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Mathematik » Numerik & Optimierung » Gleichmäßige Konvexität
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Universität/Hochschule Gleichmäßige Konvexität
WWWaldo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-22


Hallo miteinander!
Ich arbeite gerade an meiner Seminararbeit und benötige dabei das Thema konvexe Funktionen, insbesondere auch gleichmäßig konvexe Funktionen. Dabei habe ich folgende Definition vorliegen:

$f$ gleichmäßig konvex auf einer konvexen Menge $X \subseteq \mathbb{R}^n$ $\Leftrightarrow \forall x,y \in X \forall \lambda \in (0,1) \exists \mu > 0 \colon f(\lambda x + (1-\lambda)y) + \mu \lambda (1-\lambda) \Vert x-y \Vert^2 \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)$

Nun habe ich versucht mir angeblich einfach Beispiele einmal zu zeigen, z.B. dass $x^2$ gleichmäßig konvex ist, $x^4$ jedoch nicht. Allerdings scheitere ich daran. Und insbesondere fehlt mir noch eine geometrische Anschauung, mit der ich eine Intuition entwickeln könnte, warum der Unterschied bei sehr ähnlichen Graphen auftritt.

Mein bisheriger Ansatz für $f(x) = x^2$ war folgender:
\[
f(\lambda x + (1-\lambda)y) + \mu \lambda (1-\lambda) \Vert x-y \Vert^2 = \lambda^2 x^2 + 2\lambda (1-\lambda)xy + (1-\lambda)^2y^2 + \mu \lambda (1-\lambda) \Vert x-y \Vert^2 \\
\leq \lambda x^2 + (1-\lambda)y^2 + \lambda(1-\lambda) (2xy + \mu \Vert x-y \Vert^2)
\] Jetzt dachte ich, dass der hintere Teil ja Null werden muss, damit am Ende die richtige Ungleichung dasteht. Das geht für positive $x$ und $y$ aber leider nicht, da ja auch $\mu > 0$ gelten muss. Daher vermute ich mal, dass die Abschätzung $\lambda^2 \leq \lambda$ zu scharf war.

Für $x^4$ würde dann ja ein einfaches Gegenbeispiel reichen, aber ich habe aufgrund der fehlenden geometrischen Anschauung auch keine Idee, welche Zahlen ich da nehmen könnte.

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet, das Thema zu verstehen. :)

Viele Grüße
WWWaldo



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-22


Hey WWWaldo,

ich bin mir sicher, dass der Teil "\(\exists \mu>0\)" ganz vorne stehen soll.

Ja, die Abschätzung ist zu scharf. Am besten schätzt du erst gar nicht ab, sondern schreibst
\(f(\lambda x + (1-\lambda)y)= \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) + Rest\)
und schaust dir an, was dieser Rest-Term ist.

Man könnte sagen, anschaulich bedeutet gleichmäßige Konvexität dass der Graph überall mindestens genauso sehr gekrümmt sein muss wie \(\mu \Vert x \Vert^2\) für ein festes \(\mu >0\) (das nicht von \(x\) abhängt).

Da die Krümmung von \(f(x)=x^4\) nahe der \(0\) immer kleiner wird, wirst du mit \(x\) und \(y\) nahe der \(0\) ein Gegenbeispiel finden. Nimm also an, ein \(\mu >0\) wie in der Definition würde existieren. Dann kannst du dir der Einfachheit halber etwa \(y=0\) setzen sowie \(\lambda=\frac{1}{2}\). Dann suchst du nach einem \(x\), sodass die Ungleichung nicht erfüllt ist.



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WWWaldo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23


2019-04-22 19:40 - Kampfpudel in Beitrag No. 1 schreibt:
Hey WWWaldo,

ich bin mir sicher, dass der Teil "\(\exists \mu>0\)" ganz vorne stehen soll.
Oh, natürlich - Übersetzungsfehler. In meinen Unterlagen war es als Text ausgeschrieben.

2019-04-22 19:40 - Kampfpudel in Beitrag No. 1 schreibt:
Ja, die Abschätzung ist zu scharf. Am besten schätzt du erst gar nicht ab, sondern schreibst
\(f(\lambda x + (1-\lambda)y)= \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) + Rest\)
und schaust dir an, was dieser Rest-Term ist.
Okay, dem bin ich gefolgt und nun bei einem Rest gelandet, der in etwa so aussieht:
\[
(\lambda^2 - \lambda)x^2 + ((1-\lambda)^2-(1-\lambda))y^2 + 2\lambda(1-\lambda)xy + \mu \lambda (1-\lambda) (x-y)^2
\] und dieser muss kleiner als Null werden, damit die Definitionsungleichung gültig bleibt. Die ersten beiden Summanden sind ja auch definitiv negativ (da $\lambda^2 < \lambda$). Aber die anderen beiden sind ja positiv, also bekomme ich es so leicht nicht geschenkt. Wie könnte ich denn weiter machen?

