Die Mathe-Redaktion - 14.11.2019 14:23 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 1062 Gäste und 15 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von ZetaX Naphthalin
Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
stpolster
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Seite 45   [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49]   49 Seiten
Autor
Kein bestimmter Bereich Alte Olympiadeaufgaben
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2072
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1760, eingetragen 2019-08-15



Es seien $a+c=l_1$ und $e+f=l_2$. Dann gilt in dem Dreieck $AEC$ wegen des Kosinussatzes:
$$(a+c)^2=l_1^2=e^2+f^2-2ef\cos\varphi$$Mit $f=l_2-e$:
$$l_1^2=e^2+(l_2-e)^2-2e(l_2-e)\cos\varphi$$$$2e^2-2l_2e+l_2^2-2l_2e\cos\varphi+2e^2\cos\varphi-l_1^2=0$$$$2(1+\cos\varphi)e^2-2l_2(1+\cos\varphi)e+l_2^2-l_1^2=0$$$$e^2-l_2e+\frac{l_2^2-l_1^2}{2(1+\cos\varphi)}=0$$$$e_{1,2}=\frac{l_2}2\pm\frac12\sqrt{l_2^2-2\cdot\frac{l_2^2-l_1^2}{1+\cos\varphi}}$$Der Winkel $\alpha$ ist nun bestimmbar. Wegen des Sinussatzes gilt:
$$\sin\alpha=\frac f{l_1}\sin\varphi$$Da $CD$ parallel zu $AB$ sein soll, muss gelten:
$$e\sin\alpha=d\sin(\alpha+\varepsilon)$$$$d=\frac{e\sin\alpha}{\sin(\alpha+\varepsilon)}$$$c$ erhält man nun per Kosinussatz aus $d$, $e$ und $\varepsilon$. Also fluchs eine kleine Excel-Tabelle gebastelt:

Zahlenmäßig stimmt das mit der Messung von Steffen überein, und auch von der obigen Rechnung her sehe ich keinen Grund, warum es nur ein Dreieck geben sollte. Insofern denke ich, dass die alternative Konstruktion von Steffen korrekt ist.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
stpolster
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1013
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1761, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15


2019-08-15 19:57 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1760 schreibt:
Insofern denke ich, dass die alternative Konstruktion von Steffen korrekt ist.
Das ist schön.
Ich werde deine rechnerische Lösung als Anmerkung anfügen.

LG Steffen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2072
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1762, eingetragen 2019-08-15


OK. Im Nachhinein sieht ja immer alles ganz einfach aus. In meiner Skizze oben könnte man ja nun problemlos auch am Punkt $E$ einen Winkel von 70° zur Strecke $f$ abtragen und mit einer Geraden durch $CD$ schneiden. Da der Winkel $CAB$ nicht gleich dem Winkel $CEA$ ist, ergibt sich dann ein Trapez, das nicht kongruent ist zu dem anderen. Man sieht ja auch an den von Dir gemessenen Werten, dass die Diagonalen $e$ und $f$ in beiden Lösungen gleich sind.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1438
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1763, eingetragen 2019-08-15


Gut - dann krieche ich auch noch schnell zu Kreuze. Hätte irgendwie schwören können, dass die Diagonalen unterschiedlich lang sind im Bild. So kann das Augenmaß denn auch täuschen. Ich bitte also freundlich um Verzeihung.

Gruß,

Küstenkind



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
stpolster
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1013
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1764, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-16


Die erste Nachbearbeitungsrunde ist abgeschlossen.
Die große Datei und die Einzeldateien der Klassenstufen sind nun auf einen gleichen Stand.
Natürlich werden noch weitere Fehler auftauchen und es müssen auch noch ein paar Bilder ersetzt bzw. ergänzt werden, aber es ist schon jetzt ein ordentliches Ergebnis.

Kritik ist weiterhin sehr willkommen, aber natürlich auch Lob. biggrin

Ich "hasse" zwar Werbung, aber wir müssten wohl Werbung machen, damit unser Produkt bekannt wird. Nur wie?

LG Steffen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1765, eingetragen 2019-08-16


Als erstes fällt mir ein, dass man ja hier, auf der offiziellen MO-Vereins-Seite, einen entsprechenden Link setzen kann. M.W. wird die Seite auch von Manuela betreut, sodass sie hier die Ansprechpertnerin sein könnte.

Generell kann man aber auch mal den Vereinsvorsitzenden, Jürgen Prestin, anschreiben. Ggf. kann er ja auch Werbung -- via Mail an alle Vereinsmitglieder -- machen. Immerhin ist das ja auch ein guter Pool von Aufgaben und Lösungen, den man zum Training oder zur Förderung von Schülerinnen und Schülern heranziehen kann.

Cyrix



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
stpolster
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1013
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1766, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-17


Irgendjemand hatte hier um weitere Hausaufgaben "gebettelt". (So etwas gibt es noch!). Ich habe da noch etwas.

Bevor die Mathematik-Olympiade 1961 landesweit durchgeführt wurde, gab es zwei sogenannte Vorolympiaden 1960 und 1961 in Leipzig und Berlin.
Deren Aufgaben sind nach meiner Kenntnis seit 55 Jahren nicht wieder veröffentlicht worden. Lösungen sind noch seltener.
Ich habe jetzt einige Aufgaben der 2. Vorolympiade aufgetrieben.
Zur Vervollständigung werde ich diese an den Ende unseres Textes anhängen. Da ich unvollständige Dinge nicht mag, treibe ich die anderen Aufgaben auch noch auf. Irgendwie.

Außerdem versuche ich, die Lösungen zu ermitteln. Sollte es jemanden langweilig sein  biggrin , ist Hilfe natürlich sehr willkommen.
Ihr habt aber schon so viel geholfen, dass es fast schon eine Frechheit ist, euch noch einmal einzuspannen. Deshalb vorsorglich: Entschuldigung!

Die Aufgaben und vorhandenen Lösungen findet man wieder auf meiner Seite bzw. direkt unter
Vorolympiade

@cyrix: Ich werde an Prof. Prestin eine Mail schreiben. Danke für den Hinweis.

LG Steffen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5241
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1767, eingetragen 2019-08-17


2019-08-17 10:10 - stpolster in Beitrag No. 1766 schreibt:
Ihr habt aber schon so viel geholfen, dass es fast schon eine Frechheit ist, euch noch einmal einzuspannen. Deshalb vorsorglich: Entschuldigung!

