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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » * Die Mondkette
Thema eröffnet 2019-05-01 19:34 von
Primentus
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Kein bestimmter Bereich * Die Mondkette
hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2019-05-06


Auf die Entfernungsangabe würde ich nicht herumreiten.
Ob man nun fest vorgibt,
oder schreibt: wie bei google Suche unter "Entfernung Erde Mond"

Wichtig ist doch der Algorithmus & die Berechnungs-Zeiten.



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Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, eingetragen 2019-05-06


Bei Pari/GP gibt es auch eine parallele for-Schleife für Primzahlen:
parforprime()

Aber mit meiner single-Thread-Engine (Standard Download)
wird es langsamer: statt 24 s über 33 s

Weiter mit cpp...



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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-06


Hallo Bernhard,

freut mich, dass Du - wenn auch im Stillen - ebenfalls Spaß an dem Rätsel hattest.

Sicherlich ist es etwas ungewöhnlich, zwei verschiedene Lösungen gelten zu lassen (mache ich normalerweise sonst nicht). Von mir vorgesehen und gemeint war tatsächlich nur die Entfernung zwischen den Oberflächen der beiden Himmelskörper wie in der Zeichnung zu sehen. Aber die Frage ist eben - passt dazu die z. B. bei Wikipedia angegebene Entfernung von 384400 km? Wie weird schon anmerkte, wäre es besser gewesen, wenn ich die Entfernung fest vorgegeben hätte, dann würde es nicht zu diesen unterschiedlichen Interpretationen kommen.

Da Du aber auch selbst sagst, man müsse die Entfernung eigentlich anhand der Schwerpunkte messen, müsste man tatsächlich vorher den ungefähren Erdradius und ungefähren Mondradius abziehen, da es bei meiner Aufgabe tatsächlich nur um die Oberflächenentfernung geht.

LG Primentus



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, eingetragen 2019-05-06


HyperG, ich habe auch noch paar Optimierungsreserven   wink


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2019-05-06


habs erst jetzt gesehen, und bin auch über den abstand oberfläche-oberfläche gestolpert, und natürlich über die unmasstäblichkeit der skizze

ich denke der mittlere mondumlaufradius ist ~ 384400km

nun, ging die kette von mitte erde zu mitte mond dann lägen immerhin noch die 374 grössten der 171692 kettenglieder komplett im mond

[excel berechenzeit ~ 35min, weil ich erst wieder suchen muste wie man text in spalten überträgt]

und ich frage mich jetzt das wievielte kettenglied als erstes komplett in der erdatmosphäre läge?

[berechenzeit dauert für mich zu lange da es bestimmt erst das x-zehntausendste ist und ich immer nur 256 prims in spalten übertragen kann]



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.37 begonnen.]



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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-06


2019-05-06 20:24 - haribo in Beitrag No. 44 schreibt:
und ich frage mich jetzt das wievielte kettenglied als erstes komplett in der erdatmosphäre läge?

Hallo haribo,

würde von Erdmittelpunkt zu Mondmittelpunkt gemessen werden (naja, genau genommen zwischen den Schwerpunkten anstatt Mittelpunkten), so wäre, wenn man den Erdradius von 6378,16 km in Äquatorhöhe annehmen würde, die 24194. Primzahl, welche 276869 ist, diejenige, die als erstes komplett in der Erdatmosphäre liegt (d. h. es wäre der Halbkreis mit Radius 276,869 Metern).

