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Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
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Conny42
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Aufgabe 041046:
In den Klassen 5 bis 8 einer Schule gibt es 300 Schüler. Von ihnen lesen regelmäßig
120 Schüler die Zeitschrift ”Technikus”
90 Schüler die Zeitschrift ”Fröhlichsein und Singen”
180 Schüler die Zeitschrift ”Die Trommel”
60 Schüler die Zeitschriften ”Die Trommel” und ”Technikus”
16 Schüler die Zeitschriften ”Technikus” und ”Fröhlichsein und Singen”
24 Schüler die Zeitschriften ”Die Trommel” und ”Fröhlichsein und Singen”
6 Schüler alle drei genannten Zeitschriften.

I.
a) Wieviel Schüler lesen genau eine dieser Zeitschriften regelmäßig?\\
b) Wieviel Schüler lesen keine dieser Zeitschriften regelmäßig?\\
II.
Lösen Sie die Aufgabe allgemein, indem Sie die Schülerzahl mit s bezeichnen und die übrigen angegebenen Zahlen der Reihe nach durch die Variablen a bis g ersetzen!


Eine eher lange Lösung:


Sei

$x_0$ die Anzahl der Schüler, die keine dieser Zeitschriften regellmäßig lesen,
$x_1$ die Anzahl der Schüler, die nur die Zeitschrift "Technikus" regelmäßig lesen,
$x_2$ die Anzahl der Schüler, die nur die Zeitschrift "Fröhlichsein und Singen" regelmäßig lesen,
$x_3$ die Anzahl der Schüler die nur die Zeitschrift "Die Trommel" regelmäßig lesen,
$x_4$ die Anzahl der Schüler, die nur die Zeitschriften "Die Trommel" und "Technikus" regelmäßig lesen,
$x_5$ die Anzahl der Schüler, die nur die Zeitschriften "Technikus" und "Fröhlichsein und Singen" regelmäßig lesen,
$x_6$ die Anzahl der Schüler, die nur die Zeitschriften "Die Trommel" und "Fröhlichsein und Singen" regelmäßig lesen und
$x_7$ die Anzahl der Schüler, die alle drei der genannten Zeitschriften regelmäßig lesen.

I) Aus den genannten Informationen ergeben sich die folgenden Gleichungen:

$(1)\; \sum_{i=0}^7 x_i = 300$,
$(2)\; x_1 + x_4 + x_5 + x_7 = 120$,
$(3)\; x_2 + x_5 + x_6 + x_7 = 90$,
$(4)\; x_3 + x_4 + x_6 + x_7 = 180$,
$(5)\; x_4 + x_7 = 60$,
$(6)\; x_5 + x_7 = 16$,
$(7)\; x_6 + x_7 = 24$,
$(8)\; x_7 = 6$.

Aus Gleichung (8) und (7) ergibt sich $x_6 = 18$, aus Gleichung (8) und (6) ergibt sich $x_5 = 10$ und aus Gleichung (8) und (5) ergibt sich $x_4 = 54$. Damit ergibt sich weiter

$x_3 = 180 - x_4 - x_6 - x_7 = 102$,
$x_2 = 90 - x_5 - x_6 - x_7 = 56$,
$x_1 = 120 - x_4 - x_5 - x_7 = 50$,
$x_0 = 300 - \sum_{i=1}^7 x_i = 4$.

Somit lesen $x_1+x_2+x_3 = 208$ Schüler genau eine der angegebenen Zeitschriften regelmäßig und $x_0=4$ lesen keine dieser Zeitschriften regelmäßig.

II)
Sei nun $s$ die Anzahl der Schüler und

$a$ die Anzahl der Schüler, die die Zeitschrift "Technikus" regelmäßig lesen,
$b$ die Anzahl der Schüler, die die Zeitschrift "Fröhlichsein und Singen" regelmäßig lesen,
$c$ die Anzahl der Schüler, die die Zeitschrift "Die Trommel" regelmäßig lesen,
$d$ die Anzahl der Schüler, die die Zeitschriften "Die Trommel" und "Technikus" regelmäßig lesen,
$e$ die Anzahl der Schüler, die die Zeitschriften "Technikus" und "Fröhlichsein und Singen" regelmäßig lesen,
$f$ die Anzahl der Schüler, die die Zeitschriften "Die Trommel" und "Fröhlichsein und Singen" regelmäßig lesen und
$g$ die Anzahl der Schüler, die alle drei genannten Zeitschriften lesen.

Es ergeben sich folgende Gleichungen:

$(1)\; \sum_{i=0}^7 x_i = s$,
$(2)\; x_1 + x_4 + x_5 + x_7 = a$,
$(3)\; x_2 + x_5 + x_6 + x_7 = b$,
$(4)\; x_3 + x_4 + x_6 + x_7 = c$,
$(5)\; x_4 + x_7 = d$,
$(6)\; x_5 + x_7 = e$,
$(7)\; x_6 + x_7 = f$,
$(8)\; x_7 = g$.

Aus Gleichung (8) und (7) ergibt sich $x_6 = f-g$, aus Gleichung (8) und (6) ergibt sich $x_5 = e-g$ und aus Gleichung (8) und (5) ergibt sich $x_4 = d-g$. Damit ergibt sich weiter

$x_3 = c - x_4 - x_6 - x_7 = c - (d-g) - (f-g) - g = c - d - f + g$,
$x_2 = b - x_5 - x_6 - x_7 = b - (e-g) - (f-g) - g = b - e - f + g$,
$x_1 = a - x_4 - x_5 - x_7 = a - (d-g) - (e-g) - g = a - d - e + g$,
$x_0 = s - \sum_{i=1}^7 x_i \\
= s - (a-d-e+g) - (b-e-f+g) -(c-d-f+g) - (d-g) - (e-g) - (f-g) - g\\
= s - a - b - c + d + e + f - g$.

Somit lesen $x_1+x_2+x_3 = a+b+c - 2(d+e+f) + 3g$ genau eine der Zeitschriften regelmäßig und $x_0=s-a-b-c+d+e+f-g$ lesen keine der Zeitschriften regelmäßig.


Eine alternative recht "verbale" Lösung, die auf dem Prinzip der Inklusion und Exklusion beruht:


Wir verwenden die Bezeichnungen wir in der ersten Lösung.

I) Addieren wir die Anzahlen an Schülern, die die Zeitschrift "Technikus" lesen, die, die die Zeitschrift "Fröhlichsein und Singen" lesen und die, die die Zeitschrift "Die Trommel" regelmäßig lesen, so zählen wir diejenigen, die zwei der Zeitschriften regelmäßig lesen, doppelt, und diejenigen, die alle drei der genannten Zeitschriften regelmäßig lesen, dreifach. Da wir an der Anzahl an Schülern interessiert sind, die genau eine der Zeitschriften regelmäßig lesen, müssen wir das Doppelte der Anzahlen an Schülern, die zwei der Zeitschriften regelmäßig lesen, subtrahieren. Dadurch subtrahieren wir das 6-fache der Anzahl an Schülern, die alle drei Zeitschriften regelmäßig lesen und wir müssen insgesamt das 3-fache Addieren, um schließlich die Anzahl an Schülern, die genau eine der Zeitschriften lesen, zu erhalten; somit lesen

$120 + 90 + 180 - 2\cdot (60+16+24) + 3 \cdot 6 = 208$

genau eine der Zeitschriften regelmäßig.

Mit einer analogen Begründung ist die Anzahl der Schüler, die genau zwei der Zeitschriften regelmäßig lesen gegeben durch

$60+16+24 - 3 \cdot 6 = 82$.

Somit ist die Anzahl der Schüler, die keine der Zeitschriften regelmäßig lesen, gegeben durch

$300 - 208 - 82 - 6 = 4$.

II) Wie in I) ergibt sich, dass

$a+b+c - 2(d+e+f) +3g$

der Schüler genau eine der Zeitschriften regelmäßig lesen und dass

$d+e+f - 3g$

der Schüler genau zwei der Zeitschriften regelmäßig lesen.
Somit ist die Anzahl der Schüler, die keine der Zeitschriften regelmäßig lesen, gegeben durch

$s-[a+b+c-2(d+e+f) + 3g] - (d+e+f-3g)- g = s - a - b - c + d + e + f -g$.


Liebe Grüße,
Conny


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.118 begonnen.]



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<math>
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} %

\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen


% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Annotationen - Dreick
\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;

\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
%% Mittelsenkrechte
%\draw[thick] (U) -- ($(B)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) node[midway, above]{$m_a$};
%\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
%\draw pic [angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.2,
%draw,   "$\cdot$"
%] {angle =U--Ma--B};
%\path[thick] (B) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
%\path[thick] (C) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
%\draw[thick] (U) -- (B) node[midway, below]{$R$};





% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm+22mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,R/R}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Gamma:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\gamma$",
] {angle =R--Q--P};


%%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%R = \R \text{ cm}  &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%b = \b \text{ cm}  & \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};

% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>



030913
a) und b) Planfigur und Konstruktion.
<math>
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} %

\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen


% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Annotationen - Dreick
\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;

\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
%% Mittelsenkrechte
%\draw[thick] (U) -- ($(B)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) node[midway, above]{$m_a$};
%\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
%\draw pic [angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.2,
%draw,   "$\cdot$"
%] {angle =U--Ma--B};
%\path[thick] (B) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
%\path[thick] (C) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
%\draw[thick] (U) -- (B) node[midway, below]{$R$};





% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm+22mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,R/R}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Gamma:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\gamma$",
] {angle =R--Q--P};


%%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%R = \R \text{ cm}  &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%b = \b \text{ cm}  & \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};

% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>

<math>% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} %

\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{
\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) coordinate(#2bogen) arc (#3:#4:#5) coordinate(#2Bogen);}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt},  show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at (0,0);
\draw[name path=umkreis] (U) circle[radius=\R];

% Rahmen
\clip  ([shift={(-\R-0.3,\R+0.6)}]U) rectangle ([shift={(3.7*\R,-\R-3)}]U);

% Punkt B
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (0,\R);
\path[name path=kreisC, overlay, draw=none] (C) circle[radius=\a];
\path[name intersections={of=umkreis and kreisC, name=B}];
\coordinate[Punkt={right}{B}] (B) at (B-2);

% Bogen
\path let
\p0 = (C), % Zentrum
\p1 = (B),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % "pt" abstreifen
\Bogen[]{C}{\Winkel+10}{\Winkel-90}{\a}
\path[] (C) --+ (-77:\a) node[fill=black!1, xshift=-4pt]{$\bigodot(C,a)$};

% Punkt A
\draw[name path=AC, densely dashed] (C) --+ (\Winkel-\Gamma:2*\R+0.3) node[ fill=black!1]{$g_A$};
\path[name intersections={of=umkreis and AC, name=A}];
\coordinate[Punkt={left}{A}] (A) at (A-2);

\draw[thick, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Annotationen - Dreieck
%\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};

%% Punkte
\foreach \P in {U,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

%% Test
%\draw[red] (C) -- ($(C)!\a cm!(B)$);
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\c cm!(B)$);
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\b cm!(C)$);


% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\pgfmathsetmacro{\textbreite}{2*\R+1} %

\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textbreite cm, draw=none, inner sep=1pt,
xshift=\R cm+3mm,  yshift=5mm,
font=\normalsize, fill=black!1, draw=none,
] at (C){\vspace{-1em}
\begin{enumerate}
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(U, R)$ um $U$ vom Radius $R$, um den Umkreis zu erhalten.
\item Whle einen beliebigen Punkt auf dem Umkreis als Ecke $C$.
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(C, a)$ um $C$ vom Radius $a$; Schnittpunkt des Kreises mit dem Umkreis ist die Ecke $B$ so, dass $B$, $C$ auf dem Umkreis im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen werden.
\item Lege durch $C$ eine Gerade $g_A$ so, dass sie mit der Verbindung $|BC|$ den Winkel $\gamma$ einschliet. Schnittpunkt von $g_A$ mit dem Umkreis ist die Ecke $A$. (Hinweis: soll auch der spezielle Winkel $\gamma=60^\circ$ konstruiert werden, so ist ber $|BC|$ das gleichseitige Dreieck zu konstruieren.)
\item Erhalte durch entsprechende Verbindung der Punkte $A,B,C$ das Dreieck $ABC$.
\end{enumerate}
};






% Dreieckskonstruktion

%% Dreieckskonstruktion
%\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
%\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
%\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
%\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
%
%
%% Umkreis
%%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%
%\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
%\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
%\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
%\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
%
%\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
%
%%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
%\draw[] (U) circle[radius=\R];
%
%% Annotationen - Dreick
%\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
%\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
%\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%"$\gamma$",  thick,
%] {angle =A--C--B};
%
%
%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm+22mm,0)$)}]
%% Strecken
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,R/R}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Gamma:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
%"$\gamma$",
%] {angle =R--Q--P};
%
%
%%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%R = \R \text{ cm}  &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%b = \b \text{ cm}  & \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};
%
%
%% Punkte
%\foreach \P in {U}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}</math>

<math>
%\begin{tikzpicture}
\pagecolor{black!1}

\textbf{Zusatz} zu b) Berechnung der fehlenden Seitenlngen und Innenwinkel aus den gegebenen Gren $a,R,\gamma$.

\begin{tabular}{@{\ttfamily(}l@{\ttfamily )~~}
l
@{\hskip 3em  (\glqq}l<{\grqq)}}
1 & $2R = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}~~ \Rightarrow c$ & erweiterter Sinussatz\\[1em]
2 & $\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \dfrac{a}{c}
~~ \Rightarrow \alpha$ &        Sinussatz     \\[1em]
3 & $\beta = 180^\circ -\alpha -\gamma$ &  Winkelsumme    \\[1em]
4 & $b = \sqrt{a^2+c^2-2ac\cos(\beta)}$ &         Kosinussatz
\end{tabular}</math>

c) Abstand.
<math>% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} %

\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen


% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Annotationen - Dreick
%\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
%\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};


% Mittelsenkrechte
\draw[thick] (U) -- ($(B)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) node[midway, above]{$d(U, a)$};
\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
\draw pic [angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =U--Ma--B};
\path[thick] (B) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
\path[thick] (C) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
\draw[thick] (U) -- (B) node[midway, below]{$R$};

