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Lineare Algebra » Determinanten » Determinante ist + -1
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Universität/Hochschule Determinante ist + -1
Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-25


Hallo

ich komme leider gerade nicht weiter.
A ist invertierbar über Z wenn es B gibt mit A *B = B* A = E.
Zeigen soll ich nun A ist invertierbar über Z genau dann wenn det(A)= + - 1.

Es ist
det(E)=1=det(A*B)=det(A)*det(B)=det(B)*det(A)=det(B*A)
doch was bringt mir das für den Beweis?



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BerndLiefert
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Aus: Lehramtplanet
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-25


Moin,

wenn A invertierbar ist, was kannst du dann über det(A) aussagen? Betrachte dazu det(A*A^-1)...


-----------------
Vorsitzender der Reptiloidengilde
Träger des großen Aluhutes
Kartograph der Chemtrailflüge
Freund Gaias

An algebraic structure with less than three elements shouldn't be called a group.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-25


2019-04-25 21:27 - BerndLiefert in Beitrag No. 1 schreibt:
wenn A invertierbar ist, was kannst du dann über det(A) aussagen? Betrachte dazu det(A*A^-1)...

Aber genau das macht der TS ja oben, mit dem einzigen Unterschied, dass er $B$ statt $A^{-1}$ schreibt. Das Problem scheint mir also eher darin zu liegen, dass er entweder aus $\det(A)\det(B)=1$ nicht den Schluss zieht, dass $\det(A)$ dann ein Teiler von 1 in $\mathbb Z$ sein muss oder aber ein Problem damit hat, diese Teiler von 1 zu bestimmen.  eek



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Goswin
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Aus: Chile, Ulm
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-25


2019-04-25 21:20 - Bibi90 im Themenstart schreibt:
A ist invertierbar über Z wenn es B gibt mit A *B = B* A = E.
Zeigen soll ich nun A ist invertierbar über Z genau dann wenn det(A)= + - 1.

Ich nehme einmal an, "invertierbar über Z" setzt voraus, dass sowohl <math>A\in\mathbb{Z}_{nn}</math> als auch <math>B\in\mathbb{Z}_{nn}</math> sein muss. Dann gilt aber auch <math>\det(A)\in\mathbb{Z}</math> und <math>\det(B)\in\mathbb{Z}</math>.



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-26

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Wobei hier dann noch die Rückrichtung fehlt, also $\det A=\pm1\Rightarrow$ $A$ invertierbar. Dafür würde ich auf das charakteristische Polynom $\chi_A$ schauen, und dass $\det A=\chi_A(0)$ (warum?) und $\chi_A(A)=0$.
\(\endgroup\)


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Creasy
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Dabei seit: 22.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-26


Alternativ kann man auch diese Formel über die cramersche Regel verwenden und feststellen dass die adjunkte Matrix auch Einträge in Z hat.


-----------------
Smile (:



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-26


Ok ich glaub ich habe es jetzt besser verstanden.

Es gilt ja
1= det(A*B)=det(A)*det(B) --> 1/det(B)= det(A)
Da A element Z gilt auch det(A) element Z somit folgt
det(A)=(-1)^n --> det(A)=+-1

Stimmt das so?

Die Rückrichtung.
Sei det(A)= +-1. Da die Determinante ungleich null ist, ist A invertierbar. Es gilt
A^(-1)= 1/det(A) * adj(A)
A^(-1)= 1/(-1)^n * adj(A)
Doch wie geht es dann weiter?



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-26


Kann mir niemand sagen ob das so stimmt? Und wie die Rückrichtung weiter geht?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-26


2019-04-26 09:44 - Bibi90 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ok ich glaub ich habe es jetzt besser verstanden.

Es gilt ja
1= det(A*B)=det(A)*det(B) --> 1/det(B)= det(A)
Da A element Z gilt auch det(A) element Z somit folgt
det(A)=(-1)^n --> det(A)=+-1

Stimmt das so?

Wo kommt denn das $n$ hier her? Falls es die Zeilenanzahl von $A$ ist, ist das natürlich Unsinn. Noch einmal: Es geht darum, die Teiler von 1 innerhalb der ganzen Zahlen zu bestimmen!


Die Rückrichtung.
Sei det(A)= +-1. Da die Determinante ungleich null ist, ist A invertierbar. Es gilt
A^(-1)= 1/det(A) * adj(A)
A^(-1)= 1/(-1)^n * adj(A)
Doch wie geht es dann weiter?

Offenbar ist dir hier nicht klar, dass adj(A) nur mehr ganzzahlige Einträge hat, es steht oder fällt also alles mit der Ganzzahligkeit des Vorfaktors 1/det(A).



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-26


Also das n ist element der ganzen Zahlen und hat nichts mit der Matrix zu tun.
Das habe ich vergessen hinzuschreiben. Für n gerade erhalte ich dann 1 und für n ungerade -1.
Ist es besser, wenn ich das n weglasse?

Zur Rückrichtung.

Mir ist schon klar, dass adj(A) ganzzahlig sein muss. Allerdings weiß ich nicht wie ich das hier hinschreiben kann. Kannst du mir da helfen?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-04-26


2019-04-26 14:09 - Bibi90 in Beitrag No. 9 schreibt:
Also das n ist element der ganzen Zahlen und hat nichts mit der Matrix zu tun.
Das habe ich vergessen hinzuschreiben. Für n gerade erhalte ich dann 1 und für n ungerade -1.
Ist es besser, wenn ich das n weglasse?

Klar ist das besser, denn jeder fragt sich hier, so wie ich, wo das $n$ plötzlich herkommt. Du solltest einfach nur $\det(A)=\pm 1$ angeben, das genügt vollauf.


Zur Rückrichtung.

Mir ist schon klar, dass adj(A) ganzzahlig sein muss. Allerdings weiß ich nicht wie ich das hier hinschreiben kann. Kannst du mir da helfen?

Da gibt es nichts zum hinschreiben, außer eben, dass die Matrixelemente von adj(A) nach deren Definition (s. hier) ganzzahlig sind, da sie aus den Elementen von $A$ nur mithilfe von Addition, Subtraktion und Multiplikation gebildet werden. Es kommt also damit wirklich nur auf den Vorfaktor $1/\det(A)$ an.



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-26


Ok dankeschön



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