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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gleichmäßige Konvergenz widerlegen
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Universität/Hochschule J Gleichmäßige Konvergenz widerlegen
GalapagosInseln
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-27


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-27


2019-04-27 17:31 - GalapagosInseln im Themenstart schreibt:
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Die Bedingung "$|x^n-f(x)|<\varepsilon$ für alle $x\in[0,1]$" sagt tatsächlich, dass die Funktion $x\mapsto x^n$ in einem $\varepsilon$-Schlauch um $f$ herum liegen muss. Aber für die hier betrachtete unstetige Grenzfunktion $f$ sieht dieser Schlauch in der Nähe von $x=1$ nicht mehr so aus, wie man sich einen Schlauch üblicherweise vorstellt. Beachte insbesondere, dass der konstante "Durchmesser" des Schlauchs nicht senkrecht auf dem Graphen von $f$ steht, sondern parallel zur $y$-Achse abzutragen ist.

Wenn du erstmal nur den "Anfang" des Schlauchs auf einem Intervall $[0,a]$ mit $0<a<1$ betrachtest, findest du leicht ein passendes $n$. Je weiter dieser Anfang aber für $a\to1$ an $x=1$ herankommt, desto schwerer wird das, d.h. für $a\to1$ geht $n\to\infty$. Und das bedeutet, dass du kein $n$ findest, für das $x\mapsto x^n$ auf dem ganzen Intervall $[0,1]$ im Schlauch liegt.

Übrigens hättest du auch auf dem halboffenen Intervall $[0,1)$ für die stetige Grenzfunktion $f(x)=0$ keine gleichmässige Konvergenz.



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-27


Hallo,
wenn Du einfach so ein x betrachtest und Grenzwertüberlegungen anstellst, kommst Du nicht weiter, weil die Folge ja punktweise konvergiert. Also muß sich Dein x möglichst in Abhängigkeit von n ändern. Wähle also x=x(n), wobei x(n) sich der Null immer mehr nähert für wachsendes n.
Wenn die Folge glm konvergieren würde, müßte ein Epsilon und ein(!) N für alle(!) von n abhängigen x, wenn sie nur größer 0 sind, funktionieren.
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Gruß Wauzi


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Primzahlen sind auch nur Zahlen



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GalapagosInseln
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-28


Okay, schonmal vielen Dank für eure beiden Antworten, sie haben schon Licht ins Dunkel gebracht. Aber ganz sicher bin ich nicht, ob ich es richtig verstanden habe.

Wenn ich die Bedingung verneine, also alle Quantoren umdrehe, steht da ja

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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-28


Ich hatte einen Fehler mit x->0. Richtig ist natürlich x->1. Deine Lösung ist richtig, aber mit der Einschränkung, daß x so gewählt werden muß, daß x(n)<=1 ist. Aber das ist kein Problem.
Gruß Wauzi



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