Ach, da finden sich bestimmt genügend, die Spaß dran haben smile

Übrigens muss es bei V611234 zwei Mal R statt B heißen. Und bei V611231 sicherlich Mark statt DM wink



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5241
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1768, eingetragen 2019-08-17


Machen wir mal einen Anfang.

Aufgabe 5 - V611225
Gesucht ist eine vierstellige Zahl, die gleich der 4. Potenz ihrer Quersumme ist. Wie haben Sie die Zahl ermittelt?

Da die vierte Potentz der Quersumme vierstellig sein soll und \(5^4<1000\), \(10^4>9999\) gilt, kommt für die Quersumme nur 6, 7, 8 oder 9 infrage. Es gilt weiterhin \(6^4=1296\), \(7^4=2401\), \(8^4=4096\) und \(9^4=6561\). Die gesuchte Zahl ist somit 2401 mit der Qursumme 7.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1769, eingetragen 2019-08-17

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-13 18:23 - stpolster in Beitrag No. 1745 schreibt:
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Danke
Steffen



Die Fasskreise zur Sehne $|O_1 O_2|$ aus dem Bild oben lassen sich schon  konstruieren.

Wenn ich allerdings die Bahnkurve der Schnittpunkte aufzeichne, erhalte ich einen Kreis, dessen Radius vom Startwinkel des großen Zeigers abhängig ist. Auch habe ich verschiedene Radienverhältnisse von großer und kleiner Uhr getestet.

Entweder mache etwas falsch, ansonsten wage ich es, die in
mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/08/Loesungen_MaOlympiade.pdf
angegebene Lösung anzuzweifeln.


\pgfmathsetmacro\BetaStart{11} % Startwinkel große Uhr


\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % Startwinkel große Uhr




latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,10,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}



Ergänzung: Graphik als animierter PDF-Inhalt mit dem animate-Paket.

Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




Zunächst: Einfaches Beispiel mit dem animate-Paket


sub.tex
latex
% sub.tex
 
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\def\Range{0,30,60,90,120,360}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[]
%\useasboundingbox (-4,-4) rectangle (4,4);
\coordinate[] (M) at (0,0);
 
\draw[] (M) circle[radius=3];
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=1.4];
 
\draw[name path=zeiger] (M) -- (90-\Winkel:3);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=kreis and zeiger, name=S}] ;
\coordinate[label=left:$S_{\w}$] (S-\w) at (S-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\makeatother
 
\draw[red] plot[mark=*] coordinates{\List};
\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){List: \List};
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}


main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop,controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}






Uhr-Beispiel mit dem animate-Paket
Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




sub.tex
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,3,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}
 



main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[]{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop, controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}




\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1770, eingetragen 2019-08-17



Aufgabe 3 - V610933

Für alle ungeraden Zahlen \(n\) ist die Differenz \(n^2 - 1\) durch \(8\) teilbar. Beweisen Sie diese Aussage!

Da \(n\) eine ungerade ganze Zahl ist, gibt es eine ganze Zahl \(k\) so, dass \(n = 2k + 1\) ist. Es gilt
\[n^2 - 1 = (2k + 1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k \left( k + 1 \right).\] Da in dem Produkt die zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen \(k\) und \(k + 1\) auftauchen, ist genau eine davon auch durch \(2\) teilbar. Somit ist \(n^2 - 1\) für alle ungeraden ganzen Zahlen \(n\) durch \(8\) teilbar.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5241
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1771, eingetragen 2019-08-17


V611035
Wieviel Nullen hat die Zahl 50! (50 Fakultät)?

Ist hier tatsächlich die Anzahl der Nullen gesucht, oder doch vielmehr, auf wie viele Nullen die Zahl endet?

V611135
Unter 13 gleichgroßen Kugeln weicht das Gewicht einer Kugel von dem der anderen ab.
a) Wie kann man mit 3 Wägungen ermitteln, welche Kugel es ist?
b) Wann kann man entscheiden,ob die Kugel leichter oder schwerer als die übrigen ist?

Dies ist eine altbekannte Knobelaufgabe, die auch schon häufiger auf dem MP Thema war. Hier fehlt m. E. die Information, welche Art von Waage man zur Verfügung hat. Üblicherweise ist das eine Balkenwaage ohne weitere Gewichtsstücke. Müsste diese Information noch ergänzt werden?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
stpolster
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1013
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1772, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-17


Danke für die Unterstützung.
Ich habe die Datei "Vorolympiade" eben erneuert, Korrekturen durchgeführt, Lösungen aufgenommen und Aufgaben ergänzt.

Zu den Hinweisen:
1. Es sind Endnullen gemeint. Habe ich geändert, allerdings auch schon eine Lösung.
2. Es ist eine Balkenwaage gemeint.
3. DM ist tatsächlich richtig. Die Bezeichnung wurde erst 1964 in $Mark der Deutschen Notenbank = MDN" und erst 1968 in "Mark" geändert.

@Hyperplot: Das ist eine sensationelle Animation. Mein Respekt.
Ob die offizielle Lösung im PDF korrekt ist, kann ich leider nicht einschätzen.

LG Steffen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1773, eingetragen 2019-08-17



Aufgabe 2 - V611222

Es ist zu beweisen, dass das Produkt von sechs aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen stets durch 720 teilbar ist.

Der Binomialkoeffizient für nichtnegative ganze Zahlen \(k\) und \(n\) mit \(n \geq k\) ist durch
\[\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{\left( n - k \right)! \cdot k!}\] definiert. Dieser ist in diesem Falle stets eine nichtnegative ganze Zahl. Es gilt \(720 = 6!\). Wir bezeichnen das Produkt von sechs aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen mit
\[n_{k} = k \cdot \left( k + 1 \right) \cdot \left( k + 2 \right) \cdot \left( k + 3 \right) \cdot \left( k + 4 \right) \cdot \left( k + 5 \right) = \prod\limits_{j = k}^{k + 5} j\] für eine beliebige natürliche Zahl \(k\). Mit der Definition des Binomialkoeffizienten und $720 = 6!$ folgt
\[\begin{eqnarray*}
  n_{k} & = & \prod\limits_{j = k}^{k + 5} j \\
        & = & 6! \cdot \dfrac{\left( \prod\limits_{j = 1}^{k - 1} j \right) \cdot \left( \prod\limits_{j = k}^{k + 5} j \right)}{6! \cdot \left( \prod\limits_{j = 1}^{k - 1} j \right)} \\
        & = & 6! \cdot \dfrac{\left( k + 5 \right)!}{6! \cdot \left( k - 1 \right)!} \\
        & = & 720 \cdot \begin{pmatrix} k + 5 \\ k - 1 \end{pmatrix}
  \end{eqnarray*}\] und da der Binomialkoeffizient stets eine nichtnegative ganze Zahl ist, folgt die Behauptung.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5241
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1774, eingetragen 2019-08-17


2019-08-17 17:51 - stpolster in Beitrag No. 1772 schreibt:
1. Es sind Endnullen gemeint. Habe ich geändert, allerdings auch schon eine Lösung.