\node[below, anchor=north west, align=left,
draw=none, inner sep=1pt,
xshift=2cm,  yshift=5mm,
font=\normalsize, fill=black!1, draw=none,
] at (Ma){
$d(U, a) = \sqrt{R^2 -\dfrac{a^2}{4}}$
};


% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}</math>

d) Bedingungen.
<math>
%\begin{tikzpicture}
\pagecolor{black!1}
\begin{itemize}
\item Man entliest der Konstruktionszeichnung, dass $a$ maximal gleich $2R$ sein darf, also $$
a \leq 2R ~~~\text{ bzw. }~~~ R \geq \dfrac{a}{2}
$$
\item Es ist $\beta = 180^\circ -\alpha -\gamma$. Aus der Forderung $\beta>0^\circ$ folgt $\gamma < 180^\circ-\alpha$; und da nach dem erweiterten Sinussatz $\sin(\alpha) = \dfrac{a}{2R}$ gilt, erhlt man die Bedingung $$\gamma < 180^\circ-\arcsin\left(  \dfrac{a}{2R} \right)$$
\end{itemize}</math>


<math>% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} %

\pgfmathsetmacro{\aMax}{2*\R} %
\pgfmathsetmacro{\Rmin}{\a/2} %
\pgfmathsetmacro{\GammaMax}{180-asin(\a/(2*\R))} %

\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen


% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Annotationen - Dreick
\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;

\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};

%% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, %fill=lightgray!50,
PosUnten,
PosLinks, font=\normalsize,
]{
$\begin{array}{l l}
\textbf{Beispielwerte:}  &  \\
a = \a \text{ cm}  &  \\
R = \R \text{ cm}  &  \\
\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
a_{\max} = \aMax \text{ cm}  &  \\
R_{\min} = \Rmin \text{ cm}  &  \\ \hline
\gamma_{\max} = \GammaMax^\circ    &  \\ \hline
b = \b \text{ cm}  & \\
c = \c \text{ cm}  &  \\
\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
\beta = \Beta^\circ    &  \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};

% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>


Ich habe die Codes auf die LaTeX-Datei aus #74 zugeschneidert, d.h. die Teildateien können ohne Weiteres in "main.tex" (s.u.) eingebunden werden. (Nur das Paket "array" habe ich ergänzt!)

LaTeX   (030913-main.pdf zum Direkteinbinden oder Anschauen)

030913-Planfigur.tex
latex
% 030913-Planfigur.tex
\documentclass[margin=0pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
 
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %  
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} % 
 
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %  
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} % 
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, %show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
 
% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Annotationen - Dreick
\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
 
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
%% Mittelsenkrechte
%\draw[thick] (U) -- ($(B)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) node[midway, above]{$m_a$};
%\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
%\draw pic [angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.2, 
%draw,   "$\cdot$"
%] {angle =U--Ma--B}; 
%\path[thick] (B) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
%\path[thick] (C) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
%\draw[thick] (U) -- (B) node[midway, below]{$R$};
 
 
 
% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm+22mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,R/R}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Gamma:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={}, 
"$\gamma$", 
] {angle =R--Q--P};
 
 
%%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%R = \R \text{ cm}  &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%b = \b \text{ cm}  & \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
%\end{array}$
%};
 
% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
 
\end{tikzpicture}
 
\end{document}


030913-Konstruktion.tex
latex
% 030913-Konstruktion.tex
% https://mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/03/OMKlasse_09.pdf
\documentclass[margin=0pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
 
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %  
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} % 
 
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %  
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} % 
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{
\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) coordinate(#2bogen) arc (#3:#4:#5) coordinate(#2Bogen);}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, % show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at (0,0); 
\draw[name path=umkreis] (U) circle[radius=\R];
 
% Rahmen  
\clip  ([shift={(-\R-0.3,\R+0.6)}]U) rectangle ([shift={(3.7*\R,-\R-3)}]U);
 
% Punkt B
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (0,\R); 
\path[name path=kreisC, overlay, draw=none] (C) circle[radius=\a];
\path[name intersections={of=umkreis and kreisC, name=B}];
\coordinate[Punkt={right}{B}] (B) at (B-2); 
 
% Bogen
\path let             
\p0 = (C), % Zentrum
\p1 = (B),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{C}{\Winkel+10}{\Winkel-90}{\a}
\path[] (C) --+ (-77:\a) node[fill=black!1, xshift=-4pt]{$\bigodot(C,a)$};
 
% Punkt A
\draw[name path=AC, densely dashed] (C) --+ (\Winkel-\Gamma:2*\R+0.3) node[ fill=black!1]{$g_A$};
\path[name intersections={of=umkreis and AC, name=A}];
\coordinate[Punkt={left}{A}] (A) at (A-2); 
 
\draw[thick, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; 
 
% Annotationen - Dreick
%\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
 
%% Punkte
\foreach \P in {U,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
%% Test
%\draw[red] (C) -- ($(C)!\a cm!(B)$);
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\c cm!(B)$);
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\b cm!(C)$);
 
 
% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\pgfmathsetmacro{\textbreite}{2*\R+1} %  
 
\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textbreite cm, draw=none, inner sep=1pt, 
xshift=\R cm+3mm,  yshift=5mm, 
font=\normalsize, fill=black!1, draw=none,
] at (C){\vspace{-1em}
\begin{enumerate}
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(U, R)$ um $U$ vom Radius $R$, um den Umkreis zu erhalten.
\item Wähle einen beliebigen Punkt auf dem Umkreis als Ecke $C$.
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(C, a)$ um $C$ vom Radius $a$; Schnittpunkt des Kreises mit dem Umkreis ist die Ecke $B$ so, dass $B$, $C$ auf dem Umkreis im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen werden.
\item Lege durch $C$ eine Gerade $g_A$ so, dass sie mit der Verbindung $|BC|$ den Winkel $\gamma$ einschließt. Schnittpunkt von $g_A$ mit dem Umkreis ist die Ecke $A$. (Hinweis: soll auch der spezielle Winkel $\gamma=60^\circ$ konstruiert werden, so ist über $|BC|$ das gleichseitige Dreieck zu konstruieren.)
\item Erhalte durch entsprechende Verbindung der Punkte $A,B,C$ das Dreieck $ABC$.
\end{enumerate}
};
 
 
\end{tikzpicture}
 
\end{document}


030913-Rechnung.tex
latex
% 030913-Rechnung.tex
% https://mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/03/OMKlasse_09.pdf
\documentclass[margin=0pt, varwidth]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\usepackage{array}
 
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{enumitem}
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
\textbf{Zusatz} zu b) Berechnung der fehlenden Seitenlängen und Innenwinkel aus den gegebenen Größen $a,R,\gamma$.
 
\begin{tabular}{@{\ttfamily(}l@{\ttfamily )~~}  
l  
@{\hskip 3em  (\glqq}l<{\grqq)}}
1 & $2R = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}~~ \Rightarrow c$ & erweiterter Sinussatz\\[1em]
2 & $\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \dfrac{a}{c}
~~ \Rightarrow \alpha$ &        Sinussatz     \\[1em]
3 & $\beta = 180^\circ -\alpha -\gamma$ &  Winkelsumme    \\[1em]
4 & $b = \sqrt{a^2+c^2-2ac\cos(\beta)}$ &         Kosinussatz     
\end{tabular}
 
\end{document}


030913-Abstand.tex
latex
\documentclass[margin=15pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
 
%\begin{varwidth}{0.9\linewidth}
%\rule{\linewidth}{0.5pt}
 
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %  
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} % 
 
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %  
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} % 
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, %show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
 
% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Annotationen - Dreick
%\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
%\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
 
 
% Mittelsenkrechte
\draw[thick] (U) -- ($(B)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) node[midway, above]{$d(U, a)$};
\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
\draw pic [angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\cdot$"
] {angle =U--Ma--B}; 
\path[thick] (B) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
\path[thick] (C) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
\draw[thick] (U) -- (B) node[midway, below]{$R$};
 
\node[below, anchor=north west, align=left, 
draw=none, inner sep=1pt, 
xshift=2cm,  yshift=5mm, 
font=\normalsize, fill=black!1, draw=none,
] at (Ma){
$d(U, a) = \sqrt{R^2 -\dfrac{a^2}{4}}$ 
};
 
 
% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
 
\end{tikzpicture}
 
%\end{varwidth}
 
\end{document}



030913-Bedingungen.tex
latex
% 030913-Bedingungen.tex
% https://mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/03/OMKlasse_09.pdf
\documentclass[margin=0mm, varwidth]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\usepackage{array}
 
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{enumitem}
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
\begin{itemize}
\item Man entliest der Konstruktionszeichnung, dass $a$ maximal gleich $2R$ sein darf, also $$
a \leq 2R ~~~\text{ bzw. }~~~ R \geq \dfrac{a}{2}
$$
\item Es ist $\beta = 180^\circ -\alpha -\gamma$. Aus der Forderung $\beta>0^\circ$ folgt $\gamma < 180^\circ-\alpha$; und da nach dem erweiterten Sinussatz $\sin(\alpha) = \dfrac{a}{2R}$ gilt, erhält man die Bedingung $$\gamma < 180^\circ-\arcsin\left(  \dfrac{a}{2R} \right)$$
\end{itemize}
\end{document}



030913-Beispiel.tex  (Beispielwerte)
latex
% 030913-Beispiel
\documentclass[margin=0pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
 
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %  
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} % 
 
\pgfmathsetmacro{\aMax}{2*\R} %  
\pgfmathsetmacro{\Rmin}{\a/2} %  
\pgfmathsetmacro{\GammaMax}{180-asin(\a/(2*\R))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %  
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} % 
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt},% show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
 
% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Annotationen - Dreick
\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
 
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
 
%% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, %fill=lightgray!50,
PosUnten,
PosLinks, font=\normalsize,
]{
$\begin{array}{l l}
\textbf{Beispielwerte:}  &  \\
a = \a \text{ cm}  &  \\
R = \R \text{ cm}  &  \\
\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
a_{\max} = \aMax \text{ cm}  &  \\
R_{\min} = \Rmin \text{ cm}  &  \\ \hline
\gamma_{\max} = \GammaMax^\circ    &  \\ \hline
b = \b \text{ cm}  & \\
c = \c \text{ cm}  &  \\
\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
\beta = \Beta^\circ    &  \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
\end{array}$
};
 
% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
 
\end{tikzpicture}
 
%\end{varwidth}
 
\end{document}



main.tex
latex
% main.tex
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{tikz,fullpage,enumerate,icomma}
\usetikzlibrary{arrows,calc,intersections,patterns,arrows.meta,backgrounds, positioning,angles, quotes, babel}
\usepackage{standalone}
\usepackage{geometry}
\geometry{
   left=2.5cm,
   textwidth=16cm,
   marginpar=3cm,
   top=2cm,
   bottom=2cm}
\setlength{\parindent}{0pt}  
\usepackage{framed}
\usepackage{hyperref} %brauche ich für das Titelblatt
 
%%%%%%%%%%
\usepackage{array} %%%%%%%%%% NEU
\begin{document}
a) und b) Planfigur und Konstruktion. \par
{\centering\input{030913-Planfigur} \par}
\bigskip
\input{030913-Konstruktion} \par
\input{030913-Rechnung} \par
 
\bigskip\bigskip\bigskip
c) Abstand.
\input{030913-Abstand} \par
 
\bigskip
d) Bedingungen.
\input{030913-Bedingungen} \par
\input{030913-Beispiel} \par
\end{document}
 







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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.122, eingetragen 2019-04-27


Aufgabe 2 - 061242
Es sei n $\neq$ 0 eine natürliche Zahl. Eine Zahlenfolge werde kurz eine Folge ”Fn” genannt, wenn untereinander verschiedene Zahlen z1, z2, ..., zn existieren, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
(1) Jedes Glied der Folge ist eine der Zahlen z1, z2, ..., zn.
(2) Jede der Zahlen z1, z2, .., zn kommt mindestens einmal in der Folge vor.
(3) Je zwei unmittelbar aufeinanderfolgende Glieder der Folge sind voneinander verschiedene Zahlen.
(4) Keine Teilfolge der Folge hat die Form {a, b, a, b} mit a $\neq$ b.
Bemerkung:
Als Teilfolge einer gegebenen Folge {x1, x2, x3, ...} oder {x1, x2, x3, ..., xs}
bezeichnet man jede Folge der Form {xm1, xm2, xm3, ...} oder {xm1, xm2, xm3, ..., xmt}
mit natürlichen Zahlen m1 < m2 < m3 < ...

Beantworten Sie folgende Fragen:
a) Gibt es bei fest gegebenen n beliebig lange Folgen Fn?
b) Wenn Frage a) fur ein n zu verneinen ist:
Welches ist die größtmögliche Anzahl von Gliedern, die (bei gegebenem n) eine Folge Fn haben kann?

Lösung
a) Nein, denn
b) Mit vollständiger Induktion beweisen wir im Folgenden, dass für $n\geq 1$ immer eine Folge $F_n$ der Länge $2n-1$ existiert und diese Länge maximal ist. Für $n=1$ ist dies klar. Sei nun $n>1$ beliebig und die Behauptung für $F_1, ..., F_{n-1}$ bewiesen.

Betrachte die Folge
$F = z_1, S_1, z_1, S_2, ..., z_1, S_r , z_1$, wobei $S_i$ ($i\in\{1,...,r\}, 1\leq r<n$) die Folgeglieder einer Folge von Zahlen aus $\{z_2,...,z_n\}$ bezeichne, welche die Bedingungen (3) und (4) der Aufgabenstellung erfüllt.
Wie man leicht sieht, erfüllt die obige Folge $F$ genau dann die Bedingungen der Aufgabe, wenn die $S_i$ paarweise disjunkt sind und die Gesamtheit der $S_i$ alle Zahlen außer $z_1$ beinhaltet.

Es ist klar, dass die Länge von $F$ maximal ist, wenn jedes $S_i$ maximale Länge hat. Nach Induktionsvoraussetzung ist dann die Länge von $F$ gleich $(r+1)+2(s_1+...+s_r)-r$, wobei $s_i$ die Anzahl der verschiedenen Zahlen in $S_i$ bezeichnet und $r+1$ die Anzahl der $z_1$ in $F$ ist.
Es ist $s_1+...+s_r=n-1$ und folglich ist die Länge von $F$ gleich $2n-1$.