NACHTRAG: Ich habe es jetzt weiter geschafft und ein wenig ausmultipliziert und zusammengefasst, sodass ich schlussendlich zu
\[
(1-\mu) \lambda (1-\lambda) * (-(x-y)^2)
\] gekommen bin. Nun ist der letzte Faktor ja immer negativ und somit der Restterm auch stets negativ. Dann ist die Ungleichung in der Definition also stets erfüllt. Ist das richtig so?

2019-04-22 19:40 - Kampfpudel in Beitrag No. 1 schreibt:
Da die Krümmung von \(f(x)=x^4\) nahe der \(0\) immer kleiner wird, wirst du mit \(x\) und \(y\) nahe der \(0\) ein Gegenbeispiel finden. Nimm also an, ein \(\mu >0\) wie in der Definition würde existieren. Dann kannst du dir der Einfachheit halber etwa \(y=0\) setzen sowie \(\lambda=\frac{1}{2}\). Dann suchst du nach einem \(x\), sodass die Ungleichung nicht erfüllt ist.
Okay, ich glaube das habe ich jetzt gefunden: wenn $|x| < \sqrt{\frac{4}{7} \mu}$, dann ist die Ungleichung für jedes $\mu > 0$ falsch.



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WWWaldo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23


Ich hab mir inzwischen mal die Exponentialfunktion angeschaut und die ist ja nicht gleichmäßig konvex, was ich analog zu dem Fall $x^4$ gezeigt habe. Allerdings sollte man doch strenge Konvexität zeigen können, würde ich meinen (wenn ich mir den Graph) so ansehe. Ohne Verwendung von Differenzierbarkeit muss es doch dann aber irgendeine Abschätzung der Exponentialfunktion geben, die mir gerade nicht auf der Zuge liegt. Weil ansonsten kann ich aus $e^{\lambda x + (1-\lambda)y}$ wohl kaum $\lambda e^x + (1-\lambda)e^y$ machen?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-23


2019-04-23 09:11 - WWWaldo in Beitrag No. 2 schreibt:

NACHTRAG: Ich habe es jetzt weiter geschafft und ein wenig ausmultipliziert und zusammengefasst, sodass ich schlussendlich zu
\[
(1-\mu) \lambda (1-\lambda) * (-(x-y)^2)
\] gekommen bin. Nun ist der letzte Faktor ja immer negativ und somit der Restterm auch stets negativ. Dann ist die Ungleichung in der Definition also stets erfüllt. Ist das richtig so?

2019-04-22 19:40 - Kampfpudel in Beitrag No. 1 schreibt:
Da die Krümmung von \(f(x)=x^4\) nahe der \(0\) immer kleiner wird, wirst du mit \(x\) und \(y\) nahe der \(0\) ein Gegenbeispiel finden. Nimm also an, ein \(\mu >0\) wie in der Definition würde existieren. Dann kannst du dir der Einfachheit halber etwa \(y=0\) setzen sowie \(\lambda=\frac{1}{2}\). Dann suchst du nach einem \(x\), sodass die Ungleichung nicht erfüllt ist.
Okay, ich glaube das habe ich jetzt gefunden: wenn $|x| < \sqrt{\frac{4}{7} \mu}$, dann ist die Ungleichung für jedes $\mu > 0$ falsch.

Zu \(x^2\): Ja, sofern man \(\mu \leq 1\) wählt.
Zu \(x^4\): Genau, also hat man zu jedem \(\mu>0\) ein \(x,y\) und \(\lambda\) gefunden, sodass die Ungleichung nicht gilt.





2019-04-23 10:25 - WWWaldo in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich hab mir inzwischen mal die Exponentialfunktion angeschaut und die ist ja nicht gleichmäßig konvex, was ich analog zu dem Fall $x^4$ gezeigt habe. Allerdings sollte man doch strenge Konvexität zeigen können, würde ich meinen (wenn ich mir den Graph) so ansehe. Ohne Verwendung von Differenzierbarkeit muss es doch dann aber irgendeine Abschätzung der Exponentialfunktion geben, die mir gerade nicht auf der Zuge liegt. Weil ansonsten kann ich aus $e^{\lambda x + (1-\lambda)y}$ wohl kaum $\lambda e^x + (1-\lambda)e^y$ machen?

Abgesehen von der zweiten Ableitung fällt mir da gerade kein Trick ein, der auf jeden Fall ohne Verwendung der zweiten Ableitung zum Ziel führt.



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