3. DM ist tatsächlich richtig. Die Bezeichnung wurde erst 1964 in $Mark der Deutschen Notenbank = MDN" und erst 1968 in "Mark" geändert.

1. Die Lösung ist bestimmt nicht richtig. Es müssten m. E. nur 12 sein.

3. Das wusste ich nicht und ist interessant! Du könntest diese Information der Aufgabe hinzufügen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1772 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
stpolster
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1013
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1775, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-17


2019-08-17 18:29 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1774 schreibt:
1. Die Lösung ist bestimmt nicht richtig. Es müssten m. E. nur 12 sein.
Du hast recht. Die Lösung ist falsch.
50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
also deine 12 Nullen.

LG Steffen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1776, eingetragen 2019-08-17

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-17 17:51 - stpolster in Beitrag No. 1772 schreibt:
@Hyperplot: Das ist eine sensationelle Animation. Mein Respekt.
Ob die offizielle Lösung im PDF korrekt ist, kann ich leider nicht einschätzen.

LG Steffen

Das ist schon klar, es ist auch nicht sinnvoll, animate-Anteile in eine normale PDF aufzunehmen.
Höchstens man schreibt direkt am Anfang einen großen Hinweis, dass die optimale Anzeige der PDF nur mit dem AdobeReader garantiert ist (mit Link zur AdobeSeite).

Stattdessen sollte man sowas als freiwilliges Konsultationsobjekt
verlinken (Paket hyperref), entweder zu dem gif-Bild oder zu einer Zusatz-PDF, die nur die Animation enthält.

Viel gravierender ist allerdings, dass die aktuelle Lösung von Aufgabe

011034
2019-08-17 14:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1769 schreibt:
2019-08-13 18:23 - stpolster in Beitrag No. 1745 schreibt:
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Danke
Steffen



Die Fasskreise zur Sehne $|O_1 O_2|$ aus dem Bild oben lassen sich schon  konstruieren.

Wenn ich allerdings die Bahnkurve der Schnittpunkte aufzeichne, erhalte ich einen Kreis, dessen Radius vom Startwinkel des großen Zeigers abhängig ist. Auch habe ich verschiedene Radienverhältnisse von großer und kleiner Uhr getestet.

Entweder mache etwas falsch, ansonsten wage ich es, die in
mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/08/Loesungen_MaOlympiade.pdf
angegebene Lösung anzuzweifeln.


\pgfmathsetmacro\BetaStart{11} % Startwinkel große Uhr


\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % Startwinkel große Uhr




latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,10,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}



Ergänzung: Graphik als animierter PDF-Inhalt mit dem animate-Paket.

Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




Zunächst: Einfaches Beispiel mit dem animate-Paket


sub.tex
latex
% sub.tex
 
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\def\Range{0,30,60,90,120,360}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[]
%\useasboundingbox (-4,-4) rectangle (4,4);
\coordinate[] (M) at (0,0);
 
\draw[] (M) circle[radius=3];
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=1.4];
 
\draw[name path=zeiger] (M) -- (90-\Winkel:3);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=kreis and zeiger, name=S}] ;
\coordinate[label=left:$S_{\w}$] (S-\w) at (S-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\makeatother
 
\draw[red] plot[mark=*] coordinates{\List};
\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){List: \List};
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}


main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop,controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}






Uhr-Beispiel mit dem animate-Paket
Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




sub.tex
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,3,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}
 



main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[]{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop, controls]{1}{Uhr01b}{}{}
\end{document}








falsch zu sein scheint.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1777, eingetragen 2019-08-17



Aufgabe 3 - V601003

Zerlege \(900\) so in zwei Summanden, dass die Summe ihrer reziproken gleich dem reziproken Wert von 221 ist!

Die beiden gesuchten Summanden bezeichnen wir mit \(a\) und \(b\). Die beiden Bedingungen lauten
\[\begin{eqnarray}
  a + b & = & 900, \\
  \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} & = & \dfrac{1}{221}.
  \end{eqnarray}\] \((2)\) lässt sich zu
\[\dfrac{a + b}{a b} = \dfrac{900}{a b} = \dfrac{1}{221}\] umschreiben, sodass
\[\begin{equation}
  ab = 900 \cdot 221 = 198900
  \end{equation}\] gilt. Mit \(a = 900 - b\) aus \((1)\) folgt
\[\begin{eqnarray*}
  a \cdot b & = & 198900 \\
  \left( 900 - b \right) \cdot b & = & 198900 \\
  b^2 - 900 \cdot b & = & - 198900 \\
  b^2 - 900 \cdot b + 450^2 & = & 450^2 - 198900 \\
  \left( b - 450 \right)^2 & = & 3600
  \end{eqnarray*}\] und somit die Möglichkeiten \(b_{1} = 390\) und \(b_{2} = 510\). Somit lauten die beiden Summanden - unter Beachtung der Kommutativität der Addition - dementsprechend \(390\) und \(510\).

Als Probe: Es ist
\[\dfrac{1}{390} + \dfrac{1}{510} = \dfrac{900}{510 \cdot 390} = \dfrac{30}{510 \cdot 13} = \dfrac{1}{17 \cdot 13} = \dfrac{1}{221}\] und offensichtlich gilt \(390 + 510 = 900\).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1775 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4982
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1778, eingetragen 2019-08-17


2019-08-17 18:44 - stpolster in Beitrag No. 1775 schreibt:
2019-08-17 18:29 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1774 schreibt:
1. Die Lösung ist bestimmt nicht richtig. Es müssten m. E. nur 12 sein.
Du hast recht. Die Lösung ist falsch.
50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
also deine 12 Nullen.