Die Folge $F$ ist optimal: Eine beliebige Folge $F_n$ startet o.B.d.A. mit $z_1$. Falls danach nicht noch mal $z_1$ auftritt, können nach $z_1$ nur noch $2(n-1)-1$ Zahlen folgen (nach Induktionsvoraussetzung), die Länge wäre also nur $1+2(n-1)-1=2n-2$. In einer Folge maximaler Länge kommen also mindestens zwei $z_1$ vor. Keine der Zahlen $z_i$, die zwischen zwei nächstgelegenen $z_1$ stehen, dürfen später noch einmal vorkommen, da man sonst eine Teilfolge $\{z_1,z_i,z_1,z_i\}$ hätte. Diese Bedingungen werden von der Folge $F$ aber allgemein erfüllt, sodass die Länge $2n-1$ optimal ist und die Behauptung bewiesen.




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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.123, eingetragen 2019-04-27


Zur Aufgabe 061243: Man beweise folgenden Satz: Ist <math>n\geq 2</math> eine natürliche Zahl, sind <math>a_1</math>, <math>\dots</math> , <math>a_n</math> positive reelle Zahlen und wird <math>\sum_{i=1}^n a_i =s</math> gesetzt, so gilt <math>\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{s-a_i}\geq \frac{n}{n-1}</math>.

Beweis:
Zuerst normieren wir via <math>b_i:=\frac{a_i}{s}</math> die zu zeigende Ungleichung, denn sie geht durch Kürzen der Brüche mit <math>s</math> äquivalent über in <math>\sum_{i=1} \frac{b_i}{1-b_i}\geq \frac{n}{n-1}</math>, wobei die <math>b_i</math> weiterhin positive reelle Zahlen sind, die aber nun zusätzlich <math>\sum_{i=1}^n b_i=1</math> erfüllen.

Setzen wir <math>\lambda_i:=b_i</math> und <math>f(x):=\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}</math>, so können wir die linke Seite der Ungleichung auch schreiben als <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i f(b_i)</math>, wobei natürlich weiterhin alle <math>\lambda_i</math> positiv sind und ihre Summe 1 ergibt.

Da <math>f^{\prime}(x)=-(1-x)^{-2} \cdot (-1)=(1-x)^{-2}>0</math> und <math>f^{\prime\prime}(x)= -2(1-x)^{-3} \cdot (-1)=2(1-x)^{-3}>0</math> für alle <math>0<x<1</math> ist, und da alle <math>b_i</math> aus diesem Intervall <math>(0; 1)</math> stammen, können wir die Jensensche-Ungleichung anwenden und erhalten

<math>\sum_{i=1}^n \lambda_i f(b_i) \geq f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot b_i\right)=f\left(\sum_{i=1}^n b_i^2 \right)</math>.

Es ist das quadratische Mittel <math>q</math> der <math>b_i</math> definiert als <math>q:=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n b_i^2}{n}}</math> und ihr arithmetisches Mittel <math>a</math> als <math>a:=\frac{\sum_{i=1}^n b_i}{n}=\frac{1}{n}</math>. Nach der Ungleichung zwischen quadratischem und arithmetischem Mittel ist <math>q\geq a=\frac{1}{n}</math>, also <math>\frac{\sum_{i=1}^n b_i^2}{n} =q^2 \cdot n \geq \frac{1}{n}</math>.

Da <math>f</math> monoton wachsend ist, folgt damit <math>f\left(\sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \geq f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{n}}=\frac{n}{n-1}</math> und insgesamt das zu zeigende. q.e.d.

Bemerkung: Aufgrund der strengen Monotonie und da die Ungleichung zwischen quadratischem und arithmetischen Mittel nur für Gleichheit aller <math>b_i</math> und damit aller <math>a_i</math> untereinander Gleichheit liefert, wird auch nur dann in der zu zeigenden Ungleichung der Gleichheitsfall angenommen.

Cyrix



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ZePhoCa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.124, eingetragen 2019-04-27


Aufgabe 080933:
Geben Sie alle Zahlentripel <math>(a, b, c)</math> an, die die Gleichungen
<math>a + b + c = s_1</math>
        <math>a - b + c = s_3</math>
<math>a + b - c = s_2</math>
        <math>a - b - c = s_4</math>
unter der zusätzlichen Bedingung erfüllen, dass die Menge der vier Zahlen <math>s_1, s_2, s_3, s_4</math> (ohne Rücksicht auf ihre Reihenfolge) mit der Menge der vier Zahlen 1, 2, 3, 4 übereinstimmt!

Lösung:
Addition der ersten und vierten Gleichung ergibt $2a=s_1+s_4$.
Addition der zweiten und dritten Gleichung ergibt $2a=s_2+s_3$.

Das geht nur, wenn $s_1=1$ und $s_4=4$ oder umgekehrt und $s_2=2, s_3=3$ oder umgekehrt oder wenn $s_1=2,s_4=3$ oder umgekehrt und $s_2=1,s_3=4$ oder umgekehrt. Daraus folgt $2a=5$, also $a=\frac{5}{2}$.

Für $s_1=1,s_4=4$ folgt dann $b+c=-\frac{3}{2}$. Auflösen nach $b$ und einsetzen in die zweite Gleichung ergibt $\frac{5}{2}+c+\frac{3}{2}+c=s_3$. Falls $s_3=2$ folgt $c=-1$, falls $s_3=3$ folgt $c=-\frac{1}{2}$. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt $b=-\frac{1}{2}$ bzw. $b=-1$.

Für $s_1=4,s_4=1$ folgt $b+c=\frac{3}{2}$. Auflösen nach $b$ und einsetzen in die zweite Gleichung ergibt $\frac{5}{2}+c-\frac{3}{2}+c=s_3$. Falls $s_3=2$ folgt $c=\frac{1}{2}$, falls $s_3=3$ folgt $c=1$. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt $b=1$ bzw. $b=\frac{1}{2}$.

Für $s_1=2,s_3=1$ folgt analog $b=\frac{1}{2},c=-1$, für $s_1=2,s_3=4$ folgt $b=-1,c=\frac{1}{2}$, für $s_1=3,s_3=1$ folgt $b=1,c=-\frac{1}{2}$ und für $s_1=3,s_3=4$ folgt $b=-\frac{1}{2},c=1$.

Es gibt also insgesamt die Möglichkeiten
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},-\frac{1}{2},-1)$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=1,3,2,4)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},-1,-\frac{1}{2})$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=1,2,3,4)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},1,\frac{1}{2})$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=4,3,2,1)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},\frac{1}{2},1)$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=4,2,3,1)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},\frac{1}{2},-1)$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=2,4,1,3)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},-1,\frac{1}{2})$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=2,1,4,3)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},1,-\frac{1}{2})$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=3,4,1,2)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},-\frac{1}{2},1)$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=3,1,4,2)$)
und eine Probe ergibt, dass dies tatsächlich Lösungen sind.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.122 begonnen.]



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.125, eingetragen 2019-04-27

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
@ZePhoCa:
Es gibt auch noch die Fälle $(s_1,s_2,s_3,s_4)= (2,1,4,3), (3,1,4,2), (2,4,1,3), (3,4,1,2)$.
\(\endgroup\)


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ZePhoCa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.126, eingetragen 2019-04-27


Aufgabe 080935:
Es ist zu beweisen, dass für jede ungerade Zahl <math>n</math> die Zahl <math>n^{12} - n^8 - n^4 + 1</math> durch 512 teilbar ist.

Lösung:

Sei $m=n^4$. Dann ist die Zahl $m^3-m^2-m+1$ zu untersuchen. Es gilt $m^3-m^2-m+1 = (m-1)^2(m+1)$. Da $n$ ungerade ist, gilt $n=2k+1$ und damit $m=(2k+1)^4 = 16k^4+32k^3+24k^2+8k+1$. Damit ist $m+1$ durch $2$ teilbar und es gilt $m-1 = 16k^4+32k^3+24k^2+8k = 16(k^4+2k^3+k^2)+8(k^2+k)$. Da $k^2+k = k(k+1)$ gerade ist, ist also $m-1$ durch $16$ teilbar. Also ist $m^3-m^2-m+1$ durch $16 \cdot 16 \cdot 2 = 512$ teilbar.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.124 begonnen.]



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ZePhoCa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.127, eingetragen 2019-04-27


@Nuramon: Ah verdammt die hatte ich wohl übersehen.. edit kommt hoffentlich gleich ;)



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.128, eingetragen 2019-04-27


Aufgabe 051235:
Der Flächeninhalt des ebenen (nicht notwendig konvexen) Vierecks <math>ABCD</math> sei <math>S</math>, die Längen der Seiten <math>AB, BC, CD, DA</math> seien (in dieser Reihenfolge) <math>a, b, c, d</math>.
Man beweise, dass stets gilt
S≤(a+c)/2⋅(b+d)/2
und untersuche, wann das Gleichheitszeichen gilt.

Vorbemerkung. Falls $ABCD$ konkav ist, so erhalten wir durch "ausklappen" der konkaven Ecke ein konvexes Viereck, für die die Ungleichung ebenfalls gelten soll. Daher reicht es im folgenden nur ein konvexes Viereck zu betrachten. Gleichheit kann nur im nicht konkaven Fall auftreten.

Bestimmung des Flächeninhalts. Seine $P,Q,R,S$ die Seitenmittelpunkte der Seiten $AB,BC,CD,DA$, $e=|PR|,f=|QS|$ die Diagonalen des Vierecks $PQRS$. Dann läßt sich über Strahlensätze $PQ||AC||RS$ und $QR||BD||SP$ zeigen, d.h. $PQRS$ ist ein Parellelogramm mit dem Flächeninhalt $\frac{1}{2}ef\text{sin}(\epsilon)$, wobei $\epsilon$ den Winkel zwischen den Diagonalen bezeichnet. Desweiteren erhalten wir über Strahlensätze, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms genau halb so groß wie S ist, als $S=ef\text{sin}(\epsilon)$ (Konvexität!). Insbesondere gilt $S=ef$ genau dann, wenn $e$ und $f$ orthogonal sind.

Die Ungleichung. Als Vektoren betrachte gilt. $\vec{PR} = \frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{DC})$, insbesondere haben wir nach Anwendung der Dreiecksungleichung $e\leq \frac{a+c}{2}$, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn $a$ und $c$ parallel sind. Alles zusammen:
\[S=ef\text{sin}(\epsilon)\leq ef\leq \frac{a+c}{2}\cdot \frac{b+d}{2}\] Nach den obigen Bemerkungen gilt $S=\frac{a+c}{2}\cdot \frac{b+d}{2}$ genau dann wenn die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks parallel und orthogonal zu den benachbarten Seiten sind, d.h. wenn $ABCD$ ein Rechteck ist.

Schlußbemerkung: Das Spiel mit dem inneren Parallelogramm war meine erste Begegnung mit "echter" Mathematik. Falls dieser Teil zu kurz geraten ist, könnte ich dieses noch etwas ausführen.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.123 begonnen.]



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.129, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-27


Hallo,
die bucklige Verwandtschaft hat sich wieder verzogen und ich kann mich wieder den wichtigen Dingen widmen, der Mathematik. smile

Jetzt sind es schon 130 Lösungen (Online!). Ihr seit einfach nur sensationell.

LG Steffen



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.130, eingetragen 2019-04-27


zur Aufgabe 061236: Die Zahl <math>\sin 10^{\circ}</math> genügt einer algebraischen Gleichung dritten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten. Man stelle diese (bis auf einen gemeinsamen Teiler aller Koeffizienten eindeutig bestimmte) Gleichung auf und ermittle ihre beiden anderen Wurzeln.

Lösung:

Es ist <math>\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)</math>, <math>\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)</math> und <math>\sin(3x)=\sin(2x+x)=\sin(2x)\cos(x)+\cos(2x)\sin(x)=2\sin(x)\cos^2(x)+\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)=3(1-\sin^2(x))\sin(x)-\sin^3(x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)</math>.

Mit <math>x=10^{\circ}</math>, <math>X_1=\sin(x)</math> und <math>\sin(3x)=\sin(30^{\circ})=\frac{1}{2}</math> folgt, dass <math>X_1=\sin(10^{\circ})</math> Lösung der Gleichung

<math>\frac{1}{2}=3X-4X^3</math> bzw. <math>8X^3-6X+1=0</math> ist.

Da <math>\sin(30^{\circ})=\sin(390^{\circ})=\sin(750^{\circ})</math> ist, erfüllen auch <math>X_2=\sin(x_2)</math> und <math>X_3=\sin(x_3)</math> mit <math>x_2=\frac{390^{\circ}}{3}=130^{\circ}</math> und <math>x_3=\frac{750^{\circ}}{3}=250^{\circ}</math> diese Gleichung. Offensichtlich sind <math>X_1=\sin(10^{\circ})</math>, <math>X_2=\sin(130^{\circ})=\sin(50^{\circ})</math> und <math>X_3=\sin(250^{\circ})=\sin(-70^{\circ})</math> paarweise verschieden, da die Sinus-Funktion streng monoton steigend im Intervall <math>[-90^{\circ}, 90^{\circ}]</math> ist. Also stellen <math>X_2</math> und <math>X_3</math> die gesuchten weiteren Lösungen der angegebenen Gleichung dar.

Cyrix



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.131, eingetragen 2019-04-27


Zur Aufgabe 061235: Es seien <math>n</math> Schüler mit Nummern versehen und in der Reihenfolge <math>1,2,3, \dots ,n</math> nebeneinander aufgestellt. Ein Umordnungsbefehl besteht darin, dass jeder Schüler entweder einmal seinen Platz miteinem anderen tauscht oder auf seinem Platz bleibt. Man gebe zwei   Befehle an, durch deren Hintereinanderausführung die Anordnung <math>n,1,2,3, \dots , n?1</math> entsteht.