Theoretisch müsste man da jetzt aber wieder argumentieren und sagen, da die Erde ja leicht "schief" im Universum liegt, ist es falsch, den Äquatorradius anzunehmen, aber der Polradius würde ebenfalls nicht passen. Genau genommen müsste man dazu berechnen, inwieweit sich aufgrund der seitlichen Neigung der Erde der Erdradius ergeben würde (eigentlich irgendwas zwischen Polradius und Äquatorradius). Aber das würde die Aufgabe noch mehr verkomplizieren, als sie es jetzt ohnehin schon geworden ist.  razz

Ich merke schon, die Aufgabe wird wohl noch längere Diskussionen nach sich ziehen. biggrin

LG Primentus



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2019-05-06


Hallo Norman,

ich hätte nicht gedacht, dass Deine piko EXE auf meinen beiden Intel CPUs nochmals schneller sind, da AMD normalerweise bei INT64 Mul/Div schneller ist:
Normans piko.exe
i7 3,5 GHz Primzahl 97625744471  683.5316936083254 s pm
i9 4,4 GHz Primzahl 97625744471  397.4175920905545 s pm

Oder hast Du nochmals optimiert?



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2019-05-06


Naja, nochmal leichte Verbesserung durch Optimierung.

Neu :

 Primzahl  97625744471
 684.729978342948 Sekunden

i9 hätte somit etwa: 352s , < 6min


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2019-05-07


2019-05-06 21:05 - Primentus in Beitrag No. 45 schreibt:

Hallo haribo,

würde von Erdmittelpunkt zu Mondmittelpunkt gemessen werden (naja, genau genommen zwischen den Schwerpunkten anstatt Mittelpunkten), so wäre, wenn man den Erdradius von 6378,16 km in Äquatorhöhe annehmen würde, die 24194. Primzahl, welche 276869 ist, diejenige, die als erstes komplett in der Erdatmosphäre liegt (d. h. es wäre der Halbkreis mit Radius 276,869 Metern).

Theoretisch müsste man da jetzt aber wieder argumentieren und sagen, da die Erde ja leicht "schief" im Universum liegt, ist es falsch, den Äquatorradius anzunehmen, aber der Polradius würde ebenfalls nicht passen. Genau genommen müsste man dazu berechnen, inwieweit sich aufgrund der seitlichen Neigung der Erde der Erdradius ergeben würde (eigentlich irgendwas zwischen Polradius und Äquatorradius). Aber das würde die Aufgabe noch mehr verkomplizieren, als sie es jetzt ohnehin schon geworden ist.  razz

Ich merke schon, die Aufgabe wird wohl noch längere Diskussionen nach sich ziehen. biggrin

LG Primentus

wenn in der annahme eine unsicherheit besteht dann sollte man im ergebnis wohl nicht eine grössere genauigkeit vortäuschen, müsste also wohl schreiben das der erdradius im bereich 6371km +/- 6 sich befindet (+ mount everest?) also das kettenglied mit der nummer im bereich der 24184. +/-10 sich befindet und der radius damit im genauigkeitsbereich 276734mm +/- 135mm liegt

ist doch irgendwie schön wenn man trotz einer 6km unsicherheit in der annahme, ein handbreit genaues ergebniss errechnen kann

ich meine ingenieure haben sich darauf geeinigt das die vorletzt ziffer (ungleich null) signifikant richtig sein sollte(?), würden also dann in einer zahl den radius mit 276700 mm angeben, naja die schreiben das wohl doch eher in metern 276,7

im kopf heute morgen hatte ich ~40m abgeschätzt (6*2,3/388) [dreisatz mit erdradius und mond-orbit-radius in Tkm; grösstes primkettenglied in km]

also mir ein riesenrad, irgendwas zwischen prater/wien und golden eye/london vorgestellt

nun wäre es doch eher doppelt so gross wie das grösste bisher geplante riesenrad (nippon moon d=250m)
haribo






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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, eingetragen 2019-05-07


Es sind also ( mindestens ) zwei Dinge die man hier erfahren kann... Wie schwierig ( oder leicht ) es ist diese großen Summen von Primzahlen genau zu bestimmen, und was für Probleme mit einem so einfachen Wert wie "der mittlere Abstand zwischen Erde und Mond" verbunden sein könnnen bzw. was es um den Wert herum so alles zu entdecken gibt.

Und natürlich - dass die "gefühlte" Genauigkeit manchmal... ein etwas schwammiger Begriff ist...




