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Mathematik » Numerik & Optimierung » Überbestimmtes quadratisches Gleichungssystem
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Universität/Hochschule J Überbestimmtes quadratisches Gleichungssystem
Greyfox
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-24 15:05


Hallo,

ich habe ein Optimierungsproblem. Da ich leider in der Numerik überhaupt nicht zu Hause bin, wäre ich über einen Tipp dankbar.


Für große n ist dieses System überbestimmt und es wird keine algebraische Lösung geben. Hätten wir ein System von linearen Gleichungen, so würde ich die kleinste Quadrate-Methode ansetzen.
fed-Code einblenden
Ist n groß genug, so ist das System überbestimmt und es wird keine algebraische Lösung geben.  
Wie würdet Ihr rangehen, um eine "gute" Lösung zu bekommen?

(Wäre es ein lineares Gleichungssystem, so würde ich es mit der kleinste Quadratemethode versuchen. Ist aber nicht linear.)

Beste Grüße
Greyfox



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MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1679
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-24 17:12


Hallo Greyfox,
es muss doch auch nicht linear sein. Du kannst die Bedingung aufstellen, dass die Summe der Abweichungsquadrate ein Minimum annehmen soll. Die Summe lautet:
$$S(x,y)=\sum_{k=1}^n(a_kx+b_ky+c_kxy-d_k)^2$$Wenn die Summe minimal werden soll, müssen die Ableitungen nach $x$ und nach $y$ jeweils null sein:
$$\frac{\mathrm dS(x,y)}{\mathrm dx}=0=2\sum_{k=1}^n(a_kx+b_ky+c_kxy-d_k)(a_k+c_ky)$$$$\sum_{k=1}^n(a_k^2x+a_kb_ky+a_kc_kxy-a_kd_k+a_kc_kxy+b_kc_ky^2+c_k^2xy^2-c_kd_ky)$$$$(1)\quad x\left(\sum_{k=1}^na_k^2+2y\sum_{k=1}^na_kc_k+y^2\sum_{k=1}^nc_k^2\right)+\left(-\sum_{k=1}^na_kd_k+y\sum_{k=1}^n(a_kb_k-c_kd_k)+y^2\sum_{k=1}^nb_kc_k\right)=0$$Und zweitens:
$$\frac{\mathrm dS(x,y)}{\mathrm dy}=0=2\sum_{k=1}^n(a_kx+b_ky+c_kxy-d_k)(b_k+c_kx)$$$$\sum_{k=1}^n(a_kb_kx+b_k^2y+b_kc_kxy-b_kd_k+a_kc_kx^2+b_kc_kxy+c_k^2x^2y-c_kd_kx)=0$$$$x^2\left(\sum_{k=1}^na_kc_k+y\sum_{k=1}^nc_k^2\right)+x\left(\sum_{k=1}^n(a_kb_k-c_kd_k)+2y\sum_{k=1}^nb_kc_k\right)+\left(-\sum_{k=1}^nb_kd_k+y\sum_{k=1}^nb_k^2\right)=0$$Du kannst nun Gleichung (1) nach $x$ auflösen und hier einsetzen. Das ergibt dann eine Gleichung 5. Grades für $y$, welche Du per Newton o.ä. lösen kannst. Das setzt Du dann noch in (1) ein, um $x$ zu bekommen. Sieht komplizierter aus, als es ist.

Ciao,

Thomas




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Greyfox
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.08.2003
Mitteilungen: 304
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24 18:24


Lieber Thomas,

vielen lieben Dank. Durch die ganze lineare Algebra, wo man dann mit Pseudoinversen multipliziert und die Lösung in Sekunden auf dem Silbertablett serviert bekommt, war ich zu träge, um das Minimum mit quasi Schulmathematik zu suchen.

Vielen Dank fürs Reindenken und natürlich fürs perfekte aufbereiten mit mühevoller Tipparbeit. Wenn ich jetzt nicht klarkomme, bin ich wirklich selber schuld.

Vielen lieben Dank,
Greyfox



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