Lösung:

Eine mögliche Variante lautet wie folgt:
1. Umordnungsbefehl: Jeweils zwei Schüler, deren Nummern sich zu <math>n+1</math> ergänzen, tauschen die Plätze. (Ist <math>n+1</math> gerade, so bleibt der Schüler mit Nr. <math>\frac{n+1}{2}</math> an seinem Platz stehen.)
2. Umordnungsbefehl: Jeweils zwei Schüler, deren Nummern sich zu <math>n</math> ergänzen, tauschen Plätze. (Der Schüler mit Nr. <math>n</math> und, falls existent, der Schüler mit Nr. <math>\frac{n}{2}</math> bleibt/ bleiben stehen.)

Durch den ersten Umordnungsbefehl befindet sich der Schüler mit Nummer <math>k</math> nach dessen Ausführung auf der Position <math>n+1-k</math>, da er mit dem Schüler dieser Nummer getauscht hat. (Ist n+1 gerade, so hätte nur der Schüler mit Nummer <math>k=\frac{n+1}{2}</math> keinen Tauschpartner. Aber er soll ja dann auch stehen bleiben und befindet sich genauso an der entsprechenden Position <math>n+1-k=\frac{n+1}{2}=k</math>.)

Tauscht nun im zweiten Umordnungsbefehl der Schüler mit Nummer <math>\ell</math> den Platz mit dem Schüler mit Nummer <math>n-\ell</math>, so befand sich jener zweiter nach dem ersten Umordnungsbefehl an Position <math>n+1-(n-\ell)=\ell+1</math>. Der Schüller mit Nummer <math>\ell</math> ist also durch beide Umordnungsbefehle nun an die Position <math>\ell+1</math>, also einen Platz nach rechts gerutscht. Einzige hierbei noch nicht betrachtete Schüler sind diejenigen, die beim zweiten Umordnungsbefehl stehen bleiben. Das ist einerseits der Schüler mit Nummer <math>n</math>. Dieser steht nach dem ersten Umordnungsbefehl auf Position <math>n+1-n=1</math>, also ganz vorn, und bleibt da auch -- wie gewünscht -- stehen. Und zweitens, falls <math>n</math> gerade ist, der Schüler mit Nummer <math>\frac{n}{2}</math>. Dieser befand sich nach dem ersten Umordnungsbefehl an Position <math> n+1-\frac{n}{2}=\frac{n}{2}+1</math>, war also gegenüber der Ausgangsanordnung schon um einen Platz nach rechts gerückt. Bleibt er beim zweiten Umordnungsbefehl nun stehen, ist er schon an der gewünschten Position.

Damit ist gezeigt, dass nach Ausführung dieser beiden Umordnungsbefehle aus der Start-Anordnung die gewünschte Zielanordnung erreicht wird.

Cyrix



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.132, eingetragen 2019-04-27


Aufgabe 051236:
Man beweise, dass für jede natürliche Zahl <math>n \geq 1</math> die folgenden Beziehungen gelten:
\[
(1)\qquad
\sin{x} + \sin{3x} + ... + \sin{(2n - 1)x} = \frac{\sin^2{nx}}{\sin{x}} \qquad \text{für alle reellen x mit } \sin{x} \neq 0
\] \[
(2)\qquad
\sin{x} + \sin{3x} + ... + \sin{(2n - 1)x} = 0 \qquad \text{für alle reellen x mit } \sin{x} = 0
\]

@Steffen: in der Aufgabenstellung hat sich ein Fehler eingeschlichen.

1) Für $n=1$ ist die Behauptung offensichtlich richtig. Daher reicht es im Induktionsschritt
\[\frac{\sin^2{nx}}{\sin{x}} + \sin{(2n + 1)x} = \frac{\sin^2{(n+1)x}}{\sin{x}}\] bzw.
\[\sin^2{nx}+ \sin{(2n + 1)x}\cdot\sin{x} = \sin^2{(n+1)x}\] zu zeigen. Mit $\sin^2{x}-\sin^2{y} = \sin{(x+y)}\cdot \sin{(x-y)}$ gilt:
\[\sin^2{(n+1)x} - \sin^2{nx} = \sin{((2n + 1)x)}\cdot\sin{x}.\] 2) Aus $\sin{x}=0$ folgt $x=k\pi$ mit $k\in\IZ$. Insbesondere habe alle $nx$ dieselbe Gestalt. Daher sind alle Summanden auf linken Seite der Gleichung 0.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.130 begonnen.]



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ZePhoCa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.133, eingetragen 2019-04-27


Aufgabe 080931:
Marlies erklärt Claus-Peter ein Verfahren, nach dem man, wie sie meint, die Quadrate der natürlichen Zahlen von 26 bis 50 leicht ermitteln kann, wenn man die Quadrate der natürlichen Zahlen bis 25 auswendig weiß.
”Wenn du beispielsweise das Quadrat von 42 berechnen willst, dann bildest du die Ergänzung dieser Zahl bis 50 und quadrierst sie. Das wäre in diesem Falle 64.
Davor setzt du die Differenz zwischen deiner Zahl und 25, in deinem Falle also 17.
Die so gebildete Zahl, hier also 1764, ist bereits das gesuchte Quadrat von 42.”
Prüfen Sie die Richtigkeit dieses Verfahrens für alle Zahlen des angegebenen Bereichs!

Lösung:

Wir betrachten drei Fälle. Sei immer $x$ die betrachtete Zahl.
1) Das Quadrat der Ergänzung der Zahl zu 50 ist einstellig (d.h. $x \in \lbrace 47,\ldots,50 \rbrace$). Da $(50-x)^2$ einstellig ist, ist die gebildete Zahl dann $10(x-25)+(50-x)^2 = x^2-90x+2250$. Das ist genau dann gleich $x^2$ wenn $x=25$, dies liegt aber nicht im betrachteten Bereich. Für diese Zahlen funktioniert das Verfahren also nicht.
2) Das Quadrat der Ergänzung der Zahl zu 50 ist zweistellig (d.h. $x \in \lbrace 41,\ldots,46 \rbrace$). Dann erhält man mit dem Verfahren die Zahl $100(x-25)+(50-x)^2 = x^2$, hier funktioniert das Verfahren also.
3) Das Quadrat der Ergänzung der Zahl zu 50 ist dreistellig (d.h. $x \in \lbrace 26,\ldots,40 \rbrace$). Dann erhält man mit dem Verfahren die Zahl $1000(x-25)+(50-x)^2 = x^2+900x-22500$ und dies ist genau dann gleich $x^2$ wenn $x=25$, was nicht im betrachteten Bereich liegt.

Also geht das Verfahren genau dann, wenn $x$ zwischen 41 und 46 liegt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.130 begonnen.]



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.134, eingetragen 2019-04-27


2019-04-27 20:30 - cyrix in Beitrag No. 130 schreibt:
Es ist <math>\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)</math>, <math>\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)</math> und <math>\sin(3x)=\sin(2x+x)=\sin(2x)\cos(x)+\cos(2x)\sin(x)=2\sin(x)\cos^2(x)+\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)=3(1-\sin^2(x))\sin(x)-\sin^3(x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)</math>.

Das lässt sich auch gleich für 071245 nutzen:



Damit lässt sich die linke Seite schreiben als:

\(\displaystyle \sin x+\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{1}{3}\sin 3x=\sin x+\sin x \cos x+ \frac{1}{3}\sin x\left(3-4\sin^2 x\right)=\sin x\left(1+\cos x+1-\frac{4}{3}\left(1-\cos^2 x\right)\right)\)

Und damit geht in die Ungleichung über in:

\(\displaystyle \sin x\left(\frac{4}{3}\cos^2 x+ \cos x+\frac{2}{3}\right)>0\)

Und das sollte nun nicht mehr so schwer zu zeigen sein.

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.130 begonnen.]



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Aufgabe 051044:
Man berechne die Differenz D aus der Summe der Quadrate aller geraden natürlichen Zahlen <math>\leq 100</math> und der Summe der Quadrate aller ungeraden natürlichen Zahlen <math>< 100</math>!

Lösung:

Es gilt: Summe der ungeraden Quadrate <100 = $\sum_{i=1}^{50} (2i-1)^2$ und Summe der geraden Quadrate $\leq$100 = $\sum_{i=1}^{50} (2i)^2$. Also gilt

$D = \sum_{i=1}^{50} (2i)^2 - \sum_{i=1}^{50} (2i-1)^2 = \sum_{i=1}^{50} 4i^2 - \sum_{i=1}^{50} (4i^2-4i+1) = -50+\sum_{i=1}^{50} 4i = -50+4 \cdot \frac{50}{2} \cdot 51 = 5050.$



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.136, eingetragen 2019-04-27


Und noch einmal Trigonometrie: Aufgabe 061233:

Es sind alle diejenigen reellen Zahlen <math>x</math> in den Intervallen <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> und <math>\frac{\pi}{2}<x<\pi</math> anzugeben, für die

<math>f(x)=\sin x+ \cos x +\tan x + \cot x</math>

positiv ist und alle diejenigen reellen Zahlen <math>x</math> in den selben Intervallen, für die <math>f(x)</math> negativ ist.

Gibt es einen kleinsten positiven Wert, den <math>f(x)</math> in den obigen Intervallen annimmt, und wenn ja, welcher Wert ist dies?


Lösung:

Für <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> sind sowohl <math>\sin x</math> als auch <math>\cos x</math>, und damit auch <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> und <math>\cot x=\frac{1}{\tan x}</math> allesamt positiv, also auch <math>f(x)</math>.

Für <math>\frac{\pi}{2}<x<\pi</math> ist zwar weiterhin <math>\sin x</math> positiv, aber <math>\cos x</math> und damit auch <math>\tan x</math> und <math>\cot x</math> negativ. Wegen <math>0>\cos x>-1</math> ist <math>\frac{1}{\cos x}<-1</math>, also <math>\tan x < -\sin x</math> und damit <math>f(x)<\sin x + \cos x - \sin x + \cot x =\cos x + \cot x < 0</math>.

Positive Werte nimmt <math>f</math> also nur auf dem ersten Intervall an. Dort betrachten wir nun die zwei Funktionen <math>f_1(x)=\sin x + \cos x</math> und <math>f_2(x)=\tan x + \cot x=\tan x + \frac{1}{\tan x}</math>. Damit ist wegen <math>\tan x > 0</math> direkt <math>f_2(x)\geq 2</math>, wobei Gleichheit nur für <math>\tan x=1</math>, also <math>x=\frac{\pi}{4}</math> als einzigem Wert im betrachteten Intervall, angenommen wird.

Für die Analyse von <math>f_1</math> betrachten wir deren Ableitungsfunktion <math>f_1^{\prime}(x)=\cos x - \sin x</math>, welche im betrachteten Intervall wieder nur genau für <math>x=\frac{\pi}{4}</math> verschwindet. Da in diesem Intervall die Cosinus-Funktion streng monoton fallend und die Sinus-Funktion streng monoton steigend ist, ist auch <math>f_1^{\prime}</math> streng monoton fallend und nimmt demnach für Argumente <math>x</math> kleiner als <math>\frac{\pi}{4}</math> positive, und für größere Argumente negative Werte an. Demzufolge ist die Funktion <math>f_1</math> im Intervall <math>0<x<\frac{\pi}{4}</math> streng monoton wachsend und im Intervall <math>\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}</math> streng monoton fallend. Also ist <math>f_1(x)\geq f_1\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}</math>, wobei Gleichheit nur für <math>x=\frac{\pi}{4}</math> angenommen wird.

Zusammen ergibt sich also <math>f(x)=f_1(x)+f_2(x)\geq \sqrt{2}+2</math>, wobei Gleichheit genau für <math>x=\frac{\pi}{4}</math> angenommen wird. Es ist also <math>2+\sqrt{2}</math> der gesuchte, kleinste positive Wert, den <math>f</math> im betrachteten Intervall annimmt.

Cyrix



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.137, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-27


Aktueller Stand: 137 Lösungen!

LG Steffen



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.138, eingetragen 2019-04-27


Ist mir auch schon aufgefallen: Es gab damals wirklich viele Trigonometrie Aufgaben. Ist das heute auch noch so? So auch diese:



Dafür darf man sicherlich die Sinus und Kosinuswerte für 0°, 30°, 45°, 60° und 90° benutzen, welche sich als \(\frac{1}{2}\sqrt{k}\) schreiben lassen, wobei \(k\) beim Sinus die Werte von 0 bis 4 und beim Kosinus vom 4 bis 0 durchläuft.

Zudem kann man wieder \(\sin 2x=2\sin x \cos x\) und \(\cos 2x=\cos^2 x- \sin^2 x=1-2\sin^2 x \) nutzen sowie die Additionstheoreme \(\sin(x-y)=\sin x \cos x-\cos x \sin y\) und \(\cos(x-y)=\cos x \cos y +\sin x \sin y\). Damit:

\(\displaystyle \tan(7°30')=\frac{\sin(7'30')}{\cos(7°30')}=\frac{2\sin(7'30')\sin(7'30')}{2\sin(7'30')\cos(7°30')}=\frac{1-\cos(15°)}{\sin(15°)}=\frac{1-\cos(45°-30°)}{\sin(45°-30°)}\)

Und somit:

\(\displaystyle \frac{1-\cos(45°-30°)}{\sin(45°-30°)}=\frac{1-\cos(45°)\cos(30°)-\sin(45°)\sin(30°)}{\sin(45°)\cos(30°)-\cos(45°)\sin(30°)}=\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1-\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}}{\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}}=\frac{(4-\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\frac{4\sqrt{6}+4\sqrt{2}-6-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2}{4}=\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-2\)

Gruß,

Küstenkind

PS:
2019-04-27 20:05 - stpolster in Beitrag No. 129 schreibt:
Ihr seit einfach nur sensationell.

Seid wann?  razz


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.136 begonnen.]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.139, eingetragen 2019-04-27


Und noch etwas Algebra für zwischendurch:

Aufgabe 071244: Sechzehn im Dezimalsystem geschriebene natürliche Zahlen mögen eine geometrische Folge bilden, von der die ersten fünf Glieder neunstellig, fünf weitere zehnstellig, vier elfstellig und zwei weitere zwölfstellig sind.
Man beweise, dass es genau eine Folge mit diesen Eigenschaften gibt.

Lösung:
Seien die Folgenglieder mit $a_0$, $a_1$, $\dots$, $a_{15}$ bezeichnet und es gelte (da die Folge geometrisch ist) $a_i=a_0 \cdot \left(\frac{p}{q}\right)^i$ mit teilerfremden natürlichen Zahlen $p$ und $q$.

