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Universität/Hochschule Gammafunktion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-23


Definiere die Gammafunktion
\[\Gamma(z):=\frac{1}{G(z)} \quad \forall \, z\in \mathbb{C}\setminus \{0, -1, -2, ... \} \] wo
\[G: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \, \, \, G(z) := \lim_{n\to\infty} G_n(z) \quad \text{und} \quad G_n(z) := \frac{z(z+1) \cdot ... \cdot (z+n)}{n! \cdot n^z} \] Zu zeigen: Gammafunktion ist stetig

Für das machen, zeigen wir das G stetig ist mit Nullstelle genau in die Punkte 0, -1, -2, ... .

Zuerst muss ich zeigen das die Folge (G_n)_n konvergiert:
\[ \text{Für $z \in \mathbb{C}$ nehmen wir $R \in \mathbb{N}$ s.d. $|z| < R$. Dann, für $N \geq 2R$ wir können schreiben} \quad
G_N(z) = G_{2R-1}(z) \cdot \prod_{n=2R}^{N} \frac{G_n(z)}{G_{n-1}(z)} = G_{2R-1}(z) \cdot \exp \sum_{n=2R}^N \ln \frac{G_n (z)}{G_{n-1}(z)}
\] Ich habe schon beweise, dass die Reihe
\[S := \sum_{n=2R}^{\infty} \ln \frac{G_n (z)}{G_{n-1}(z)} \] gleichmässig konvergiert auf K_R(0) (Kügel mit Radius R und Zenter 0).
Dann, exp(S_N) konvergiert zu exp(S) auf K_R (0), wo
\[S_N := \sum_{n=2R}^N \ln \frac{G_n (z)}{G_{n-1}(z)}\] Also wir sehen, dass G_N konvergiert.

Nun, zur beweisen die Stetigkeit von G, ich glaube, dass müss ich zeigen die gleichmässig Konvergenz von G_N nach G, aber ich habe einige Probleme zu das machen.

Ich weiss, dass exp(S_N) konvergiert auch gleichmässig zu exp(S) auf K_R(0), aber ich finde nicht wie machen das folgend.

Haben Sie vielleicht einige Tipps oder Hinweise? Danke viel mal!!



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