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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » f-Urbild Definition
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Universität/Hochschule J f-Urbild Definition
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-30


Hallo Leute,

hier ein Ausschnitt aus dem Skript, wo ich nicht sicher bin, ob ich das verstehe:



Es geht um die Definition des Urbilds einer Funktion f. Hier wird die Menge S nicht definiert, sie muss also theoretisch gar nicht Teilmenge von B sein.

Das verunsichert mich, weil dann doch $f^{-1}(\{s\})$ für alle $s \in S\setminus B$ gar nicht definiert ist - oder zumindest dachte ich das bisher.

Frage: Ist es also völlig in Ordnung, wenn S mehr Elemente hat als A auch $f^{-1}(S)$ zu bilden?

In Wiki ist nämlich die Definition so wie ich sie kenne, also dass $S\subseteq B$ ist.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-30


Hallo,

es ist $S\subseteq B$ und hat mit $A$ erstmal nichts zu tun.

Es ist aber $f^{-1}(S)\subseteq A$


In Wiki ist nämlich die Definition so wie ich sie kenne, also dass S⊆A ist.

Das hast du leider falsch verstanden. Tippfehler?



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Ralip
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-30


Es ist doch auch möglich das Urbild zu definieren (auf die genau gleiche Weise), wenn S keine Teilmenge von B ist. Sind sie disjunkt, wäre das Urbild leer. Was spricht dagegen?

Weiter ist eine Funktion doch auch für leere Mengen A,B definiert. Bzw. kann man für die Funktion doch auch Definitionsmenge und Wertemenge angeben?
Es lässt sich doch auch dann problemlos ein Tripel (A,B,G) bilden, wobei G eine funktionale Relation auf A und B sei.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-01


2019-04-30 21:57 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
 Tippfehler?

Ja, sorry. Habe es korrigiert. Hoffe jetzt ist die Frage klar.



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-01

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

2019-05-01 11:55 - curious_mind in Beitrag No. 3 schreibt:
Ja, sorry. Habe es korrigiert. Hoffe jetzt ist die Frage klar.

hm, für mich ist sie alles andere als klar. Das Urbild von \(S\) besteht aus der Menge \(f^{-1}(S)\) aller \(x\in A\) mit \(f(x)\subseteq S\). \(S\subseteq B\) ist ja jetzt geklärt. Wie soll denn S mehr Elemente haben als \(f^{-1}(S)\)?

EDIT: doch das geht (war ein Denkfehler meinerseits). Siehe Beitrag #7 von zippy.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-01


D.h. also ihr setzt voraus, dass $S \subseteq B$ ist?

Das tut mein Skript nämlich nicht.



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-01

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
2019-05-01 12:56 - curious_mind in Beitrag No. 5 schreibt:
D.h. also ihr setzt voraus, dass $S \subseteq B$ ist?

Das tut mein Skript nämlich nicht.

Ja. Das ergibt doch sonst keinerlei Sinn.

Sorry, ich hatte hier einen gedanklichen Hänger.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 589
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-01

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
2019-05-01 12:06 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
Wie soll denn S mehr Elemente haben als \(f^{-1}(S)\)?

Betrachte $f\colon[0,10]\to[0,10]$, $x\mapsto x/2$. Die Menge $S=[0,10]\cap\mathbb Z$ enthält offenbar mehr Elemente als $f^{-1}(S)$.
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Mitteilungen: 1604
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-01

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-05-01 13:00 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
2019-05-01 12:56 - curious_mind in Beitrag No. 5 schreibt:
D.h. also ihr setzt voraus, dass $S \subseteq B$ ist?

Das tut mein Skript nämlich nicht.
Ja. Das ergibt doch sonst keinerlei Sinn.
Warum ergibt das keinen Sinn? Siehe No.2.

2019-05-01 12:06 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
Wie soll denn S mehr Elemente haben als \(f^{-1}(S)\)?
Wenn $S\not\subset f(A)$ gilt kann das schon passieren.

\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-01


@zippy, Nuramon:
Danke für die Hinweise, das war ein Irrtum meinerseits.

Ich habe meine Beiträge entsprechend angepasst.


Gruß, Diophant



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-01


Jetzt bin ich nur verwirrter.

Also nochmal: Sei $f: A\to B$ und $B \subsetneq S$. (Insbesondere soll S also mehr Elemente enthalten als $f(A)$!)

1. Ist dann $f^{-1}(S)$ definiert?
2. Ist $f^{-1}(S)=f^{-1}(f(A))$?

Ich will von Euch keine Beispiele, sondern wissen, ob S beliebig sein kann.

Aus meinem bisherigen Verständnis heraus, musste S immer eine Teilmenge von $f(A)$ sein, weil sonst $f^{-1}(s)$ für diejenigen $s\in S\setminus f(A)$ gar nicht definiert ist.

Mein Skript definiert aber S gar nicht und folglich könnte S sogar gar keine Elemente enthalten, oder eben viel mehr als $f(A)$.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-05-01


2019-05-01 15:40 - curious_mind in Beitrag No. 10 schreibt:
Jetzt bin ich nur verwirrter.

Also nochmal: Sei $f: A\to B$ und $B \subsetneq S$. (Insbesondere soll S also mehr Elemente enthalten als $f(A)$!)

1. Ist dann $f^{-1}(S)$ definiert?
2. Ist $f^{-1}(S)=f^{-1}(f(A))$?

3. Ich will von Euch keine Beispiele, sondern wissen, ob S beliebig sein kann.

4. Aus meinem bisherigen Verständnis heraus, musste S immer eine Teilmenge von $f(A)$ sein, weil sonst $f^{-1}(s)$ für diejenigen $s\in S\setminus f(A)$ gar nicht definiert ist.

5. Mein Skript definiert aber S gar nicht und folglich könnte S sogar gar keine Elemente enthalten, oder eben viel mehr als $f(A)$.

1. Ja
2. Ja
3. Ja, kann es.
3. Doch, es ist definiert. Es ist die leere Menge.
4. Ja, sowohl als auch.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-01


Ok, alles klar. Danke!



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