases}5 &\text{falls }n=1\\
8\cdot 3^{m-1}&\text{falls }n=2m\\
14\cdot 3^{m-1}&\text{falls }n=2m+1, n\not=1\end{cases}\]
Das suggeriert jetzt, dass man wohl irgendwie zeigen kann, dass $A_{n+2}=3A_n$ für $n>1$. Daraus könnte man dann eine für Schüler geeignete Lösung basteln.
Sieht jemand eine einfache Begründung für diese Rekursion?



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1153 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1158, eingetragen 2019-07-05


Moin,

ich würde hier die Folgen <math>A_{i,n}</math>:= "Folgen, aus <math>n</math> Buchstaben, die mit <math>a_i</math> enden" betrachten. Da sollten sich relativ einfache Rekursionsbedingungen ergeben.

edit:

Es ist dann
<math>A_{1,n+2}=A_{2,n+1}=A_{1,n}+A_{3,n}</math>,
<math>A_{2,n+2}=A_{1,n+1}+A_{3,n+1}=2A_{2,n}+A_{4,n}</math>,
<math>A_{3,n+2}=A_{2,n+1}+A_{4,n+1}=A_{1,n}+2A_{3,n}+A_{5,n}</math>,
<math>A_{4,n+2}=A_{3,n+1}+A_{5,n+1}=A_{2,n}+2A_{4,n}</math> und
<math>A_{5,n+2}=A_{4,n+1}=A_{3,n}+A_{5,n}</math>.

Mit <math>A_n:=A_{1,n}+\dots+A_{5,n}</math> ist dann
<math>A_{n+2}=2A_{1,n}+3A_{2,n}+4A_{3,n}+3A_{4,n}+2A_{5,n}=3A_n-A_{1,n}-A_{5,n}+A_{3,n}</math>

Weiterhin gilt
<math>A_{n+1}=A_{1,n}+2A_{2,n}+2A_{3,n}+2A_{4,n}+A_{5,n}=2A_n-A_{1,n}-A_{5,n}</math> und damit <math>A_{n+2}=A_{n+1}+A_n+A_{3,n}</math>.


Hm, mal schauen, ob die Idee trägt. Jedenfalls gilt <math>A_3=14</math>:

01) 121
02) 123
03) 212
04) 232
05) 234
06) 321
07) 323
08) 343
09) 345
10) 432
11) 434
12) 454
13) 543
14) 545

Cyrix



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stpolster
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Ich habe keine ausführliche Lösung für 271243, aber auf einem Zettel nur das (wahrscheinliche) Ergebnis:
\[
A_{2n} = 8 \cdot 3^{n-1} ; n \geq 1
\] \[
A_{2n+1} = 14 \cdot 3^{n-1} ; n \geq 1
\] \[
A_1 = 5
\] Ob es stimmt? Ich weiß es nicht.
Ich sehe gerade, dass das Nuramons Lösung ist.

LG Steffen



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