Da $a_{15}=a_0 \cdot \frac{p^{15}}{q^{15}}$ ist und $p^{15}$ und $q^{15}$ teilerfremd sind, muss $q^{15}$ ein Teiler von $a_0$ sein. Es ist $a_0<10^9$. Also muss $q<4$ gelten, denn sonst wäre $a_0\geq q^{15}\geq 4^{15}=2^{30}=\left(2^{10}\right)^3=1024^3>1000^3=10^9$.

Wegen $a_9<10^{10}$ und $a_0\geq 10^8$ ist $\left(\frac{p}{q}\right)^9=\frac{a_9}{a_0}<10^2$. Insbesondere ist also $\frac{p}{q}<2$, da sonst $\left(\frac{p}{q}\right)^9\geq 2^9=512>10^2$ wäre.

Als mögliche Quotienten $\frac{p}{q}$ aufeinander folgender Folgenglieder verbleiben also nur die rationalen Zahlen zwischen 1 und 2, welche einen Nenner von höchstens 3 besitzen. Dies sind $\frac{4}{3}$, $\frac{3}{2}$ und $\frac{5}{3}$.

Wegen $a_{14}\geq 10^{11}$ und $a_9<10^{10}$ ist $\left(\frac{p}{q}\right)^5=\frac{a_{14}}{a_9}>10$. Es ist aber $\left(\frac{4}{3}\right)^5<\left(\frac{3}{2}\right)^5=\frac{3^5}{2^5}=\frac{243}{32}<10$, sodass als einzig möglicher Quotient $\frac{p}{q}$ der Wert $\frac{5}{3}$ verbleibt.

Damit gibt es eine natürliche Zahl $n$, sodass $a_i=n \cdot 3^{15-i} \cdot 5^i$ für alle $0\leq i \leq 15$ gilt.

Wegen $n \cdot 3^6 \cdot 5^9 = a_9<10^{10}$ und $3^6 \cdot 5^9=(3^2 \cdot 5^3)^3=(9 \cdot 125)^3=(1000+125)^3>1000^3+3\cdot 1000^2 \cdot 125 = 10^9 + 375 \cdot 10^6 > 1,25 \cdot 10^9=\frac{1}{8} \cdot 10^{10}$ ist $n<8$.

Aus $10^8\leq a_0=n \cdot 3^{15}$ folgt mit $3^{15}= 3^6 \cdot 3 \cdot (3^4)^2=9^3 \cdot 3 \cdot 81^2 = 729 \cdot 3 \cdot 6561 < 750 \cdot 20000 = 1,5 *10^7$, dass $n>6$ ist, denn sonst wäre $a_0 \leq 6 \cdot 1,5 \cdot 10^7=9\cdot 10^7<10^8$.

Damit folgt zusammen, dass die Folge genau aus den Zahlen $a_i=7 \cdot 3^{15-i} \cdot 5^i$ mit $0\leq i\leq 15$ bestehen muss.

Bemerkung: Die Anzahl der Stellen der einzelnen Folgenglieder kann man nun nachrechnen. Dafür eignet sich ein Rechenwerkzeug, kann aber auch von Hand nachvollzogen werden.

Cyrix

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.140, eingetragen 2019-04-27


Um mal eine kleine Lücke zu füllen: 080934:

Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck <math>ABC</math>. Man ermittle das Verhältnis der Inhalte von In- und Umkreisfläche dieses Dreiecks zueinander!

Lösung:

Im gleichseitigen Dreieck fallen Mittelsenkrechten, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende zusammen, insbesondere also auch ihre Mittelpunkte. Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1, wobei der längere Abschnitt in Richtung der Eckpunkte liegt. Demzufolge ist der Umkreisradius genau doppelt so groß wie der Inkreisradius und es ergibt sich ein Verhältnis von 4 zwischen Umkreisfläche und Inkreisfläche.

Cyrix



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.141, eingetragen 2019-04-28

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 6 - 080936
Es sei ABCD ein Rechteck, und es sei P ein Punkt, der nicht notwendig in der Ebene des
Rechtecks zu liegen braucht. P habe vom Eckpunkt A den Abstand a, vom Punkt B den
Abstand b und vom Punkt C den Abstand c.
Man berechne den Abstand d des Punktes P vom Eckpunkt D und zeige dabei, dass zur
Ermittlung dieses Abstandes d die Kenntnis der drei Abstände a, b, c ausreicht.

Lösung
Wir legen alle Punkte so in ein kartesisches Koordinatensystem, dass o.B.d.A. $P=0$ im Ursprung liegt. Das Standardskalarprodukt bezeichnen wir mit $\langle,\rangle$.
Dann ist $a^2=\langle A,A\rangle$, $b^2=\langle D,D\rangle$, $c^2=\langle C,C\rangle$.
Da $AB\perp BC$ gilt außerdem $\langle A-B,B-C\rangle=0$, also $\langle A,B\rangle+\langle B,C\rangle =b^2+\langle A,C\rangle$.

Da $D=A+B-C$ gilt, folgt
\[\begin{align*}
d^2 &= \langle D,D\rangle \\
&= \langle A+B-C,A+B-C\rangle\\
&=\langle A, A+C-B\rangle +\langle C-B,A+C-B\rangle\\
&=a^2+\langle A,C\rangle -\langle A,B\rangle+\langle C-B,A-B\rangle +\langle C-B,C\rangle\\
&= a^2+\langle A,C\rangle -\langle A,B\rangle+0 +c^2-\langle B,C\rangle \\
&= a^2+c^2+ \langle A,C\rangle-\langle A,B\rangle-\langle B,C\rangle\\
&= a^2+c^2-b^2
\end{align*}\] Also gilt $d=\sqrt{a^2+c^2-b^2}$.

\(\endgroup\)


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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.142, eingetragen 2019-04-28


Bei Aufgabe 061225 ist ein Schreibfehler: Bei der Definition von <math>v</math> ist im Zähler die Differenz, nicht die Summe, der beiden <math>n</math>-ten Potenzen zu bilden.

061225: Es seien <math>n, p, r, s</math> natürliche Zahlen. Ferner sei

<math>u=\frac{(r+s\cdot\sqrt{p})^n+(r-s\cdot\sqrt{p})^n}{2}, v=\frac{(r+s\cdot\sqrt{p})^n-(r-s\cdot\sqrt{p})^n}{2\cdot \sqrt{p}}, t=r^2-s^2p, z=u^2-t^n</math>.

Man beweise:
a) <math>u</math> und <math>v</math> sind natürliche Zahlen.
b) Die (somit ganze) Zahl <math>z</math> ist durch <math>v^2</math> ohne Rest teilbar.

Lösung:
zu a) Nach dem binomischen Satz ist <math>(r+s\cdot\sqrt{p})^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} r^k(s\sqrt{p})^{n-k}</math> und analog <math>(r-s\cdot\sqrt{p})^n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k} r^k(s\sqrt{p})^{n-k}</math>. Addiert man nun die beiden Summen, so ergänzen sich die jeweiligen Summanden mit ungeradem <math>n-k</math> zu 0, während die mit geradem <math>n-k</math> in beiden Summen erhalten bleiben und identisch sind. In diesen Fällen erhält man also jeden Summanden doppelt, wobei diese aufgrund des geraden Exponenten von <math>s\sqrt{p}</math> selbst natürliche Zahlen sind. Damit ist der Zähler eine gerade natürliche Zahl und auch nach der Division durch Zwei damit <math>v</math> eine natürliche Zahl.

Analog heben sich bei der Subtraktion die jeweiligen Summanden mit geradem <math>n-k</math> weg, während für diejenigen mit ungeradem <math>n-k</math> sich der doppelte Wert ergibt. In jedem solchem Summanden ist <math>\sqrt{p}</math> in ungerader Potenz enthalten, lässt sich also als geradzahliges, natürliches Vielfaches von <math>\sqrt{p}</math> darstellen, sodass nach der Division durch <math>2\sqrt{p}</math> eine natürliche Zahl <math>v</math> verbleibt.

zu b) Es ist <math>u^2=\frac{(r+s\sqrt{p})^{2n}+(r-s\sqrt{p})^{2n}+2\cdot((r+\s\sqrt{p})(r-s\sqrt{p}))^n}{4}=\frac{(r+s\sqrt{p})^{2n}+(r-s\sqrt{p})^{2n}}{4}+\frac{t^n}{2}</math> und analog <math>v^2=\frac{(r+s\sqrt{p})^{2n}+(r-s\sqrt{p})^{2n}}{4}-\frac{t^n}{2}</math>, also <math>z=u^2-t^n=v^2</math>, was natürlich direkt <math>v^2|z</math> beweist.

Cyrix

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.140 begonnen.]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.143, eingetragen 2019-04-28


Und abschließend für heute eine kleine Geometrie:

061231: In ein und derselben Ebene seien <math>n</math> Punkte (<math>n>2</math>) so verteilt, dass es zu jedem von ihnen unter den übrigen nur einen nächstgelegenen gibt. Zu jedem dieser <math>n</math> Punkte werde der von ihm ausgehende und in dem ihm nächstgelegenen Punkt endende Vektor und nur dieser gezeichnet.
Man ermittle die größtmögliche Anzahl derjenigen unter diesen Vektoren, die dann in einem und demselben der <math>n</math> Punkte enden können.

Lösung:

Die größtmögliche Anzahl ist 5.

Um dies zu zeigen, nehmen wir zuerst an, es gäbe 6 Punkte <math>P_1</math> bis <math>P_6</math>, deren nächstgelegener Punkt jeweils der von ihnen alle verschiedene Punkt <math>Q</math> sei. O.B.d.A. seien die Punkte so bezeichnet, dass die von <math>P_i</math> nach <math>Q</math> verlaufenden Vektoren bei einem in mathematisch positiver Orientierung erfolgenden Umlauf um <math>Q</math> in aufsteigender Reihenfolge getroffen werden. Definieren wir für eine einfachere Notation noch zusätzlich <math>P_7:=P_1</math>, dann zerlegen nun also die 6 Winkel <math>\angle P_iQP_{i+1}</math> den Vollwinkel bei <math>Q</math>. Demzufolge ist mindestens einer unter diesen höchstens <math>60^{\circ}</math> groß, o.B.d.A. sei dies <math>\angle P_1QP_2</math>. Dann ist einer der beiden anderen Innenwinkel des Dreiecks <math>\triangle P_1QP_2</math> mindestens so groß, sei dies o.B.d.A. <math>\angle QP_1P_2</math>. Da aber dem größeren Innenwinkel in einem Dreieck immer auch die größere Seite gegenüberliegt, ist dann auf jeden Fall die Strecke <math>\overline{P_2Q}</math> mindestens so lang wie die Strecke <math>\overline{P_1P_2}</math>, also der Punkt <math>P_1</math> höchstens so weit entfernt von <math>P_2</math> wie <math>Q</math>. Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme, der eindeutig bestimmte nächstgelegene Punkt zu <math>P_2</math> wäre <math>Q</math> gewesen. Also können höchstens 5 Vektoren in einem Punkt ankommen.

Dass dies auch wirklich möglich ist, zeigt die Konstellation eines regelmäßigen Fünfecks sowie seines Mittelpunkts. Dann führt die eben durchgeführte Überlegung in jedem Fall dazu, dass die Verbindungsstrecke zweier "benachbarter" Eckpunkte immer länger ist als die jeweiligen Radien. (Und die übrigen Diagonalen sind sowieso noch länger.)

Cyrix



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Nuramon
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 080922:
Von einem Dreieck <math>\Delta ABC</math> seien die Längen zweier Seiten und die Länge der Winkelhalbierenden des von diesen beiden Seiten eingeschlossenen Winkels bekannt.
Berechnen Sie die Länge derjenigen Sehne des Umkreises des Dreiecks, die durch Verlängerung der erwähnten Winkelhalbierenden entsteht!

Lösung (ohne Skizze)
Es seien die Seitenlängen $c$ von $AB$ und $b$ von $AC$, so wie die Länge $w$ der Winkelhalbierende des Winkels $\sphericalangle BAC$ bekannt.
Es sei $E$ der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Seite $BC$ und es sei $D$ der Schnittpunkt der Verlängerung von $w$ mit dem Umkreis. Gesucht ist die Länge $x$ der Sehne $AD$.

Nach Umfangswinkelsatz gilt $\sphericalangle BCA = \sphericalangle BDA$.
Per Definition der Winkelhalbierenden $w$ gilt außerdem $\sphericalangle BAD = \sphericalangle EAC$.
Also stimmen die Dreiecke $ABD$ und $AEC$ in zwei Winkeln überein und sind somit ähnlich.
Insbesondere gilt also $\frac xc = \frac bw $, d.h. $x = \frac {bc}w$.

\(\endgroup\)


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\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-04-28 02:23 - Nuramon in Beitrag No. 144 schreibt:
Aufgabe 080922:
Von einem Dreieck <math>\Delta ABC</math> seien die Längen zweier Seiten und die Länge der Winkelhalbierenden des von diesen beiden Seiten eingeschlossenen Winkels bekannt.
Berechnen Sie die Länge derjenigen Sehne des Umkreises des Dreiecks, die durch Verlängerung der erwähnten Winkelhalbierenden entsteht!

Lösung (ohne Skizze)
Es seien die Seitenlängen $c$ von $AB$ und $b$ von $AC$, so wie die Länge $w$ der Winkelhalbierende des Winkels $\sphericalangle BAC$ bekannt.
Es sei $E$ der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Seite $BC$ und es sei $D$ der Schnittpunkt der Verlängerung von $w$ mit dem Umkreis. Gesucht ist die Länge $x$ der Sehne $AD$.

Nach Umfangswinkelsatz gilt $\sphericalangle BCA = \sphericalangle BDA$.
Per Definition der Winkelhalbierenden $w$ gilt außerdem $\sphericalangle BAD = \sphericalangle EAC$.
Also stimmen die Dreiecke $ABD$ und $AEC$ in zwei Winkeln überein und sind somit ähnlich.
Insbesondere gilt also $\frac xc = \frac bw $, d.h. $x = \frac {bc}w$.



Ich finde es besser, einfache Bezeichnungen und möglichst übliche Bezeichnungen zu verwenden.