LG Steffen

Naja, aber "ausrechnen" von 50! ist hier natürlich strengstens verboten!  biggrin

Tatsächlich ist ja die Vielfachheit eines Primfaktors $p$ in $n!$ bekanntlich einfach
\[\sum\limits_{k=1}^{\lfloor\log_p n\rfloor} \left\lfloor \frac n{p^k}\right\rfloor\] was speziell für $p=5$ dann tatsächlich \[\left\lfloor\frac{50}5\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor=12\] ergibt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1775 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1779, eingetragen 2019-08-17

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-17 19:01 - HyperPlot in Beitrag No. 1776 schreibt:
Viel gravierender ist allerdings, dass die aktuelle Lösung von Aufgabe

011034
2019-08-17 14:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1769 schreibt:
2019-08-13 18:23 - stpolster in Beitrag No. 1745 schreibt:
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Danke
Steffen



Die Fasskreise zur Sehne $|O_1 O_2|$ aus dem Bild oben lassen sich schon  konstruieren.

Wenn ich allerdings die Bahnkurve der Schnittpunkte aufzeichne, erhalte ich einen Kreis, dessen Radius vom Startwinkel des großen Zeigers abhängig ist. Auch habe ich verschiedene Radienverhältnisse von großer und kleiner Uhr getestet.

Entweder mache etwas falsch, ansonsten wage ich es, die in
mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/08/Loesungen_MaOlympiade.pdf
angegebene Lösung anzuzweifeln.


\pgfmathsetmacro\BetaStart{11} % Startwinkel große Uhr


\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % Startwinkel große Uhr




latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,10,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}



Ergänzung: Graphik als animierter PDF-Inhalt mit dem animate-Paket.

Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




Zunächst: Einfaches Beispiel mit dem animate-Paket


sub.tex
latex
% sub.tex
 
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\def\Range{0,30,60,90,120,360}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[]
%\useasboundingbox (-4,-4) rectangle (4,4);
\coordinate[] (M) at (0,0);
 
\draw[] (M) circle[radius=3];
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=1.4];
 
\draw[name path=zeiger] (M) -- (90-\Winkel:3);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=kreis and zeiger, name=S}] ;
\coordinate[label=left:$S_{\w}$] (S-\w) at (S-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\makeatother
 
\draw[red] plot[mark=*] coordinates{\List};
\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){List: \List};
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}


main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop,controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}






Uhr-Beispiel mit dem animate-Paket
Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




sub.tex
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,3,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}
 



main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[]{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop, controls]{1}{Uhr01b}{}{}
\end{document}








falsch zu sein scheint.



2019-08-17 17:51 - stpolster in Beitrag No. 1772 schreibt:
@Hyperplot: Das ist eine sensationelle Animation. Mein Respekt.
Ob die offizielle Lösung im PDF korrekt ist, kann ich leider nicht einschätzen.

LG Steffen

Das ist schon klar, es ist auch nicht sinnvoll, animate-Anteile in eine normale PDF aufzunehmen.
Höchstens man schreibt direkt am Anfang einen großen Hinweis, dass die optimale Anzeige der PDF nur mit dem AdobeReader garantiert ist (mit Link zur AdobeSeite).

Stattdessen sollte man sowas als freiwilliges Konsultationsobjekt
verlinken (Paket hyperref), entweder zu dem gif-Bild oder zu einer Zusatz-PDF, die nur die Animation enthält.

Viel gravierender ist allerdings, dass die aktuelle Lösung von Aufgabe

011034
2019-08-17 14:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1769 schreibt:
2019-08-13 18:23 - stpolster in Beitrag No. 1745 schreibt:
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Danke
Steffen



Die Fasskreise zur Sehne $|O_1 O_2|$ aus dem Bild oben lassen sich schon  konstruieren.

Wenn ich allerdings die Bahnkurve der Schnittpunkte aufzeichne, erhalte ich einen Kreis, dessen Radius vom Startwinkel des großen Zeigers abhängig ist. Auch habe ich verschiedene Radienverhältnisse von großer und kleiner Uhr getestet.

Entweder mache etwas falsch, ansonsten wage ich es, die in
mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/08/Loesungen_MaOlympiade.pdf
angegebene Lösung anzuzweifeln.


\pgfmathsetmacro\BetaStart{11} % Startwinkel große Uhr


\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % Startwinkel große Uhr




latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,10,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}



Ergänzung: Graphik als animierter PDF-Inhalt mit dem animate-Paket.

Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




Zunächst: Einfaches Beispiel mit dem animate-Paket


sub.tex
latex
% sub.tex
 
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\def\Range{0,30,60,90,120,360}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[]
%\useasboundingbox (-4,-4) rectangle (4,4);
\coordinate[] (M) at (0,0);
 
\draw[] (M) circle[radius=3];
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=1.4];
 
\draw[name path=zeiger] (M) -- (90-\Winkel:3);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=kreis and zeiger, name=S}] ;
\coordinate[label=left:$S_{\w}$] (S-\w) at (S-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\makeatother
 
\draw[red] plot[mark=*] coordinates{\List};
\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){List: \List};
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}


main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop,controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}






Uhr-Beispiel mit dem animate-Paket
Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




sub.tex
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,3,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}
 



main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[]{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop, controls]{1}{Uhr01b}{}{}
\end{document}








falsch zu sein scheint.


Ich habe mawi angeschieben.
Falls die Musterlösung kommt, kann man weiter entscheiden.

Gesetz dem Falle, dass ich mit meiner Annahme richtig liege, kann ich dann ggf. eine neue Lösung mit geeigneten Graphiken erstellen. So oder so fehlen mir da einige Ergänzungen bei der Lösung.  

Ohnehin scheint mir die aktuelle Lösung (die, wie gesagt, vielleicht nicht stimmt) außergewöhnlich schwer für Klasse 10.

\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1780, eingetragen 2019-08-17



Aufgabe 1 - V601001

Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist \(9\). Multipliziert man die Zahl mit \(5\) und subtrahiert man von dem Produkt \(9\), so erhält man eine zweistellige Zahl mit denselben Ziffern in umgekehrter Reihenfolge.

Wie heißt die zweistellige Zahl?

Wir bezeichnen die zweistellige Zahl mit \(a\). Wegen der zweiten Bedingung, dass \(5a - 9 < 100\) sein muss, muss \(a < 22\) gelten. Daher ist der gesuchte Kandidat \(18\), da
\[5 \cdot 18 - 9 = 90 - 9 = 81\] ist, somit die zweite Bedingung erfüllt und \(18\) als Quersumme \(9\) besitzt.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1781, eingetragen 2019-08-17



Aufgabe 4 - V6010004

Bestimmen Sie die Unbekannten aus
\[
  \begin{eqnarray}
  2^{x} \cdot 2^{y} & = & 2^{22}, \\
  x - y & = & 4.
  \end{eqnarray}
\]

Wir können \((1)\) umschreiben zu
\[2^x \cdot 2^y = 2^{x + y} = 2^{22},\] sodass wir das lineare Gleichungssystem
\[
  \begin{eqnarray}
  x + y & = & 22, \\
  x - y & = & 4
  \end{eqnarray}
\] lösen müssen. Aus \((4)\) folgt \(x = y + 4\) und setzen wir dieses Ergebnis in \((3)\) ein, so ergibt sich
\[x + y = (y + 4) + y = 2y + 4 = 22\] und somit \(y = 9\) und daher \(x = 13\).