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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, eingetragen 2019-05-07


Arg und ich hatte noch einen Ansatz im Kopf. Wenn man die Aufgabe so liest, dass man wissen will wie weit man "ungefähr" ( == mindestens ) gehen muss, dann könnte man versucht sein, das Integral Primzahldichte(x) * x auszuwerten und sich überlegen, wie man das am besten hinbekommt bzw. wohin einen eine einfache nummerische integration führt. Auf die Art habe ich übrigens auch die erste obere Grenze ermittelt, die ich für das Siebverfahren brauchte bzw. um mich erstmal klar zu machen, ob es überhaupt so einfach geht mit der Sieberei oder man von Anfang an in Probleme mit Speicher oder Rechenzeit läuft...


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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.51, eingetragen 2019-05-07


So Norman,

Deine summep2.exe mag zwar für den Ryzen optimiert sein,
aber beim i9 wurde sie 10,56 s langsamer: 407,98331 s

Endlich habe ich NextPrime-Algorithmus schneller bekommen und bin unabhängig von Sieb-Arrays!

Zunächst alles nur für die langsamere i7 CPU, die auf 8 Kerne begrenzt ist:
i7 & Ryzen 7 CPU Benchmarks
i7
Programm              mm (bis 2332507)       µm (bis 82519663)  nm (2858829823)
Pari/GP 1 K            0.059 s               0.831 s            24.3 s
Norman-Sieb R7 1 Kern  0.02  s               0.55  s            15.1 s
cppAsmNextPrime 1K     0.117 s               0.176 s
cppAsmNextPrime 8K     0.043 s               0.088 s

NextPrime musste dafür in optimierte Bereiche aufgeteilt werden.

Die Anfangs-Idee stammt von weird und wurde mit Hilfe vieler Quellen
(stackoverflow.com/questions/4424374/determining-if-a-number-is-prime
Mul-Div-Mod ASM mit 127 Bit Zwischenergebnis;
Multitasking,...) optimiert.

Die Optimierung für Primzahlen bis 2858829823,
AVX-Befehle & die Optimierung für i9 kommen nun dran...



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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.52, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-07


2019-05-07 10:37 - haribo in Beitrag No. 48 schreibt:
wenn in der annahme eine unsicherheit besteht dann sollte man im ergebnis wohl nicht eine grössere genauigkeit vortäuschen, müsste also wohl schreiben das der erdradius im bereich 6371km +/- 6 sich befindet (+ mount everest?) also das kettenglied mit der nummer im bereich der 24184. +/-10 sich befindet und der radius damit im genauigkeitsbereich 276734mm +/- 135mm liegt

Wenn man annimmt, dass der tatsächliche Erdradius irgendein Wert zwischen dem Polradius (6356,775 km) und Äquatorradius (6378,160 km) ist, dann würde vom Mittelpunkt der Erde aus gesehen der Halbkreis mit einem Radius zwischen 276,371 m und 276,847 m (d. h. zwischen der 24155. und 24194. Primzahl), also 276,609 m $\pm$ 0,238 m als erster komplett in der Erdatmosphäre liegen, wobei ich jetzt aber mal den Mount Everest außen vor gelassen habe. Ich nehme mal an (aber das ist natürlich auch wieder nur eine Vermutung), dass die Erdradien sich auf die Meereshöhe beziehen. Aber letztlich stimmt auch diese Rechnung wieder nicht, weil der Mittelpunkt der Erd"kugel" wahrscheinlich gar nicht exakt mit dem Schwerpunkt übereinstimmt, von dem aus man die Erde - Mond Distanz normalerweise messen müsste.

2019-05-07 10:52 - gonz in Beitrag No. 49 schreibt:
Es sind also ( mindestens ) zwei Dinge die man hier erfahren kann... Wie schwierig ( oder leicht ) es ist diese großen Summen von Primzahlen genau zu bestimmen, und was für Probleme mit einem so einfachen Wert wie "der mittlere Abstand zwischen Erde und Mond" verbunden sein könnnen bzw. was es um den Wert herum so alles zu entdecken gibt.