"<math>\sphericalangle BAD</math>" usw. macht das ganze unnötig kompliziert, weil man dann immer überlegen muss, was gemeint ist.


Ohne Bild immer etwas verwirrend; daher mal mein Senf dazu:
________________________________________________
________________________________________________
Aufgabe 080922:
<math>
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
%\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
% Winkelhalbierende
\pgfmathsetmacro{\wa}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\WD}{\b*\c/\wa-\wa} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen


% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Winkelhalbierende
\draw[thick] (A) -- (0.5*\Alpha:\wa) coordinate[Punkt={above=3pt}{W}] (Wa);
% Verlngerung
\draw[thick, red] (Wa) --+ ($(A)!\WD cm!(Wa)$) coordinate[Punkt={right}{D}] (D) node[midway, above, sloped]{$x$};

% Kreissehnen
\draw[densely dashed] (D) -- (B);

% Winkel
\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.7,
draw,   "$\alpha/2$", double
] {angle =B--A--Wa};
\draw pic [angle radius=6mm, angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\alpha/2$", double
] {angle =Wa--A--C};

\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\gamma$", red
] {angle =A--C--B};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\gamma$", red
] {angle =A--D--B};

% Abbotationen Dreieck
\draw[thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$c$};
\draw[thick] (A) -- (C) node[midway, left] {$b$};
\draw[thick] (A) -- (Wa) node[near end, sloped, above] {$w$}; %w_\alpha

%% Punkte
\foreach \P in {Wa,D}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%R = \R \text{ cm}  &  \\
%w_\alpha = \wa \text{ cm}  &  \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};

\end{tikzpicture}
</math>

Zeichnet man die Verbindung <math>|DB|</math> ein, so erhält man gemäß dem Umfangswinkelsatz gleiche Umfangswinkel (<math>\gamma</math>) bei <math>C</math> und <math>D</math> über dem Kreisbogen <math>AB</math>.

Demnach sind die Dreiecke <math>AWC</math> und <math>ABD</math> ähnlich, da sie zwei gleiche Winkel haben (<math>\gamma</math> und <math>\dfrac{\alpha}{2}</math>).

