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Mathematik » Kombinatorik & Graphentheorie » Es existieren a,b aus M, so dass a | b
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Universität/Hochschule J Es existieren a,b aus M, so dass a | b
Boogie541
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Dabei seit: 20.04.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-22


Guten Abend an alle biggrin


Ich bearbeite seit einer guten Weile eine Aufgabe und stehe da komplett auf dem Schlauch.

Sie lautet:






Mein Problem hierbei ist, dass ich überhaupt nicht weiß, wie ich anfangen  und das Problem mathematisch beschreiben soll...


Ich habe mir das Problem erstmal für $n = 1,2,$ angeschaut



Für $n = 1$


$ N:= \{ 1,2 \}$ hat $2n$ Elemente

$ M = \{ 1,2 \}$ hat $n+1$ Elemente




Für $n = 2$


$ N:= \{ 1,2,3,4 \}$ hat $2n$ Elemente


$ M_{1} = \{ 1,2,3 \}$ hat $n+1$ Elemente

$ M_{2} = \{ 1,2,4 \}$ hat $n+1$ Elemente

$ M_{3} = \{ 1,3,4 \}$ hat $n+1$ Elemente

$ M_{4} = \{ 2,3,4 \}$ hat $n+1$ Elemente



Also ich sehe, dass die Aussage für jede Menge $M$ erfüllt ist. Aber warum ist das so? Und wie kann ich damit die Aufgabe bearbeiten?

Ich hoffe, mir kann jemand helfen.

Liebe Grüße, euer Boogie



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-22


Hallo!

Das ist eine Aufgabe, die man typischerweise mit dem Dirichletschen Schubfachschluss löst. Weißt du, was das ist und wie man ihn anwendet?

Typischerweise braucht man dafür Schubfächer und Objekte, die in diese verteilt werden, sodass aufgrund der Anzahlen in mindestens einem Schubfach "genügend" viele Objekte vorhanden sind.

Du hast n+1 Objekte, nämlich die Elemente von M. Wenn du dir nun n Schubfächer so definierst, dass, sobald zwei Objekte im gleichen liegen, diese eine mögliche Wahl für die gesuchten Werte a und b liefern, dann bist du fertig.

Versuche es einmal. smile

Cyrix



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-22

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

der Trick bei dieser Aufgabe besteht darin jedes Element $x\in M$ in der Form $x=2^k(2l+1)$ zu schreiben, mit $k,l\in \IN$.

Kommst du damit bereits weiter?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Boogie541
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23


Vielen Dank für eure Antworten.

2019-04-22 20:50 - cyrix in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo!

Das ist eine Aufgabe, die man typischerweise mit dem Dirichletschen Schubfachschluss löst. Weißt du, was das ist und wie man ihn anwendet?

Typischerweise braucht man dafür Schubfächer und Objekte, die in diese verteilt werden, sodass aufgrund der Anzahlen in mindestens einem Schubfach "genügend" viele Objekte vorhanden sind.

Du hast n+1 Objekte, nämlich die Elemente von M. Wenn du dir nun n Schubfächer so definierst, dass, sobald zwei Objekte im gleichen liegen, diese eine mögliche Wahl für die gesuchten Werte a und b liefern, dann bist du fertig.

Versuche es einmal. smile

Cyrix


Von diesem Dirichletschen Schubfachschluss habe ich noch nichts gehört. Wüsste nicht, wie ich das Prinzip anwenden sollte.

Aber ich erkundige mich mal danach im Internet darüber (muss jetzt gleich zur Uni  biggrin )

Vielen Dank für den Tipp!



2019-04-22 20:51 - Nuramon in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,

der Trick bei dieser Aufgabe besteht darin jedes Element $x\in M$ in der Form $x=2^k(2l+1)$ zu schreiben, mit $k,l\in \IN$.

Kommst du damit bereits weiter?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



Ich kenne diese Zerlegung nicht, zumindest nicht dieser Form. Habe gelesen, dass dies die Zerlegung der Zahl $x$ in geradem und ungeradem Anteil ist. Aber wozu braucht man das?

Ich hänge schon da fest. Man kann eine Zahl $x$ erhalten, wenn man ihren ungeraden Anteil mit ihrem geraden Anteil multipliziert? Oder wie genau ist diese Zerlegung zu verstehen?

ich bräuchte neben der Zerlegung von $x$ noch einen kleinen Ansatz, damit ich mit der Aufgabe etwas anfangen kann. So fällt mir leider nicht viel ein frown



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Versuche das Schubfachprinzip anzuwenden, indem du zwei Elemente von $M$ ins gleiche Schubfach packst genau dann, wenn sie den gleichen ungeraden Anteil haben.
\(\endgroup\)


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