PS: Irgendwie sieht die Gleichungsnummerierung in meiner Vorschau zwar richtig aus, aber im Thread erscheint sie bei mir falsch. Ich weiß aber nicht, woran das liegt. Bitte beim Abtippen beachten.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
stpolster
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1013
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1782, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-17


2019-08-17 19:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1779 schreibt:
Gesetz dem Falle, dass ich mit meiner Annahme richtig liege, kann ich dann ggf. eine neue Lösung mit geeigneten Graphiken erstellen. So oder so fehlen mir da einige Ergänzungen bei der Lösung.  

Ohnehin scheint mir die aktuelle Lösung (die, wie gesagt, vielleicht nicht stimmt) außergewöhnlich schwer für Klasse 10.
Warum denn nicht. Jede Lösung ist willkommen, vor allem wenn sie eine falsche korrigiert.

LG Steffen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1783, eingetragen 2019-08-17



Aufgabe 4 - V611014

Von einem Dreieck sind gegeben: \(a = 5 \text{cm}\), \(\beta = 47^{\circ}\) und \(\gamma = 55^{\circ}\).

Berechnen Sie \(b\), \(c\) und \(\alpha\).

Da die Winkel \(\beta\) und \(\gamma\) an der Seite \(a\) anliegen, ist dieses Dreieck nach den Kongruenzsätzen bis auf Kongruenz eindeutig konstruierbar.

Für den Winkel \(\alpha\) gilt nach Innenwinkelsummensatz im Dreieck
\[\alpha = 180^{\circ} - \beta - \gamma = 180^{\circ} - 47^{\circ} - 55^{\circ} = 78^{\circ}.\]
Mit dem Sinussatz gilt
\[\dfrac{b}{a} = \dfrac{\sin \left( \beta \right)}{\sin \left( \alpha \right)}\] und daher
\[b = a \cdot \dfrac{\sin \left( \beta \right)}{\sin \left( \alpha \right)} = 5 \text{cm} \cdot \dfrac{\sin \left( 47^{\circ} \right)}{\sin \left( 78^{\circ} \right)} \approx 3,74 \text{cm}.\]
Ebenso folgt mit dem Sinussatz
\[c = a \cdot \dfrac{\sin \left( \gamma \right)}{\sin \left( \alpha \right)} = 5 \text{cm} \cdot \dfrac{\sin \left( 55^{\circ} \right)}{\sin \left( 78^{\circ} \right)} \approx 4,19 \text{cm}.\]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1784, eingetragen 2019-08-17



Aufgabe 15 - V 600915 (Möndchen des Hippokrates)

Beweisen Sie den folgenden Satz:

"Die Summe der beiden Mondsicheln \(AC\) und \(BC\) über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Fläche des Dreiecks \(ABC\)." (Hippokrates)

Wir führen die folgenden Bezeichnungen ein:
\[
  \begin{eqnarray*}
  A_{\text{Dreieck}} & : & \text{Flächeninhalt des Dreiecks} \, ABC, \\
  A_{\text{Halbkreis}, \overline{AC}} & : & \text{Flächeninhalt des Halbkreises über der Kathete} \, b = \left| \overline{AC} \right|, \\
  A_{\text{Halbkreis}, \overline{BC}} & : & \text{Flächeninhalt des Halbkreises über der Kathete} \, a = \left| \overline{BC} \right|, \\
  A_{\text{Halbkreis}, \overline{AB}} & : & \text{Flächeninhalt des Halbkreises über der Hypotenuse} \, c = \left| \overline{AB} \right|, \\
  A_{\text{grün}} & : & \text{Flächeninhalt der grün markierten Mondsichel}.
  \end{eqnarray*}
\] Es gilt
\[\begin{equation}
A_{\text{Dreieck}} + A_{\text{Halbkreis}, \overline{AC}} + A_{\text{Halbkreis}, \overline{BC}} = A_{\text{Halbkreis}, \overline{AB}} + A_{\text{grün}}.
\end{equation}\] Nach dem Satz des Pythagoras gilt
\[a^2 + b^2 = c^2\] und somit
\[A_{\text{Halbkreis}, \overline{AC}} + A_{\text{Halbkreis}, \overline{BC}} = \dfrac{\pi b^2}{8} + \dfrac{\pi a^2}{8} = \dfrac{\pi c^{2}}{8} = A_{\text{Halbkreis}, \overline{AB}}.\] Damit folgt aus \((1)\)
\[A_{\text{Dreieck}} = A_{\text{grün}},\] was die Behauptung beweist.

PS: Irgendwie sieht die Gleichungsnummerierung in meiner Vorschau zwar richtig aus, aber im Thread erscheint sie bei mir falsch. Ich weiß aber nicht, woran das liegt. Bitte beim Abtippen beachten.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
stpolster
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1013
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1785, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-17


2019-08-17 22:38 - svrc in Beitrag No. 1784 schreibt:
PS: Irgendwie sieht die Gleichungsnummerierung in meiner Vorschau zwar richtig aus, aber im Thread erscheint sie bei mir falsch. Ich weiß aber nicht, woran das liegt. Bitte beim Abtippen beachten.
Das ist kein Problem. Im Latex-Text passe ich es entsprechend deiner Vorstellungen an.
Vielen Dank für die Lösungen.

LG Steffen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1786, eingetragen 2019-08-18


Es hält geistig fit, gelegentlich solche Aufgaben zu bearbeiten. Außerdem ist es durchaus schön zu sehen, dass man noch manches lösen kann. smile



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1787, eingetragen 2019-08-18



Aufgabe 3 - V611223

Diskutieren Sie die Funktion
\[f \left( x \right) = \begin{cases}
                       \dfrac{\left| x \right|}{x} \, & , & \, \text{für} \, \left| x \right| > 1, \\
                       x^3 \, & , & \, \text{für} \, \left| x \right| \leq 1.
                       \end{cases}\] Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Bildkurve der Funktion, der Abzissenachse und den Geraden \(x = -2\) und \(x = 2\) eingeschlossen wird.