Entsprechend gelten die Seitenverhältnisse
<math>
\dfrac{b}{w} = \dfrac{w+x}{c}
~~~\Leftrightarrow~~~
\dfrac{bc}{w}-w = x = |WD|
</math>     für die Verlängerung
bzw.     <math>
|AD| = x+w = \dfrac{bc}{w}
</math>     für die ganze Sehne.
________________________________________________
________________________________________________















Mit der richtigen Vorlage geht das schnell.
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{5} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
%\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
% Winkelhalbierende
\pgfmathsetmacro{\wa}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\WD}{\b*\c/\wa-\wa} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
 
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Winkelhalbierende
\draw[thick] (A) -- (0.5*\Alpha:\wa) coordinate[Punkt={above=3pt}{W}] (Wa); 
% Verlängerung
\draw[thick, red] (Wa) --+ ($(A)!\WD cm!(Wa)$) coordinate[Punkt={right}{D}] (D) node[midway, above, sloped]{$x$}; 
 
% Kreissehnen
\draw[densely dashed] (D) -- (B); 
 
% Winkel
\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.7, 
draw,   "$\alpha/2$", double
] {angle =B--A--Wa}; 
\draw pic [angle radius=6mm, angle eccentricity=1.5, 
draw,   "$\alpha/2$", double
] {angle =Wa--A--C}; 
 
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.5, 
draw,   "$\gamma$", red
] {angle =A--C--B}; 
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.5, 
draw,   "$\gamma$", red
] {angle =A--D--B}; 
 
% Abbotationen Dreieck
\draw[thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$c$}; 
\draw[thick] (A) -- (C) node[midway, left] {$b$}; 
\draw[thick] (A) -- (Wa) node[near end, sloped, above] {$w$}; %w_\alpha
 
%% Punkte
\foreach \P in {Wa,D}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
 
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%R = \R \text{ cm}  &  \\ 
%w_\alpha = \wa \text{ cm}  &  \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
%\end{array}$
%};
 
\end{tikzpicture}
 
\end{document}


\(\endgroup\)


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Ex_Senior
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Eine Alternativ-Lösung zur 051231: Es ist zu beweisen, dass die Zahl <math>z=2^n+ 1</math> für keine natürliche Zahl <math>n\geq 0</math> Kubikzahl ist.

Lösung: Gäbe es ein solches <math>z</math>, dass Kubikzahl wäre, so also auch eine natürliche Zahl <math>k</math> mit <math>2^n+1=k^3</math> bzw. <math>2^n=k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)</math>. Insbesondere wären sowohl <math>k-1</math> als auch <math>k^2+k+1</math> Teiler einer Zweierpotenz und damit selbst Zweierpotenzen. Wegen <math>k-1<k^2+k+1</math> müsste <math>k-1|k^2+k+1</math> folgen, was aber wegen <math>k^2+k+1-(k-1)(k+2)=k^2+k+1-(k^2+k-2)=3</math> auf <math>k=1</math> oder <math>k=3</math> führt. Jedoch sind weder <math>1^3-1=0</math> noch <math>3^3-1=26</math> Zweierpotenzen, sodass es keine solche Zahlen gibt.

Bemerkung: Damit spart man sich die m.E. etwas umständlichere Rechnung der im Skript angegebenen Lösung.

Cyrix



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<math>
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{4.3} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.7} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{90} %

\pgfmathsetmacro{\c}{sqrt(\a^2+\b^2)} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={left}{C}] (C) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (\b,0);
\coordinate[Punkt={above}{B}] (B) at (\Gamma:\a);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\bullet$", draw, thick,
] {angle =A--C--C};


% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={above}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];
% Umkreisradius
\draw[] (U) -- ($(U)!\R cm!-90:(B)$) node[midway, right]{$R$};


% Inkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\F/\s} %

% Inkreis
\pgfmathsetmacro{\ai}{\a/(2*\s)} %
\pgfmathsetmacro{\bi}{\b/(2*\s)} %
\pgfmathsetmacro{\ci}{\c/(2*\s)} %
\coordinate[Punkt={above=4pt}{I}] (I) at ($\ai*(A)+\bi*(B)+\ci*(C)$);

\draw[] (I) circle[radius=\r];
\foreach \P in {A,B,C} \draw[densely dashed, thin] (I) -- (\P);
% Berhrpunkte
\draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(B)$) coordinate[Punkt={right}{T_c}] (Tc)  node[midway, right]{$r$};
\draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(C)$) coordinate[Punkt={below}{T_b}] (Tb)  node[midway, left]{$r$};
\draw[] (I) -- ($(B)!(I)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{T_a}] (Ta)  node[midway, below]{$r$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw
] {angle =I--Ta--B};
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =A--Tb--I};
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =B--Tc--I};

% Annotationen - Dreieck
\draw[red] (Ta) -- (B) node[midway, left]{$a-r$};
\draw[red] (Tc) -- (B) node[midway, right]{$a-r$};
\draw[blue] (Tc) -- (A) node[midway, right]{$b-r$};
\draw[blue] (Tb) -- (A) node[midway, below]{$b-r$};

%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%R = \R \text{ cm}  &  \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};

%% Punkte
\foreach \P in {Ta,Tb,Tc,I,U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\pgfmathsetmacro{\textbreite}{2*\R+1} %

\node[below, anchor=north west, align=left, text width=2.5*\R cm, draw=none, inner sep=1pt,
xshift=1.6*\R cm,  yshift=5mm,
font=\normalsize,
%fill=black!1, draw=red,
] at (B){%\vspace{-1em}
Sei $ABC$ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $c$, d.h. $\gamma=90^\circ$; und sei $R$ der Umkreisradius, $r$ der Inkreisradius. \\
\begin{itemize}
\item Die Betrachtung der Berhrpunkte $T_a, T_b, T_c$ des Inkreises liefert $c = (a-r) + (b-r)$
\item Nach dem \emph{erweiterten Sinussatz} ist $\sin(\gamma) = \dfrac{c}{2R} = 1 = \sin(90^\circ)
~\Leftrightarrow~ c=2R$.
\item Damit wird $2R = (a-r) + (b-r)
~\Leftrightarrow~ 2r + 2R = a+b$.
\end{itemize}
};


\end{tikzpicture}
</math>

LaTeX
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{4.3} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.7} %  
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{90} % 
 
\pgfmathsetmacro{\c}{sqrt(\a^2+\b^2)} %  
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\coordinate[Punkt={left}{C}] (C) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (\b,0); 
\coordinate[Punkt={above}{B}] (B) at (\Gamma:\a); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % 
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\bullet$", draw, thick, 
] {angle =A--C--C};
 
 
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={above}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
% Umkreisradius
\draw[] (U) -- ($(U)!\R cm!-90:(B)$) node[midway, right]{$R$};
 
 
% Inkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\r}{\F/\s} %  
 
% Inkreis
\pgfmathsetmacro{\ai}{\a/(2*\s)} %  
\pgfmathsetmacro{\bi}{\b/(2*\s)} %  
\pgfmathsetmacro{\ci}{\c/(2*\s)} %  
\coordinate[Punkt={above=4pt}{I}] (I) at ($\ai*(A)+\bi*(B)+\ci*(C)$); 
 
\draw[] (I) circle[radius=\r];
\foreach \P in {A,B,C} \draw[densely dashed, thin] (I) -- (\P);
% Berührpunkte
\draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(B)$) coordinate[Punkt={right}{T_c}] (Tc)  node[midway, right]{$r$}; 
\draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(C)$) coordinate[Punkt={below}{T_b}] (Tb)  node[midway, left]{$r$}; 
\draw[] (I) -- ($(B)!(I)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{T_a}] (Ta)  node[midway, below]{$r$}; 
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw
] {angle =I--Ta--B};
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =A--Tb--I};
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =B--Tc--I};
 
% Annotationen - Dreieck
\draw[red] (Ta) -- (B) node[midway, left]{$a-r$};
\draw[red] (Tc) -- (B) node[midway, right]{$a-r$};
\draw[blue] (Tc) -- (A) node[midway, right]{$b-r$};
\draw[blue] (Tb) -- (A) node[midway, below]{$b-r$};
 
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%R = \R \text{ cm}  &  \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
%\end{array}$
%};
 
%% Punkte
\foreach \P in {Ta,Tb,Tc,I,U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\pgfmathsetmacro{\textbreite}{2*\R+1} %  
 
\node[below, anchor=north west, align=left, text width=2.5*\R cm, draw=none, inner sep=1pt, 
xshift=1.6*\R cm,  yshift=5mm, 
font=\normalsize, 
%fill=black!1, draw=red,
] at (B){%\vspace{-1em}
Sei $ABC$ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $c$, d.h. $\gamma=90^\circ$; und sei $R$ der Umkreisradius, $r$ der Inkreisradius. \\
\begin{itemize}
\item Die Betrachtung der Berührpunkte $T_a, T_b, T_c$ des Inkreises liefert $c = (a-r) + (b-r)$ 
\item Nach dem \emph{erweiterten Sinussatz} ist $\sin(\gamma) = \dfrac{c}{2R} = 1 = \sin(90^\circ)
~\Leftrightarrow~ c=2R$.
\item Damit wird $2R = (a-r) + (b-r)
~\Leftrightarrow~ 2r + 2R = a+b$.
\end{itemize}
};
 
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}




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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.148, eingetragen 2019-04-28

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-04-28 05:51 - HyperPlot in Beitrag No. 145 schreibt:
Ohne Bild immer etwas verwirrend; daher mal mein Senf dazu
Da stimme ich dir zu. Ich hatte auch darauf gehofft, dass du mir die Arbeit abnimmst razz
Vielen Dank!

Aufgabe 090922:
Jemand behauptet:
Wenn von zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> jede die Eigenschaft hat, sich als Summe der Quadrate zweier natürlicher Zahlen darstellen zu lassen, dann hat auch das Produkt von <math>a</math> und <math>b</math> diese Eigenschaft.
a) Geben Sie ein Zahlenbeispiel an!
b) Beweisen Sie diesen Satz!

Lösung
a) $5\cdot 25= (1+4)(9+16)=125 =25+100= 5^2+10^2 $.
b) Sei $a=p^2+q^2, b= r^2+s^2$ mit $p,q,r,s\in \IN$. Dann gilt
\[\begin{align*}ab  &=(p^2+q^2)(r^2+s^2)\\
&= \det\begin{pmatrix}p& q\\ -q &p\end{pmatrix}\det \begin{pmatrix}r&s\\-s&r\end{pmatrix} \\
&= \det\begin{pmatrix}pr-qs & ps+qr \\ -(ps+qr) & pr-qs\end{pmatrix} \\
&= (pr-qs)^2+(ps+qr)^2
\end{align*}\]



\(\endgroup\)


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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.149, eingetragen 2019-04-28


Zum Gleichungssystem 071225: Es sind alle geordneten Paare reeller Zahlen <math>(x,y)</math> anzugeben, für die das Gleichungssystem

<math>x \cdot (ax^2+by^2 -a) = 0</math> und <math>y \cdot (ax^2+by^2 -b) = 0</math> erfüllt ist. Dabei sind <math>a</math> und <math>b</math> reelle Zahlen mit <math>a\neq 0</math>, <math>b\neq 0</math> und <math>a\neq b</math>.

Lösung:

Wir führen eine Fallunterscheidung durch:

1. Fall: <math>x=0</math>. Dann geht die zweite Gleichung über in <math>y \cdot b \cdot (y^2-1)=0</math>, was wegen <math>b\neq 0</math> auf <math>y=0</math> oder <math>y=\pm 1</math> führt. Für alle drei Elemente <math>(x,y)\in\{(0,-1),(0,0),(0,1)\}</math> bestätigt die Probe, dass es sich tatsächlic um Lösungen des Gleichungssystems handelt.

2. Fall: <math>x\neq 0</math>. Dann folgt aus der ersten Gleichung <math>ax^2+by^2-a=0</math>, also aufgrund <math>a\neq b</math> damit <math>ax^2+by^2-b\neq 0</math>, sodass aus aus der zweiten Gleichung direkt <math>y=0</math> folgt. Dies in die eben erhaltene Gleichung eingesetzt, liefert <math>ax^2-a=0</math> bzw. <math>x=\pm 1</math>. Auch hier sind wieder alle Elemente der Menge <math>\{(-1,0), (1,0)\}</math> Lösungen des Gleichungssystems, wie die Probe bestätigt.

Damit hat das angegebenene Gleichungssystem insgesamt fünf Lösungen, die in den beiden Fällen notiert wurden.

Cyrix

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.147 begonnen.]



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.150, eingetragen 2019-04-28


Aufgabe 041226

2019-04-25 21:09 - StrgAltEntf in Beitrag No. 82 schreibt:
2019-04-25 10:50 - Caban in Beitrag No. 70 schreibt:
Hallo

So jetzt sollte es passen:

Die gesuchte Fläche sind zwei Kreissegmente des Kreises mit dem Radius r und mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt M. Die Sehne des ersten Kreissegments liegt auf der Gerade y=x+r/2 und das Segment liegt oberhalb dieser Geraden. Die Sehne des zweiten Segments liegt auf der Gerade y=x-r/2, das Segment liegt unterhalb.

Ja, so passt es. Es ist noch zu ergänzen, dass die Ränder der beiden Kreissegmente nicht zur gesuchten Menge gehören.

Außerdem könnte man zur Lösung noch ergänzen:

Es ist \(|x-y|>r\) \(\iff\) \(x-y>r\) oder \(x-y<-r\) \(\iff\) \(y<x-r\) oder \(y>x+r\).
Folglich gehören nur solche Punkte \((x,y)\) zur Menge, die unterhalb der Gerade \(y=x-r\) oder oberhalb der Geraden \(y=x+r\) liegen.

Hier muss noch einmal nachgebessert werden - hatte ich übersehen. Die beiden Geraden lauten nicht y=x+r/2 und y=x-r/2, sondern y=x+r und y=x-r.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.151, eingetragen 2019-04-28


Guten Morgen!

Hier noch eine Trigonometrie-Aufgabe.



Dabei verwende ich \(\sin x \sin y = \frac{1}{2}\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)\) und \(\sin x\cos y=\frac{1}{2}\left(\sin(x-y)+\sin(x+y)\right)\). Mit der Doppelwinkelfunktion des Sinus und den bekannten Sinuswerten für 30° und 45° lässt sich das Produkt zunächst schreiben als \(\frac{1}{64}\sqrt{2} \sin 10° \sin 50° \sin 70°\). Das verbleibende Produkt der Sinuswerte lässt sich vereinfachen zu:

\(\displaystyle \sin 10° \sin 50° \sin 70°=\frac{1}{2}\left(\cos 40°-\cos 60°\right)\sin 70°=\frac{1}{4}\left(2 \cos 40° \sin 70°-\sin 70°\right) =\frac{1}{4}\left(\sin 30°+\sin 110°- \sin 70°\right)=\frac{1}{8} \)

Somit ist der Produktwert \(\frac{1}{512}\sqrt{2}\).

Einen schönen Sonntag wünscht,

Küstenkind



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weird
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2019-04-28 10:44 - cyrix in Beitrag No. 149 schreibt:
Zum Gleichungssystem 071225: Es sind alle geordneten Paare reeller Zahlen <math>(x,y)</math> anzugeben, für die das Gleichungssystem

<math>x \cdot (ax^2+by^2 -a) = 0</math> und <math>y \cdot (ax^2+by^2 -b) = 0</math> erfüllt ist. Dabei sind <math>a</math> und <math>b</math> reelle Zahlen mit <math>a\neq 0</math>, <math>b\neq 0</math> und <math>a\neq b</math>.

Lösung:

Wir führen eine Fallunterscheidung durch:

1. Fall: <math>x=0</math>. [..]
2. Fall: <math>x\neq 0</math>. [..]

Interessanterweise kann man die Aufgabe auch ohne jede Fallunterscheidung lösen - jetzt natürlich nur als Randbemerkung für Gourmets.  wink

Dazu muss man sich zunächst überlegen, dass $xy=0$ sein muss, da andernfalls die Klammerausdrücke in den zwei gegebenen Gleichungen 0 wären, was ja dann sofort auf den Widerspruch $a=b$ führen würde. Durch Ausmultiplizieren der Gleichungen, Einsetzen von $xy=0$ und Kürzen durch $a$ bzw. $b$ ergibt sich dann, dass das gegebene Gleichungssystem äquivalent ist zu einem anderen, in dem $a$ und $b$ dann gar nicht mehr vorkommen, nämlich
\[ xy=0,\ x^3=x, \ y^3=y\] mit den 5 offensichtlichen Lösungen $(x,y)\in\{(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)\}$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.150 begonnen.]



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Nuramon
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 3 - 071223
Beweisen Sie, dass für alle nicht negativen reellen Zahlen $a,b,c$ gilt:
\[a^3+b^3+c^3 \geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\]
Anmerkung: Ich gehe davon aus, dass es $\geq$ und nicht $>$ heißen soll (Tippfehler in der Aufgabensammlung?).

Beweis
Die Umordnungsungleichung besagt insbesondere, dass für beliebige reelle Zahlen $x_1\geq x_2 \geq x_3$ und $y_1\geq y_2\geq y_3$ gilt:
\[x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 \geq x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1 \] und
\[x_1y_1+x_2y_3+x_3y_2\geq x_1y_3+x_2y_2+x_3y_1.\]
Falls eine der Zahlen $a,b,c$ Null ist, dann ist
\[a^3+b^3+c^3 \geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\] erfüllt, denn es steht auf der linken Seite eine nichtnegative Zahl und auf der rechten Seite $0$.

Seien also $a,b,c$ positiv. Da die zu beweisende Ungleichung symmetrisch in $a,b,c$ ist, können wir o.B.d.A. annehmen, dass $a\geq b\geq c$.
Nach Division durch $\sqrt{abc}$ auf beiden Seiten bleibt zu zeigen, dass
\[\frac{a^{2,5}}{\sqrt{bc}}+\frac{b^{2.5}}{\sqrt{ac}}+\frac{c^{2.5}}{\sqrt{ab}} \geq a^{1.5}+b^{1.5}+c^{1.5}\] gilt.
Wegen $a^{2.5} \geq b^{2.5}\geq c^{2.5}$ und $\frac 1{\sqrt{bc}}\geq \frac 1{\sqrt{ac}}\geq \frac 1{\sqrt{ab}}$ gilt also nach Umordnungsungleichung
\[\begin{align*}
\frac{a^{2,5}}{\sqrt{bc}}+\frac{b^{2.5}}{\sqrt{ac}}+\frac{c^{2.5}}{\sqrt{ab}}
&\geq \frac{a^{2,5}}{\sqrt{ac}}+\frac{b^{2.5}}{\sqrt{ab}}+\frac{c^{2.5}}{\sqrt{bc}} \\
&= \frac{a^2}{\sqrt c}+\frac{b^2}{\sqrt a}+\frac{c^2}{\sqrt b}
\end{align*}\] Wegen $a^2\geq b^2\geq c^2$ und $\frac1{\sqrt c}\geq \frac1{\sqrt b}\geq \frac1{\sqrt a}$ gilt nach Umordnungsungleichung
\[\begin{align*}
\frac{a^2}{\sqrt c}+\frac{b^2}{\sqrt a}+\frac{c^2}{\sqrt b}
&\geq \frac{a^2}{\sqrt a}+\frac{b^2}{\sqrt b}+\frac{c^2}{\sqrt c}\\
&=a^{1.5}+b^{1.5}+c^{1.5},
\end{align*}\] woraus die Behauptung folgt.





[Die Antwort wurde nach Beitrag No.150 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Ex_Senior
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@Nuramon: Jep, da war ein Tippfehler in der Aufgabenstellung. (Für <math>a=b=c</math> -- und auch nur dann -- gilt ja Gleichheit.)

Schöne Lösung. :)

Cyrix



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HyperPlot
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<math>% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  6
\pgfmathsetmacro{\b}{4} %  4
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 4.5
\pgfmathsetmacro{\d}{3} % 3

\pgfmathsetmacro{\a}{5} %  6
\pgfmathsetmacro{\b}{3} %  4
\pgfmathsetmacro{\c}{3} % 4.5
\pgfmathsetmacro{\d}{2.5} % 3

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\d^2+(\a-\c)^2-\b^2)/(2*\d*(\a-\c))}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\b^2+(\a-\c)^2-\d^2)/(2*\b*(\a-\c))}
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Beta} %
\pgfmathsetmacro{\Delta}{180-\Alpha} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Trapezkonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{D}] (D) at (\Alpha:\d);