Und natürlich - dass die "gefühlte" Genauigkeit manchmal... ein etwas schwammiger Begriff ist...

Ja, so ist es letztendlich. Bin selbst überrascht, wie ungenau meine Aufgabenstellung eigentlich formuliert ist bzw. dass bei einer Aufgabe wie dieser letztlich so viele "Schwammigkeiten" zu Tage treten können. Da wird man wohl am Ende gar keine einheitliche Ansicht finden, die das Problem 100 % korrekt und genau beschreibt.

Unklare Fragen sind eben:

1. Ist der Abstand Erde - Mond tatsächlich von Erdschwerpunkt zu Mondschwerpunkt zu sehen? (eigentlich ja)

2. Sowohl Erde als auch Mond sind keine exakten Kugeln, daher ist die Frage: Inwieweit weichen die "Kugel"-Mittelpunkte, die man ja hier bei der Berechnung fälschlicherweise verwendet, von den Schwerpunkten ab? Und weil sich Erde und Mond drehen, müsste man eigentlich eine mittlere Abweichung von Schwerpunkt und Mittelpunkt zugrundelegen, um zu wissen, wo man mit dem ersten Halbkreis mit Radius 2 mm ansetzen muss.

3. Welche Höhenangaben (Meereshöhe oder Berggipfel) werden bei den Erdradien eigentlich berücksichtigt?

Möglicherweise muss man zu dem Schluss kommen, dass eine Ansetzung von Halbkreisen, deren Radien im Millimeterbereich beginnen, bei solchen astronomischen Entfernungen tatsächlich eine Genauigkeit einfordern, die man im Endeffekt gar nicht erfüllen kann.

LG Primentus

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.53, eingetragen 2019-05-07


@gonz

Ich bin nicht mehr so das Ass in Mathe, aber bzgl Primzahlsummenabschätzung ist mir jetzt gerade was eingefallen.

Was ergibt die Summe alle PZs bis 10^11 ?

Nun, der ln(10^11)-1=24.328

Die Summe aller Zahlen bis 10^11 ist (n^2+n)/2 , somit 5000000000050000000000. Der ln-Wert gibt ja den Durchschnitt der Erwartung an, also sollte sie Summe ~ 5000000000050000000000/(ln(10^11)-1) sein

Das sind 205520800000000000000. Das doppelte laut Rätsel also 4.11e20.

Nehmen wir mm , haben wir ja 2332507 bekommen.

Wir erhalten : 18552797286*2=3.98e11, also über 3.844e11



Formel Summe aller PZs bis n = (n^2+n)/2/(ln(n)-1) !

Der Wert bietet also genug Reserve.

Frage also, wann überschreitet die Summe 1 Mrd ?

10^9 = (n^2+n)/2/(ln(10^9)-1)

Das n kann man ja direkt ausrechnen, sehe ich gerade.

39446531673=n^2 ->+n hat keinen Einfluss auf die Abschätzung, somit reicht die einfache Wurzel.

n=198611.

Also alle PZs bis 198611 sollten 1 Mrd übertreffen.

Es ist bei 151091.

Nimmt man mein Algotithmus zu Grunde, reicht nur aus, die Wurzel aus der Primzahlobergrenze (n) als Feld zu reservieren, da dort die Teiler für die triviale Division gespeichert werden. Das Feld was die PZs generiert bleibt ja bei 510510.


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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.54, eingetragen 2019-05-07


....


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.55, eingetragen 2019-05-07


Hallo pzktupel,

die Primzahldichte ist ungefähr 1/ln(x), um die Summe der Primzahlen bis zum maximalwert x auszurechnen müßte man also das Integral

fed-Code einblenden

abschätzen.



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.56, eingetragen 2019-05-07


Exakter war die Dichte, der ln um 1 verringert.



