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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Majorisierte Konvergenz
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Autor
Universität/Hochschule J Majorisierte Konvergenz
markus0607
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.07.2015
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-23


Hallo zusammen!

Folgende Situation:
Ich habe eine Folge \((f_k)_{k\in\mathbb{N}}\) von Funktionen
\(f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}\), für die gilt
\[
f_k(h)\rightarrow f(h),\ k\rightarrow\infty,\ \forall h\in\mathbb{Z}.
\] Für die funktion \(f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}\)
gilt
\[
\sum_{h\in\mathbb{Z}}|f(h)|<\infty
\] und ich weiß zudem, dass
\[
|f_k(h)|\leq|f(h)|.
\] Ich möchte zeigen, dass
\[
\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sum_{h\in\mathbb{Z}}f_k(h)
=
\sum_{h\in\mathbb{Z}}f(h)
\] gilt.
Meine Frage ist: Greift hier schon der Satz der majorisierten Konvergenz?
Alle formalen Voraussetzungen, Messbarkeit etc., sind erfüllt. Der Knackpunkt ist die Majorante. Die "originale" Voraussetzung sagt ja hier,
dass \(|f_k(h)|\leq g(h)\) für ein integrierbares \(g\) gelten muss.
Für mich scheint es klar dass das so wie ich es hab funktioniert, aber man übersieht ja mal schnell was. Sieht irgendjemand einen Fehler?

Vielen Dank und viele Grüße,

Markus



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darkhelmet
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2631
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-23


Ich sehe keinen Fehler.



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markus0607
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.07.2015
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23


@darkhelmet Super, vielen Dank!



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