1) Wir diskutieren kurz die Funktion. Es gilt
\[
  f \left( x \right) = \begin{cases}
                       -1 \, & , & \, \text{für} \, x < -1, \\
                       x^3 \, & , & \, \text{für} \, -1 \leq x \leq 1, \\
                       1 \, & , & \, \text{für} \, x > 1
                       \end{cases}
\] für die Funktion. Damit ist die Funktion \(f\) für \(x < -1\) konstant mit Funktionswert \(-1\). An der Stelle \(x = -1\) ist der Übergang stetig, aber nicht differenzierbar. Für \(-1 \leq x \leq 1\) gilt die Vorschrift \(f \left( x \right) = x^3\) und somit liegt an \(x = 0\) ein Wendepunkt vor, da \(f^{\prime \prime} \left( 0 \right) = 6 \cdot 0 = 0\) und \(f^{\prime \prime \prime} \left( 0 \right) = 6 > 0\) gilt. An der Stelle \(x = 1\) ist der Übergang stetig, aber nicht differenzierbar. Ferner ist die Funktion \(f\) für \(x > 1\) konstant mit Funktionswert \(1\).

Die Funktion \(f\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da
\[- f \left( - x \right) = f \left( x \right)\] für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt.

2) Wegen der Punktsymmetrie kann der betrachtete Flächeninhalt nach
\[A_{\text{gesamt}} = 2 \cdot \int\limits_{0}^{2} f \left( x \right) \, \text{d}x = 2 \cdot \left\{ \int\limits_{0}^{1} x^{3} \, \text{d}x + \int\limits_{1}^{2} 1 \, \text{d}x \right\}\] berechnet werden. Daher gilt
\[A_{\text{gesamt}} = 2 \cdot \left\{ \left[ \dfrac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} + 1 \right\} = 2 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{2}.\]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1788, eingetragen 2019-08-18



Aufgabe 3 - V611123

Beweisen Sie die folgende Behauptung!
In einem gleichseitigen Dreieck ist die Summe der Abstände eines im Inneren des Dreiecks gelegenen Punktes von den Dreiecksseiten gleich der Höhe des Dreiecks.

Wir bezeichnen mit \(\Delta ABC\) das Dreieck mit den Eckpunkten \(A\), \(B\) und \(C\). Da das Dreieck gleichseitig ist, gilt für die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten \(a = \left| \overline{BC} \right|\), \(b = \left| \overline{AC} \right|\) und \(c = \left| \overline{AB} \right|\), dass \( a = b = c \) ist. Diese Seiten möchten wir alle als Grundseite \(g = a = b = c\) bezeichnen.

Liegt im Inneren des Dreiecks ein Punkt \(M\), so entstehen die drei Dreiecke \(\Delta ABM\), \(\Delta BCM\) und \(\Delta CAM\). Diese Dreiecke besitzen ebenfalls die Grundseite \(g\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(\Delta ABC\) mit Grundseite \(g\) und Höhe \(h\) ist genauso groß wie die Summe der Flächeninhalte der drei kleineren Dreiecke. Die Höhen in \(\Delta ABM\), \(\Delta BCM\) und \(\Delta CAM\) nennen wir \(h_{1}\), \(h_{2}\) und \(h_{3}\). Dies sind auch die Abstände von \(M\) zur entsprechenden Grundseite.

Es gilt somit
\[ \dfrac{g h}{2} = \dfrac{g h_{1}}{2} + \dfrac{g h_{2}}{2} + \dfrac{g h_{3}}{2} = \dfrac{g}{2} \cdot \left\{ h_{1} + h_{2} + h_{3} \right\}\] und daher folgt
\[ h = h_{1} + h_{2} + h_{3},\] was die Behauptung zeigt.

PS: Wer noch eine hübsche Skizze in TiKZ setzen könnte, dem wäre ich zu Dank verpflichtet.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1789, eingetragen 2019-08-18



Aufgabe 2 - V611122

Der Octivia-Touring-Sportwagen der Skoda-Automobilwerke Prag erreicht in \(14\) Sekunden nach dem Start eine Geschwindigkeit von \(80 \dfrac{\text{km}}{\text{h}}\).

a) Wieviel Kilometer hat er in dieser Zeit zurückgelegt (gleichmäßige Beschleunigung vorausgesetzt)?
b) In welcher Zeit hat er, vom Zeitpunkt des Starts ab gerechnet, \( 1 \text{km}\) zurückgelegt? (Es sei angenommen, dass der Wagen nach dem Erreichen der Geschwindigkeit von \(80 \dfrac{\text{km}}{\text{h}}\) mit dieser Geschwindigkeit weiterfährt.)

a) Wir suchen zuerst die konstante Beschleunigung
\[a \left( t \right) = a_{0}\] für alle \(0 \text{s} \leq t \leq 14 \text{s}\). Es gilt für die Geschwindigkeit
\[v \left( t \right) = a_{0} t\] für alle \(0 \text{s} \leq t \leq 14 \text{s}\) wegen \(v \left( 0 \text{s} \right) = 0 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Da
\[v  \left( 14 \text{s} \right) = a_{0} \cdot \left( 14 \text{s} \right) = 80 \dfrac{\text{km}}{\text{h}} = \dfrac{80000}{3600} \dfrac{\text{m}}{\text{s}} = \dfrac{200}{9} \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\] ist, folgt
\[a_ {0} = \left( \dfrac{200}{9} \dfrac{\text{m}}{\text{s}} \right) \cdot \dfrac{1}{14 \text{s}} = \dfrac{100}{63} \dfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\] und somit für die zurückgelegte Wegstrecke nach \(14\) Sekunden
\[w \left( 14 \text{s} \right) = \dfrac{a_{0}}{2} \cdot \left( 14 \text{s} \right)^ {2} = \dfrac{19600}{126} \text{m} = \dfrac{1400}{9} \text{m} \approx 0,156 \text{km}.\] Also legt das Fahrzeug in der Beschleunigungsphase eine Strecke von ungefähr \(0,156 \text{km}\) zurück.

b) Für die Gesamtstrecke von \(1 \text{km}\) gilt
\[w_{\text{gesamt}} = \dfrac{1400}{9} \text{m} + \left( \dfrac{200}{9} \dfrac{\text{m}}{\text{s}} \right) \cdot t_{2} = \dfrac{9000}{9} \text{m}.\] Somit folgt
\[\left( \dfrac{200}{9} \dfrac{m}{s} \right) \cdot t_{2} = \dfrac{7600}{9} \text{m}\] und daher \( t_{2} = 38 \text{s}\). Damit ist \(1 \text{km}\) entsprechend nach
\[t_{\text{gesamt}} = 14 \text{s} + 38 \text{s} = 52 \text{s}\] zurückgelegt.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1790, eingetragen 2019-08-18



Aufgabe 5 - V610935

Mit welcher Ziffer endet die Zahl \(2^{100}\)? Begründen Sie das!

