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Strukturen und Algebra » Polynome » Mehrdeutigkeit des ggT von Polynomen
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Universität/Hochschule J Mehrdeutigkeit des ggT von Polynomen
Duffman
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-23


Hmm, wegen komischer Formattierung hier nochmal neu:
Hallo, erstmal die Aufgabe, um die es geht:
In \(\mathbb{R}\)[x] seien die Polynome
\(f = x^4 + x^3 + 2x^2- 2x - 8\) und \(g = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x\)
gegeben. Bestimmen Sie h := ggT(f, g). Berechnen Sie außerdem Polynome h1; h2 \(\in\) \(\mathbb{R}\)[x],
sodass die Gleichung \(h=h_1 *f+h_2 *g\) erfüllt ist.

als ggT habe ich mittels des euklidischen Algorithmus \(2x^2+2x+8\) berechnet. Einige Kommilitonen und alle Websites, auf denen man so nachschauen kann geben allerdings \(x^2+x+4\) an. Da fällt ja gleich auf, dass ich nur ein Vielfaches davon habe. Deshalb meine Frage, ob das ggT denn eindeutig definiert ist, wenn man es für Polynome berechnet.
Und falls ja, dann schaut euch doch bitte meine Lösung an und helft mir, meinen Fehler zu finden:
\[g=f*1+(x^3+3x^2+6x+8)\] \[f=(x^3+3x^2+6x+8)*(x-2)+(2x^2+2x+8)\] \[(x^3+3x^2+6x+8)=(2x^2+2x+8)*(x/2+1)\]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo Duffman und herzlich Willkommen auf Matroids Matheplanet!

Könntest du das erste Polynome nochmal überprüfen? Ich habe beide durch mein CAS gejagt und der ggT \(x^2+x+4\) teilt das Polynom \(g\), nicht aber \(f\).

EDIT: kann es sein, dass es

\[f=x^4+x^3+6x^2+2x+8\]
heißen muss?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Duffman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23


Ja, Tippfehler. es muss -2x -8 sein.



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-23


Moin, der ggT ist bis auf Einheiten eindeutig, jedenfalls in Hauptidealringen.

Weil 2 eine Einheit in IR[X] ist, wäre das also kein Fehler.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

ok, zu deiner nächsten Frage: der ggT von Polynomen ist insofern nicht eindeutig, da er aus dem Produkt aller irreduziblen Faktoren besteht, die Faktoren beider Polynome sind. Also ist mit einem ggT jedes Vielfache ebenfalls ein größter gemeinsamer Teiler. Und dieses Phänomen ist dir hier begegenet (insbesondere sieht deine Rechnung für mich richtig aus).

Es wird dann eben in der Regel die normierte Variante angegeben bzw. benutzt, also hier \(ggT(f,g)=x^2+x+4\)


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Duffman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23


Vielen Dank, das beantwortet meine Frage schon :)



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Duffman hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Duffman hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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