Aber da haut was nicht hin. Bei Deiner Formel...wenn ich x=151000 wähle, dann kommt knapp 10^9 herraus. Dann ist aber das Integral exakt die Obergrenze (1 Mrd) die wir haben wollen....aber wie bekommt man das x, darum ging es doch, damit ich das Integral lösen kann. Dennoch haben wir ja nur eine geschätzte Summe und nicht das genaue Ergebnis.

Da hatte ich ja eine Abschätzung für x angegeben, womit wir das Sieb füttern können, um die genaue Summe zu erhalten.


Okay, hier der Link zur variablen Primzahlsumme zu einer Grenze:

www.sendspace.com/file/36d0zo


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.57, eingetragen 2019-05-08


2019-05-07 19:47 - Primentus in Beitrag No. 52 schreibt:

Unklare Fragen sind eben:

1. Ist der Abstand Erde - Mond tatsächlich von Erdschwerpunkt zu Mondschwerpunkt zu sehen? (eigentlich ja)

2. Sowohl Erde als auch Mond sind keine exakten Kugeln, daher ist die Frage: Inwieweit weichen die "Kugel"-Mittelpunkte, die man ja hier bei der Berechnung fälschlicherweise verwendet, von den Schwerpunkten ab? Und weil sich Erde und Mond drehen, müsste man eigentlich eine mittlere Abweichung von Schwerpunkt und Mittelpunkt zugrundelegen, um zu wissen, wo man mit dem ersten Halbkreis mit Radius 2 mm ansetzen muss.

3. Welche Höhenangaben (Meereshöhe oder Berggipfel) werden bei den Erdradien eigentlich berücksichtigt?

Möglicherweise muss man zu dem Schluss kommen, dass eine Ansetzung von Halbkreisen, deren Radien im Millimeterbereich beginnen, bei solchen astronomischen Entfernungen tatsächlich eine Genauigkeit einfordern, die man im Endeffekt gar nicht erfüllen kann.

LG Primentus
spannend im detail,

1. ich hatte die angabe 388400km als eine mittlere mond-orbit radius angabe gefunden, damit muss es der schwerpunkt radius des mondes bei seiner umlaufbahn um die erde sein, (wie schonmal ausgeführt interpretier ich die angabe mit der endung 400km eher so das sie gleichzeitig die genauigkeit angibt also plus minus < 100km)

damit ergibt sich doch physikalisch auch 2. :

zwei körper drehen sich evtl um einen gemeinsamen schwerpunkt, aber man kann zur physikalischen beschreibung nichts anderes angeben als den abstand der beiden schwerpunkte... sollte der schwerpunkt ausserhalb eines geometrischen mittelpunktes liegen dann würde sich der körper im weltall immer noch um seinen schwerpunkt drehen, also in dem fall wäre der erdradius in einem entsprechend weiteren bereich unklarer, nicht aber der schwerpunkt abstand erde-mond

hast du irgendwoher ne angabe in welcher grössenordnung der erdschwerpunkt aus der erdmitte liegen mag?

zu 3. entweder meereshöhe, weil ein so grosser teil der erde damit bedeckt ist, oder mittlere oberflächenhöhe, dürfte dann ja auch nur wenige hundert meter mehr sein als die meereshöhe, berggipfel macht eher weniger sinn dank der genauigkeitsangabe bei 1 spielen paar hundert meter dann einfach keine rolle mehr
haribo

nachtrag: hier schreibt jemand zu 2 dass schwerpunkt-mittelpunkt ~1km betragen könnte
books.google.de/books?id=ZuSoBwAAQBAJ&pg=PA45&lpg=PA45&#v=onepage&q&f=false



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.58, eingetragen 2019-05-08


Nachtrag: Den in der ersten Version des Posts erwähnten systematischen Fehler habe ich gefunden, ich hatte vergessen, den gewünschten Summenwert durch 2 zu teilen.

Ein weiterer Fehler, die Zeile y2=x2/(math.log(x2)-1) anstatt des richtigeren y2=x2/math.log(x2), später aufgedeckt von weird, führt zu einer erheblichen Abweichung. Ich habe diese Korrektur nicht mehr in diesem Post durchgeführt sondern die Ergebnisse des korrigierten Programms in Post #60 dargestellt.

