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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphie: Satz von Liouville
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Universität/Hochschule Holomorphie: Satz von Liouville
Neymar
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  Themenstart: 2019-04-24

Hallo alle zusammen, in der Vorlesung wird gezeigt: Jede auf ganz $\mathbb{C}$ holomorphe beschränkte Funktion mit Werten in $\mathbb{C}$ (oder allgemeiner einem komplexen Banachraum $E$) ist konstant. Hier der Beweis aus dem Skript: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50990_beweis_liouville.JPG Mit der Abschätzungsformel ist die Formel $|a_n| \leq \frac{M_r}{r^n} = \frac{max\{|f(\zeta)|, \zeta \in \overline{B_r(z_0)}\}}{r^n}$ gemeint: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50990_theorem_1_3_12_skript.JPG Okay, wie folgt aus dieser Formel $|a_n| \leq \frac{M}{r^n}$ ? (Vielleicht ist es trivial, aber ich sehe es noch nicht. Immerhin wissen wir ja nur, dass $|f(z)| \leq M \ \forall z \in \mathbb{C}$, aber warum ist $M \leq M_r$?) Gruß Neymar


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\) Hallo Neymar, $M$ ist per Definition eine obere Schranke von $\vert f\vert$ auf ganz $\C$. $M_r$ ist das Maximum von $\vert f\vert$ auf lediglich $\overline{B_r(0)}$. Damit ist $M$ größer als jedes solche $M_r$ (oder gleich). Dann ist auch $\vert a_n\vert\leq \frac{M_r}{r^n}\leq\frac{M}{r^n}$. Grüße, Vercassivelaunos\(\endgroup\)


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Neymar
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24

Oh, und noch eine Sache: Sei $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ eine holomorphe Funktion derart, dass $|f(z)| \leq M|z|^n \ \forall z \in \mathbb{C}$ mit $|z| \geq R$ ($R, M \in \mathbb{R}_+)$. Könnte man nicht vollkommen analog wie beim Beweis vom Satz von Liouville zeigen, dass $|a_n| = 0$, und zwar so: $|a_n| \leq \frac{M|z^n|}{r^n}$ mit $r>0$ beliebig!? Oder wäre hier das Problem, dass theoretisch $|z|^n$ auch beliebig groß werden könnte, so dass man in den Grenzwerten ,,$\frac{\infty}{\infty}$" stehen hätte ... Deine Antwort sehe ich ein. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\) Du hast hier einmal ein festes $n$ ($\vert f\vert\leq M\vert z\vert ^n$), und einmal ein variables ($a_n$). Es sollte eher $\vert f\vert\leq M\vert z\vert^k$ sein. Dann lässt sich analog zeigen, dass $a_n=0~\forall n>k$, also dass $f$ dann ein Polynom von Grad $\operatorname{deg}f\leq k$. Davon wäre der Satz von Liouville der Spezialfall mit dem Polynom vom Grad 0.\(\endgroup\)


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