Es ist \(2^{10} \, \mathbf{mod} \, 10 = 1024 \, \mathbf{mod} \, 10 = 4 \, \mathbf{mod} \, 10\).
Damit ist \(2^{20} \, \mathbf{mod} \, 10 = 16 \, \mathbf{mod} \, 10 = 6 \, \mathbf{mod} \, 10\).
Dann gilt \(2^{25} \, \mathbf{mod} \, 10 = \left( \left( 2^5 \, \mathbf{mod} \, 10 \right) \cdot \left( 2^{20} \, \mathbf{mod} \, 10 \right) \right) \, \mathbf{mod} \, 10 = 2 \, \mathbf{mod} \, 10\).
Damit folgt \(2^{50} \, \mathbf{mod} \, 10 = 4 \, \mathbf{mod} \, 10\) und somit \(2^{100} \, \mathbf{mod} \, 10 = 16 \, \mathbf{mod} \, 10 = 6 \, \mathbf{mod} \, 10\). Das bedeutet, dass die Zahl \(2^{100}\) auf der Ziffer \(6\) endet.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1791, eingetragen 2019-08-18



Aufgabe 11 - V601011

In einem Steinkohlebergwerk sind von einem Punkt aus in gleicher Höhe zwei horizontal verlaufende Stollen von \(162,5 \text{m}\) und von \(200 \text{m}\) Länge vorangetrieben worden. Sie schließen einen Winkel von \(70,5^{\circ}\) ein. Die Endpunkte sollen durch einen Stollen verbunden werden. Wie lang wird er?

Der Punkt, von dem die beiden Stollen ausgehen und in einer Ebene liegen, soll mit \(C\) bezeichnet werden. Die beiden Stollenlängen sind \(a = 162,5 \text{m}\) und \(b = 200 \text{m}\). Der Winkel, der von den beiden Stollenlängen \(a\) und \(b\) am Punkt \(C\) eingeschlossen wird, wird \(\gamma = 70,5^{\circ}\) genannt. Die gesuchte Stollenlänge nennen wir \(c\).

Da im Dreieck die zwei Seiten und deren eingeschlossener Winkel gegeben sind, folgt die eindeutige Konstruierbarkeit bis auf Kongruenz aus den Kongruenzsätzen.

Mit dem Kosinus-Satz gilt
\[\begin{eqnarray*}
   c^{2} & = & a^{2} + b^{2} - 2 ab \cos \left( \gamma \right) \\
         & = & \left( 162,5 \text{m} \right)^{2} + \left( 200 \text{m} \right)^{2} - 2 \cdot \left( 162,5 \text{m} \right) \cdot \left( 200 \text{m} \right) \cdot \cos \left( 70,5^{\circ} \right) \\
         & \approx & 44708,8 \text{m}^{2}
  \end{eqnarray*}\] und damit \(c \approx 211,4 \text{m}\). Somit wird der Verbindungsstollen ungefähr \(211,4 \text{m}\) lang.

PS: Ich glaube, dass auch in diesem Falle eine hübsche Skizze in TiKZ sinnvoll wäre.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
stpolster
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1013
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1792, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-18


Ich versuche mich an folgender Aufgabe:

Welches ist die kleinste Zahl mit der linken Anfangsziffer 7, die in ihren dritten Teil übergeht, wenn man diese 7 vorn streicht und an die verbleibende Zahl als rechte Endziffer ansetzt?

Lösungsversuch: x die Zahl ohne die 7 vorn
Ansatz $7 \cdot 10^n + x = 3(10 x + 7)$
$7 \cdot 10^n + x = 30x + 21$
$7 \cdot 10^n - 21 = 29x$
$7 (10^n-3) = 29 x$
Da $x$ natürliche Zahl ist, muss $10^n-3$ die 29 als Teiler besitzen.

So weit, so gut:
Mit Computereinsatz habe ich jetzt das kleinste $n$ gesucht, so dass $10^n-3$ ein Vielfaches von 29 ist. Es ist 999999999999999999999999997.

Als Gesamtergebnis bekomme ich als kleinste, gesuchte Zahl
z = 7241379310344827586206896551
Die Probe geht auf.

Aber das kann es doch nicht sein, bei einer Aufgabe einer Vorolympiade der Klasse 9!
Was habe ich falsch gemacht?

Danke
Steffen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2442
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1793, eingetragen 2019-08-18


2019-08-18 11:09 - stpolster in Beitrag No. 1792 schreibt:
Ich versuche mich an folgender Aufgabe:

Welches ist die kleinste Zahl mit der linken Anfangsziffer 7, die in ihren dritten Teil übergeht, wenn man diese 7 vorn streicht und an die verbleibende Zahl als rechte Endziffer ansetzt?

Lösungsversuch: x die Zahl ohne die 7 vorn
Ansatz $7 \cdot 10^n + x = 3(10 x + 7)$
$7 \cdot 10^n + x = 30x + 21$
$7 \cdot 10^n - 21 = 29x$
$7 (10^n-3) = 29 x$
Da $x$ natürliche Zahl ist, muss $10^n-3$ die 29 als Teiler besitzen.

So weit, so gut:
Mit Computereinsatz habe ich jetzt das kleinste $n$ gesucht, so dass $10^n-3$ ein Vielfaches von 29 ist. Es ist 999999999999999999999999997.

Als Gesamtergebnis bekomme ich als kleinste, gesuchte Zahl
z = 7241379310344827586206896551
Die Probe geht auf.

Aber das kann es doch nicht sein, bei einer Aufgabe einer Vorolympiade der Klasse 9!
Was habe ich falsch gemacht?

Danke
Steffen


Hallo Steffen,
du hast nichts falsch gemacht, glaube ich. Es geht auch ohne Hilfe eines Computers, aber trotzdem glaube ich, dass die gesuchte Lösung durch systematisches Ausprobieren gefunden werden sollte :/
Setze $r_0=-2$ und $r_{n+1}=10r_n-2\bmod{29}$, so gilt $r_n\equiv 10^n-3\pmod{29}$.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5241
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1794, eingetragen 2019-08-18


2019-08-18 11:39 - ochen in Beitrag No. 1793 schreibt:
Setze $r_0=-2$ und $r_{n+1}=10r_n-2\bmod{29}$, so gilt $r_n\equiv 10^n-3\pmod{29}$.