%\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (180-\Beta:\b);
\draw[local bounding box=trapez] (A) -- (B) --+ (180-\Beta:\b) coordinate[Punkt={above}{C}] (C) -- (D) --cycle;

% Parallelogramm
\coordinate[Punkt={below}{H}] (H) at (\a-\c,0);
\draw[densely dashed] (H) -- (D) node[midway, right]{$b$};

% Annotationen Trapez
%\path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$a$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$b$};
\path[] (C) -- (D) node[midway, above]{$c$};
\path[] (D) -- (A) node[midway, left]{$d$};

\path[] (A) -- (H) node[midway, below]{$a-c$};
\path[] (H) -- (B) node[midway, below]{$c$};


%%% Punkte
\foreach \P in {H}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);


% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c,\d)} %
\begin{scope}[shift={($(trapez.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 1] \s/\S in {a/a,b/b,c/c,d/d}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
%"$\alpha$",
%] {angle =R--Q--P};


%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of trapez, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(trapez.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%d = \d \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%\delta = \Delta^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};

\node[anchor=north west, align=left,
text width=\textwidth, %2*\x cm,
xshift=0,  yshift=-1.5cm,
font=\normalsize,
inner sep=1pt,
%draw=red, fill=black!1
] at (strecken.south west){%\vspace{-1em}
Planfigur. Sei $a>c$. Whlt man auf der Seite $|AB|=a$ einen Punkt $H$ so, dass $|HB|=c$, erhlt man durch die Verbindung $|HD|$ das Parallelogramm $HBCD$. \\[1.5\baselineskip]
Damit ergibt sich folgende Konstruktion:
};




\end{tikzpicture}
</math>


LaTeX

Planfigur
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  6
\pgfmathsetmacro{\b}{4} %  4
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 4.5
\pgfmathsetmacro{\d}{3} % 3
 
\pgfmathsetmacro{\a}{5} %  6
\pgfmathsetmacro{\b}{3} %  4
\pgfmathsetmacro{\c}{3} % 4.5
\pgfmathsetmacro{\d}{2.5} % 3
 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\d^2+(\a-\c)^2-\b^2)/(2*\d*(\a-\c))} 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\b^2+(\a-\c)^2-\d^2)/(2*\b*(\a-\c))} 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Beta} % 
\pgfmathsetmacro{\Delta}{180-\Alpha} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Trapezkonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={above}{D}] (D) at (\Alpha:\d); 
%\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (180-\Beta:\b); 
\draw[local bounding box=trapez] (A) -- (B) --+ (180-\Beta:\b) coordinate[Punkt={above}{C}] (C) -- (D) --cycle;
 
% Parallelogramm
\coordinate[Punkt={below}{H}] (H) at (\a-\c,0); 
\draw[densely dashed] (H) -- (D) node[midway, right]{$b$};
 
% Annotationen Trapez
%\path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$a$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$b$};
\path[] (C) -- (D) node[midway, above]{$c$};
\path[] (D) -- (A) node[midway, left]{$d$};
 
\path[] (A) -- (H) node[midway, below]{$a-c$};
\path[] (H) -- (B) node[midway, below]{$c$};
 
 
%%% Punkte
\foreach \P in {H}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
 
% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c,\d)} %
\begin{scope}[shift={($(trapez.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 1] \s/\S in {a/a,b/b,c/c,d/d}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\alpha$}, pic text options={}, 
%"$\alpha$", 
%] {angle =R--Q--P};
 
 
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of trapez, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(trapez.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%d = \d \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%\delta = \Delta^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
%\end{array}$
%};
 
\node[anchor=north west, align=left,
text width=\textwidth, %2*\x cm, 
xshift=0,  yshift=-1.5cm, 
font=\normalsize,
inner sep=1pt, 
%draw=red, fill=black!1
] at (strecken.south west){%\vspace{-1em}
Planfigur. Sei $a>c$. Wählt man auf der Seite $|AB|=a$ einen Punkt $H$ so, dass $|HB|=c$, erhält man durch die Verbindung $|HD|$ das Parallelogramm $HBCD$. \\[1.5\baselineskip]
Damit ergibt sich folgende Konstruktion:
};
 
 
 
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}


Konstruktion
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb, enumerate}
 
\begin{document}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  6
\pgfmathsetmacro{\b}{4} %  4
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 4.5
\pgfmathsetmacro{\d}{3} % 3
 
%\pgfmathsetmacro{\a}{5} %  6
%\pgfmathsetmacro{\b}{3} %  4
%\pgfmathsetmacro{\c}{3} % 4.5
%\pgfmathsetmacro{\d}{2.5} % 3
 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\d^2+(\a-\c)^2-\b^2)/(2*\d*(\a-\c))} 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\b^2+(\a-\c)^2-\d^2)/(2*\b*(\a-\c))} 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Beta} % 
\pgfmathsetmacro{\Delta}{180-\Alpha} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{
\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) coordinate(#2bogen) arc (#3:#4:#5) coordinate(#2Bogen);}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Kreis/.style={overlay, draw=none}, 
]
 
% Rahmen  \draw[red]
\clip (-2.8,3.8) rectangle (\textwidth+5mm,-\a);
 
% Trapezkonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={below}{H}] (H) at (\a-\c,0); 
 
\path[] (B) -- (H) node[midway, below] {$c$};
 
% Punkt D
\draw[name path=kreisA, Kreis] (A) circle[radius=\d];
\draw[name path=kreisH, Kreis] (H) circle[radius=\b];
\path[name intersections={of=kreisA and kreisH, name=D}];
\coordinate[Punkt={above}{D}] (D) at (D-1); 
% Bögen
\path let             
\p0 = (H), % Zentrum
\p1 = (D),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{H}{\Winkel+7}{\Winkel-15}{\Radius}%\h*\sb zeichnen
\node[right] at (HBogen) {$\bigodot(H,b)$};
 
\path let             
\p0 = (A), % Zentrum
\p1 = (D),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{A}{\Winkel+15}{\Winkel-20}{\Radius}%\h*\sb zeichnen
\node[below] at (Abogen) {$\bigodot(A,d)$};
 
% Punkt C
\pgfmathsetmacro{\k}{1.2} % 
\draw[name path=parallele, densely dashed, shorten <=-5mm] (D) --+ ($\k*(B)-\k*(A)$) coordinate(X);
\draw[name path=kreisB, Kreis] (B) circle[radius=\b];
\path[name intersections={of=kreisB and parallele, name=C}];
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (C-1); 
% Bogen
\path let             
\p0 = (B), % Zentrum
\p1 = (C),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{B}{\Winkel+7}{\Winkel-15}{\Radius}%\h*\sb zeichnen
\node[xshift=0mm, fill=black!1] at (BBogen) {$\bigodot(B,b)$};
 
\draw[thick, local bounding box=trapez] (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle;
 
%%% Punkte
\foreach \P in {A,B,C,D,H}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of trapez, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(trapez.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%d = \d \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%\delta = \Delta^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
%\end{array}$
%};
 
 
% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\node[below, anchor=north west, align=left, 
text width=\textwidth-\a cm,
inner sep=1pt, 
xshift=5mm,  yshift=7mm, 
font=\normalsize, 
%fill=black!1, draw=red,
] at (X){\vspace{-1em}
\begin{enumerate}
\item Lege durch die Strecke $|AB|:=a$ die Punkte $A$ und $B$ fest.
\item Trage auf $|AB|$ vom Startpunk $B$ die Strecke $c$ ab; Endpunkt sei $H$.
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(H, b)$ um $H$ vom Radius $b$. Beschreibe einen Kreis $\bigodot(A, d)$ um $A$ vom Radius $d$. Schnittpunkt beider Kreise ist die Ecke $D$ so dass, $A,H,D$ im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen werden.
\item Lege durch $D$ eine Parallele zu $|AB|$.
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(B, b)$ um $B$ vom Radius $b$. Schnittpunkt des Kreises mit der Parallelen ist die Ecke $C$.
\item Erhalte durch entsprechende Verbindung der Punkte $A,B,C,D$ das Trapez $ABCD$.
\end{enumerate}
};
 
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}





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Nuramon
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 3 - 071043
Beweisen Sie folgende Behauptung!
Wenn a, b, c die Maßzahlen der Seitenlöngen eines Dreiecks sind, dann hat die Gleichung
\[b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0\] keine reellen Lösungen.

Beweis
Es ist zu zeigen, dass die Diskriminante des Polynoms $b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2$ negativ ist, also dass
\[(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2<0\] gilt.
Nach Kosinussatz gilt $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$ für den Winkel $\alpha$ zwischen den Dreiecksseiten $b,c$.
Somit ist
\[\begin{align*}
(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2
&= (2bc\cos\alpha)^2-4b^2c^2\\
&= 4b^2c^2(\cos^2\alpha-1)\\
&=- 4b^2c^2\sin^2\alpha\\
&< 0.
\end{align*}\]

\(\endgroup\)


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Nuramon
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 5 - 071035
Fur welches reelle $a$ nimmt die Summe der Quadrate der Lösungen der Gleichung
$x^2+ax+a-2=0$ ihren kleinsten Wert an?

Lösung
Die Diskriminante des Polynoms $x^2+ax+a-2$ ist $a^2-4(a-2)=(a-2)^2+4$ ist für jedes reelle $a$ positiv, also gibt es auch für jedes reelle $a$ genau zwei Lösungen $x_1,x_2\in \IR$ der Gleichung $x^2+ax+a-2=0$ und diese sind keine doppelten Nullstellen.

Nach Vieta gilt $x_1+x_2 = -a$ und $x_1x_2 = a-2$.
Somit ist
\[x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = a^2-a+2 = \left(a-\frac 12\right)^2+\frac 74. \] Die Summe der Quadrate der Lösungen wird daher genau dann minimal, wenn $a=\frac 12$.

\(\endgroup\)


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Ex_Senior
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Dann bearbeiten wir mal den zweiten Tag, Klasse 12, der Landesrunde der 7. Olympiade:

Aufgabe 071234: Es sei $y=f(x)$ eine für alle reellen Zahlen $x$ definierte Funktion, die für alle derartigen $x$ die folgende Gleichung erfüllt:

$f(x+1)=(x+1) \cdot f(x)$.

Außerdem sei $y=g(x)$ eine ebenfalls für alle reellen Zahlen $x$ definierte Funktion. Für alle $x$ sei $f(x)$ von 0 verschieden.

Beweisen Sie!

Die Funktion $\phi(x)=\f(x)\cdot g(x)$ erfüllt genau dann für alle reellen $x$ die Gleichung

$\phi(x)=(x+1)\phi(x)$,

wenn $g(x)$ eine periodische Funktion mit der Periodenlänge 1 ist.

Lösung:

Zuerst nehmen wir an, dass $g$ 1-periodisch ist, für alle reellen $x$ also $g(x+1)=g(x)$ gilt. Dann ist $\phi(x+1)=f(x+1)\cdot g(x+1)=(x+1) \cdot f(x) \cdot g(x)=(x+1) \cdot \phi(x)$, erfüllt also die gewünschte Funktionalgleichung.

Anders herum sei nun für jedes $x$ die Gleichung $\phi(x+1)=(x+1)\cdot \phi(x)$ erfüllt, was nach Einsetzen der Definition von $\phi$ äquivalent ist zu $f(x+1) \cdot g(x+1)=(x+1) \cdot f(x) \cdot g(x)=f(x+1) \cdot g(x)$. Da $f(x+1)\neq 0$, kann man diese zweite Gleichheit durch Division durch $f(x+1)$ zum Gewünschten $g(x+1)=g(x)$ äquivalent umformen.

Bemerkung: Die Annahme aus der Aufgabenstellung, dass $f(x)$ für alle reellen Zahlen ungleich 0 wäre, steht im Widerspruch zur Funktionalgleichung, die $f$ erfüllen soll, denn es ist sonst $f(0)=0 \cdot f(-1)=0$. Man kann die Aufgabe aber leicht retten, indem man sich nur auf positive Argumente $x$ einschränkt.



Aufgabe 071235: In einer Weberei wird Garn von genau sechs verschiedenen Farben zu Stoffen´von je genau zwei verschiedenen Farben verarbeitet. Jede Farbe kommt in mindestens drei verschiedenen Stoffsorten vor. (Dabei gelten zwei Stoffsorten dann und nur genau dann als gleich, wenn in ihnen dieselben zwei Farben auftreten.)

Beweisen Sie, dass man drei verschiedene Stoffsorten derart finden kann, dass in ihnen alle sechs Farben auftreten!


Lösung:

Die Farben seien von 1 bis 6 durchnummeriert. O.B.d.A. existiere der Stoff mit den Farben 1 und 2, den wir kurz mit 1-2 bezeichnen wollen. Dann gilt für die vier übrigen Farben der Menge $R=\{3,4,5,6\}$, dass sie untereinander noch jeweils mit mindestens einer weiteren Farbe aus $R$ in einem gemeinsamen Stoff vorkommen müssen, denn jede Farbe $f$ von ihnen muss neben den (ggf. existierenden) Stoffen 1-$f$ und 2-$f$ noch in mindestens einem weiteren Stoff vorkommen.

O.B.d.A. existiere der Stoff 3-4. Nun führen wir eine Fallunterscheidung danach durch, in welchen Stoffen die Farben 5 und 6 enthalten sind:

1. Fall: Es gibt den Stoff 5-6. Dann bilden die drei Stoffe 1-2, 3-4 und 5-6 eine gewünschte Auswahl von 3 Stoffen mit allen sechs Farben.

2. Fall: Es gibt den Stoff 5-6 nicht, aber die Farben 5 und 6 sind mit verschiedenen Farben aus $\{3,4\}$ in einem Stoff verwoben. O.B.d.A. existieren also die Stoffe 3-5 und 4-6. Dann bilden die Stoffe 1-2, 3-5 und 5-6 eine entsprechende Stoffauswahl.

3. Fall: Die Farben 5 und 6 tauchen nur gemeinsam mit einer der beiden Fabren 3 oder 4 in einem Stoff auf, d.h., es gibt o.B.d.A. die Stoffe 3-5 und 3-6, aber weder 4-5, 4-6 noch 5-6. Damit existiert aber für jede der Farben 4, 5 und 6 jeweils nur eine weitere Farbe aus $R$, mit der sie gemeinsam in einem Stoff vorkommt. Demnach muss für jede dieser drei Farben $f$ jeweils der Stoff 1-$f$ als auch 2-$f$ tatsächlich existieren, damit $f$ in mindestens drei verschiedenen Stoffen vorkommt. Dann bilden die Stoffe 1-4, 2-5 und 3-6 eine gewünschte Auswahl.


Aufgabe 071236: Beweisen Sie, dass es stets möglich ist, von 6 Punkten einer Ebene, wobei keine 3 Punkte kollinear (d.h., auf derselben Gerade gelegen) seien, 3 Punkte derart auszuwählen, dass diese die Ecken eines Dreiecks bilden, dass einen stumpfen Winkel von mindestens $120^{\circ}$ enthält!

Lösung:

Gibt es unter den sechs Punkten vier, $M$, $A$, $B$ und $C$ so, dass $M$ im Inneren des Dreiecks $ABC$ liegt, dann zerlegen die Strecken $MA$, $MB$ und $MC$ den Vollwinkel bei $M$ in drei Teilwinkel. Mindestens einer von diesen, o.B.d.A. $\angle AMB$ beträgt dann mindestens $\frac{1}{3} \cdot 360^{\circ}=120^{\circ}$ und mit dem Dreieck $AMB$ ist ein gewünschtes gefunden.

Andernfalls befindet sich keiner der Punkte im Inneren der durch die sechs Punkte aufgespannten konvexen Figur. Damit, da keine drei Punkte auf einer Geraden liegen, muss es sich bei dieser Figur um ein konvexes Sechseck handeln. Dieses besitzt eine Innenwinkelsumme von $(6-2) \cdot 180^{\circ}=720^{\circ}$, sodass mindestens einer der Innenwinkel mindestens $\frac{1}{6} \cdot 720^{\circ}=120^{\circ}$ beträgt. Das Dreieck, dass durch den Punkt, an dem dieser Innenwinkel liegt, sowie seinen beiden Nachbarn entsteht, erfüllt die gewünschte Eigenschaft.


Cyrix

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Kornkreis
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051242
An einem Tanzabend hat jeder der anwesenden Herren mit mindestens einer der anwesenden Damen getanzt und jede der anwesenden Damen mit mindestens einem der anwesenden Herren.
Kein Herr hat mit jeder der anwesenden Damen und keine Dame mit jedem der anwesenden Herren getanzt.
Es ist zu beweisen, dass es unter den Anwesenden zwei solche Damen und zwei solche Herren gegeben hat, dass an dem Abend jede der beiden Damen mit genau einem der beiden Herren, und jeder der beiden Herren mit genau einer der beiden Damen getanzt hat.
Es wird vorausgesetzt, dass der Tanzabend nicht ohne Damen und Herren stattgefunden hat, d.h., die Menge, die aus allen anwesenden Damen und Herren besteht, ist nicht leer.

Lösung
Im Folgenden bezeichne "Aussage" die zu zeigende Aussage der Aufgabenstellung.
Aus den Voraussetzungen folgt, dass mindestens zwei Herren und zwei Damen anwesend waren, da sonst ein Herr mit allen Damen oder eine Dame mit allen Herren getanzt haben müsste.

Wir führen eine vollständige Induktion nach der Anzahl der Herren durch. Für zwei Herren und beliebig viele (größer gleich 2) Damen ist die Aussage wahr: Dazu schreiben wir die Tanzkonstellation in Matrixform und bezeichnen mit "+" und "-" dass ein Tanz stattgefunden bzw. nicht stattgefunden hat. Jede Spalte entspricht einem bestimmten Herren und jede Zeile einer bestimmten Dame, d.h. wir haben zwei Spalten und beliebig viele Zeilen. Falls die Aussage nicht wahr wäre, müsste die Konstellation die folgende Form haben
+ -
+ -
...
+ -
was aber bedeuten würde, dass ein Herr mit allen Damen getanzt hat (in diesem Fall sogar beide Herren).

Sei nun die Anzahl der Herren $n>2$ und die Aussage bereits für $n-1$ Herren bewiesen. Wir betrachten eine Tanzkonstellation, die den Bedingungen der Aufgabenstellung genügt
Falls man aus den $n$ Herren $n-1$ Herren auswählen kann, für die die Bedingungen der Aufgabenstellung erfüllt sind (d.h. jeder dieser $n-1$ Herren hat mit mindestens einer Dame getanzt und jede der Damen mit einem dieser Herren, und niemand dieser Herren hat mit allen Damen getanzt und keine der Damen mit allen dieser Herren), so zeigt die Induktionsvoraussetzung die Aussage.
Wir betrachten nun den Fall, dass so eine Auswahl nicht existiert. Dies bedeutet in der Matrixschreibweise, dass man keine $n-1$ Spalten auswählen kann, welche den Bedingungen der Aufgabenstellung genügen, d.h. in der Tanzkonstellation der $n$ Herren gibt es eine Zeile, in der genau ein "+" oder genau ein "-" steht, o.B.d.A. sei dies genau ein Plus ganz rechts in der letzten Spalte
(d.h. von der Form - - ... - - +).
Nun muss aber in einer anderen Zeile ganz rechts ein Minus stehen (sonst hätte der entsprechende Herr mit allen Damen getanzt) und irgendwo anders in derselben Zeile ein Plus (sonst hätte die entsprechende Dame mit keinem Herren getanzt).
D.h. man hat z.B. das Schema
- -  ...  - - +
     ...
- + ... + - -
Die Damen, die diesen beiden Zeilen entsprechen und die Herren, die der ganz rechten Spalte und der Spalte mit dem Plus irgendwo anders (von der Zeile mit dem Minus ganz rechts) entsprechen, zeigen nun die Aussage.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.157 begonnen.]



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