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Universität/Hochschule J Existenz von Ringhomomorphismus beweisen
Ralip
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-23


Hallo!

Sei f:R->R' ein Ringhom und x Element von R'. Man zeige: Es gibt genau einen Ringhom g: R[X] -> R' mit g|_R = f und g(X)=x.

Eindeutigkeit habe ich geschafft. Wie könnte man aber die Existenz beweisen?
Ich habe versucht eine entsprechende Relation aufzustellen. Aber dann zu zeigen, dass diese funktional ist, das klappt nicht.

Was wären eure Tipps?

Vielen Dank,
Ralip



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo Ralip,

versuche einfach, einen geeigneten Homomorphismus zu finden. Es muss ja $g(\sum_{k=0}^na_kX^k)=\sum_{k=0}^ng(a_k)g(X^k)$ sein. $g(a_k)$ ist durch die Bedingung $g\vert_R=f$ vorgegeben, du musst also nur eine passende Abbildungsvorschrift für die Monome $X^k$ finden.

Nachtrag: Ich hatte hier als Tipp stehen, dass die Vorschrift nicht injektiv sein müsse. Das stimmt zwar im allgemeinen, ist aber doch nicht so hilfreich wie ich zuerst dachte.
\(\endgroup\)


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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-23


Moin, wie g auf ein Polynom wirken muss, ist nun hoffentlich klar.

Nun mache dir klar, dass Addition und Multiplikation zweier Polynome gerade so definiert sind, dass g ein Ringhomom. ist (Stichwort: universelle Eigenschaft).





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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-23

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2019-04-23 18:26 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Ralip,

versuche einfach, einen geeigneten Homomorphismus zu finden. Es muss ja $g(\sum_{k=0}^na_kX^k)=\sum_{k=0}^ng(a_k)g(X^k)$ sein. $g(a_k)$ ist durch die Bedingung $g\vert_R=f$ vorgegeben, du musst also nur eine passende Abbildungsvorschrift für die Monome $X^k$ finden.

Was mich jetzt ein bißchen verblüfft, dass du die Homorphieeigenschaft von $g$ oben nicht auch auf das Produkt $X^k$ aus k Faktoren anwendest, also

$g(X^k)=g(X)^k \quad (k\in \mathbb N)$

Hat dies einen besonderen Grund?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

im Themenstart fehlt übrigens noch eine Voraussetzung: Man muss fordern, dass $x$ mit allen Elementen aus dem Bild von $f$ kommutiert. (Falls $R'$ als kommutativer Ring angenommen ist, ist das natürlich automatisch erfüllt.)
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-23



Hat dies einen besonderen Grund?

Dann wäre die Aufgabe ja schon so gut wie gelöst ;)



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-23

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2019-04-23 20:47 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 5 schreibt:

Hat dies einen besonderen Grund?

Dann wäre die Aufgabe ja schon so gut wie gelöst ;)

Naja, ich würde meinen, dass die entsprechend abgeänderte Formel zunächst nur mal eine notwendige Bedingung für $g$ darstellt.  😉
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-23

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Ja, klar, aber diese notwendige Bedingung ist nur noch einen Schritt von fertigen Homomorphismus entfernt. Nachzurechnen, dass es tatsächlich einer ist, wäre dann nicht mehr die Krux der Aufgabe. Man könnte wohl auch sagen, dass der Schritt von meinem Hinweis auch nicht mehr groß ist. Ich würde vielleicht im Nachhinein den Hinweis ganz darauf beschränken, sich zu überlegen, wie $g(\sum_k a_kX^k)$ auszusehen hat. Dafür ist's jetzt leider zu spät.
\(\endgroup\)


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Ralip
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23


Ok, ich habe denke ich die Beweislage einfach überschätzt. :D

Aufgabe ist gelöst Dank dir, vielen Dank Vercassivelaunos.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Ralip
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23


Die anderen neuen Antworten hatte ich nicht gesehen (da nicht aktualisiert vor Klick auf "Antworten").

An euch alle natürlich vielen Dank!



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Ralip hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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