Habe es ähnlich wie ochen gemacht.

Setze \(a_0=1\), \(a_{n+1}=10a_n\mod 29\). Dann ergibt sich

\(a_0,a_1,a_2,...,a_{28}\)
= 1,10,13,14,24,8,22,17,25,18,6,2,20,26,28,19,16,15,5,21,7,12,4,11,23,27,9,3,1

Danach wiederholt es sich periodisch. Das kleinste \(n\) mit \(a_n=3\) (und daher \(10^n-3\equiv0\mod29\)) ist \(n=27\). Somit ist \(\frac7{29}(10^{27}-3)\) die gesuchte Zahl.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
stpolster
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1013
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1795, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-18


2019-08-18 11:39 - ochen in Beitrag No. 1793 schreibt:
Es geht auch ohne Hilfe eines Computers, aber trotzdem glaube ich, dass die gesuchte Lösung durch systematisches Ausprobieren gefunden werden sollte :/
Setze $r_0=-2$ und $r_{n+1}=10r_n-2\bmod{29}$, so gilt $r_n\equiv 10^n-3\pmod{29}$.
Danke. Ich habe eure Ideen als 1. und 2. Lösung aufgenommen.

LG Steffen

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1793 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1796, eingetragen 2019-08-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Mit etwas weniger Rechnung, dafür mehr Schreibarbeit (Babystep-Giantstep):

Gesucht ist das kleinste $n$, so dass $10^n\equiv 3 \pmod{29}$. Schreibt man $n$ in der Form $n=6m+r$ mit $0\leq r < 6$ (Bemerkung: $6=\lceil \sqrt{29} \rceil$), so erhält man $10^{6m}10^r\equiv 3 \pmod{29}$.

Wegen $10\cdot 3\equiv 1 \pmod{29}$ und $3^6 \equiv 27^2 \equiv (-2)^2\equiv 4 \pmod{29}$ suchen wir also das lexikographisch kleinste Paar $(m,r)$ für das $10^r \equiv 3\cdot 4^m \pmod{29}$ gilt.

Für $r=0,1,2,\color{blue}3,4,5$ gilt $10^r \equiv 1,10,13,\color{red}{14},8,22 \pmod{29}$.
Jetzt berechnen wir $3\cdot 4^m$ modulo 29 für $m=0,1,2,\ldots$, bis wir einen Rest aus der gerade berechneten Liste erhalten: $3\cdot 4^m \equiv 3, 12,19,18,\color{red}{14} \pmod{29}$ für $m=0,1,2,3,\color{blue}4$. Also ist $(m,r)=(\color{blue}4, \color{blue}3)$, d.h. $n=6\cdot 4 +3 = 27$.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4982
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1797, eingetragen 2019-08-18


Mit einem "gerüttelt Maß an zahlentheoretischem Know-how" könnte man hier auch die Äquivalenz
\[10^n\equiv 3 \mod 29 \Leftrightarrow 10^{n+1}\equiv 30\equiv 1 \mod 29\] ausnutzen, wonach wegen des "Kleinen Fermat" auf jeden Fall schon mal $n=27$ eine Lösung der Kongruenz ist. Dass dies auch zugleich die kleinste Lösung ist, folgt dann aus der Tatsache, dass $10$ eine Primitivwurzel mod $29$ ist. Um letzeres zu zeigen, genügt es einfach nachzurechnen, dass
\[10^4\not\equiv 1 \mod 29\quad \textrm{sowie}\quad 10^{14}\equiv (10^4)^3\cdot 10^2\not\equiv 1\mod 29\] gilt.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2442
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1798, eingetragen 2019-08-18



Aufgabe 3-V611133
Gegeben sind zwei feste Punkte A und B mit der Entfernung e.
a)Wo liegen alle Punkte F, für die die Quadrate ihrer Entfernungen von A und B die feste Summe s haben?
b)Gibt es bei jeder Wahl von e und s solche Punkte?

a) O.B.d.A. seien $A=(-\frac e2,0)$ und $B=(\frac e2,0)$, so sind alle Punkte $F=(x,y)$ mit
\[s=((x+\frac e2)^2+y^2)+((x-\frac e2)^2+y^2)=
2x^2+2\cdot \frac{e^2}{4}+2y^2\] gesucht. Diese Gleichung ist äquivalent zur Kreisgleichung
\[x^2+y^2=\frac{s}{2}-\frac{e^2}{4}.\] Die gesuchten Punkte $F$ bilden also einen Kreis, dessen Mittelpunkt der Mittelpunkt der Strecke $AB$ ist und dessen Radius  $\frac{s}{2}-\frac{e^2}{4}$ ist.
b) Da Quadrate reeller Zahlen stets größer oder gleich Null sind, gibt es nur solche Punkte $F$, wenn $\frac{s}{2}-\frac{e^2}{4}\geq 0$ ist. Insbesondere gibt es nicht bei jeder Wahl von $e$ und $s$ solche Punkte.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
svrc
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 53
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1799, eingetragen 2019-08-18



Aufgabe 5 - V611015

In Moskau wird der höchste Fernsehturm der Welt gebaut, der nach seiner Fertigstellung eine Höhe von rund \(500 \text{m}\) haben wird.

Wie weit kann ein Punkt der Erdoberfläche von der Spitze des Turmes höchstens entfernt sein, wenn er von dieser aus noch sichtbar sein soll (ohne Berücksichtigung der Lichtbrechung)?

Der Radius der Erde beträgt \(R = 6370 \text{km}\).

Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die Hypotenuse gerade die Summe des Erdradius und der Höhe des Fernsehturms ist. Wir setzen dafür \(c = 6370,5 \text{km}\). Die bekannte Kathete ist der Erdradius und wir schreiben dafür \(a = 6370 \text{km}\). Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, da die gesuchte Kathete \(b\) tangential am Erdgroßkreis anliegt.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt
\[b^2 = c^2 - a^2 = \left( 6370,5 \text{km} \right)^2 - \left( 6370 \text{km} \right)^2 = 6370,25 \text{km}^{2}\] und somit
\[b \approx 79,8 \text{km}.\]
Das bedeutet, dass man vom Fernsehturm etwa \(79,8 \text{km}\) weit sehen kann.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
-->> Fortsetzung auf der nächsten Seite -->>
Seite 45Gehe zur Seite: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49  
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]