Zur Frage der Abschätzung, das beiliegende Programm schätzt den Wert ab durch nummerische Auswertung obigen Integrals. Die Schrittweite wird exponentiell erhöht und dann einfach die Trapezfläche betrachtet.
python
import math
mysum=384400000000/2
 
x1 = 2
y1 = 2/math.log(2)
print(str(y1))
actsum2=0
factor=1.05
 
while actsum2<mysum:
    actsum=actsum2
    x2=x1*factor
    y2=x2/(math.log(x2)-1)
    delta = (y2+y1)*(x2-x1)/2
    actsum2 =actsum+delta
    print("x2="+str(round(x2))+" aktuelle Summe="+str(round(actsum2)))
    if actsum2<mysum:
        x1=x2
        y1=y2
 
print("Regula Falsi im letzten Trapez: "+str(round(x1+(x2-x1)*(mysum-actsum)/delta)))
 



x2=2083488 aktuelle Summe=166589257025
x2=2187662 aktuelle Summe=182978235645
x2=2297045 aktuelle Summe=200982372972
Ergebnis: 2243688

Der korrekte Wert ist
2332507

Der Fehler beträgt ( wie auch bei den folgenden Werten ) weniger als  5%

Das schöne ist, dass durch das exponentielle Erhöhen der Schrittweite eine recht angenehme Laufzeit für die gewünschteren größeren Werte vorliegt.

die Werte für

Mikrometer : 80065273 ( korrekt :  82519663 )
Nanometer : 2788264723 ( korrekt : 2858829823 )
Pikometer  : 95593750826 ( korrekt : 97625744471 )

erhält man auch "im Augenblick" ermittelt :)




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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.59, eingetragen 2019-05-08


2019-05-08 13:46 - gonz in Beitrag No. 58 schreibt:
Der Fehler beträgt ( wie auch bei den folgenden Werten ) weniger als  5%

Ja, aber das ist doch um Welten zu schlecht!  eek

Hast du es schon mal mit

y2=x2/math.log(x2)

versucht? Ich kann mir einfach nicht vorstellen, dass dieser Riesenfehler allein durch Anwendung des Trapezregel bei der Auswertung des Integrals entstanden ist, oder doch?

Hier zum Vergleich meine eigenen Versuche in Derive (der zweite Wert ist immer der prozentuelle Fehler):
Derive
gonzint(n, d_, c_, x_, y_ ≔ 2, z_) ≔                 
  Prog                                               
    d_ ≔ 384400000·10^(3·n)                          
    c_ ≔ [2332507, 82519663, 2858829823, 97625744471]
    f(x) ≔ 2·∫(t/LN(t), t, 2, x)                     
    Loop                                             
      If APPROX(f(y_) > d_)                          
         exit                                        
         y_ :* 2                                     
    x_ ≔ y_/2                                        
    Loop                                             
      z_ ≔ APPROX((x_ + y_)/2)                       
      If APPROX(f(z_) > d_)                          
         y_ ≔ z_                                     
         x_ ≔ z_                                     
      WRITE(y_ - x_)                                 
      If y_ - x_ ≤ 1                                 
         RETURN [x_, 100·(c_↓n - x_)/c_↓n]
 
 
                     ⎡           6               ⎤
APPROX(gonzint(1)) = ⎣2.331642·10 , 0.03708456180⎦
                     ⎡            7                ⎤
APPROX(gonzint(2)) = ⎣8.2517118·10 , 0.003084113419⎦
                     ⎡              9                 ⎤
APPROX(gonzint(3)) = ⎣2.858819359·10 , 0.0003660238855⎦
                     ⎡              10                -5⎤
APPROX(gonzint(4)) = ⎣9.762565847·10  , 8.808434749·10  ⎦



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.60, eingetragen 2019-05-08


Aaaarg ok das hatte ich mal testweise eingebaut und hab es dann vergessen. Jetzt sieht es so aus:

Milli | 2331107 | Wahrer Wert: 2332507 Abweichung: 0.06 %
Mikro | 82495194 | Wahrer Wert: 82519663 Abweichung: 0.03 %
Nano | 2858633857 | Wahrer Wert: 2858829823 Abweichung: 0.01 %
Piko | 97598662549 | Wahrer Wert: 97625744471 Abweichung: 0.03 %




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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.61, eingetragen 2019-05-08


Das ist alles ganz nett, dennoch liegt der Schätzwert unter dem echten Wert..somit würde bei der genauen Berechnung ein vorzeitiger Abbruch kommen. Was kommt bei n/(ln(n)-1) herraus ?


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.62, eingetragen 2019-05-08


Auch ein zu kleiner Wert, der den ich oben zuerst angegeben hatte.
Warum der Wert zu klein ist verstehe ich auch noch nicht, weil die Funktion eigentlich ja konvex ist und damit durch die Trapezregel eine zu kleine Summe ermittelt wird, weshalb man bis zu höheren Werten fortschreiten müsste, um die gewünschte Summe zu erreichen....

( aber ggf. liegt das auch an der Näherung für die Primzahldichte )
( wenn man davon ausgeht dass der Fehler unter einem Promille ist kann man natürlich einen entsprechenden Zuschlag machen )


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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.63, eingetragen 2019-05-08


Eine neue gute Abschätzung ist auch

Pmax : Maximale Primzahl zu einer gegebenen Summe S

Pmax=0.5*(6S*ln(S))^0.5

Die erforderlichen Teiler zur Bestimmung von P , beziehen sich dabei nur auf Pmax^0.5 (triviale Division) , also eine noch kleinere Abweichung.

Für S=1e16 ist der reale Wert Pmax=628420129, Pmax^0.5=25068

Geschätzter Wert für Pmax mit obiger Formel: Pmax=743384437, Pmax^0.5=27265

Ein Unterschied im Programm von nur ca. 2200. Denke, ist vertretbar.

Der Prozess wird beendet, wenn die Summe überschritten wird..keine extra Berechnungen dadurch.  




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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.64, eingetragen 2019-05-08


2019-05-08 17:24 - pzktupel in Beitrag No. 61 schreibt:
Das ist alles ganz nett, dennoch liegt der Schätzwert unter dem echten Wert..somit würde bei der genauen Berechnung ein vorzeitiger Abbruch kommen. Was kommt bei n/(ln(n)-1) herraus ?

Irgendwo bin ich ja jetzt schon ein bißchen enttäuscht, denn ich dachte, du würdest bei den geringen prozentualen Abweichungen in #59 und dann auch #60 Luftsprünge machen.  biggrin

Ich selbst wußte natürlich sofort, dass mit den ursprünglichen 5% von gonz etwas nicht stimmen kann, war aber dann von deren tatsächlicher Kleinheit sehr positiv überrascht. Und ja, gonz hat es ja schon gesagt, dass dein Vorschlag mit n/(ln(n)-1) eine deutliche Verschlechterung mit sich bringt, bei mir sind es dann immerhin noch prozentuale Abweichungen um die 3% herum.

Dass hier übrigens eine systematische Unterschätzung - wenigstens im untersuchten Bereich - vorliegt, ist jetzt nicht so ungewöhnlich. Dieses Phänomen hat man ja auch der "Primzahlzählfunktion" $\pi(x)$, die durch den Integrallogarithmus bis in den Bereich von etwa $10^{300}$ (!) ständig überschätzt wird, obwohl man weiß, dass dies sicher nicht auf Dauer der Fall sein kann.



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.65, eingetragen 2019-05-08


@weird

Vielleicht habe ich mich verlaufen. Es ging ja ursprünglich darum, eine exakte Summe berechnen zu lassen. Da kommt man nicht drum herum, alles zu addieren.

Das sind schon extrem gute Werte...wenn man da eine Toleranz einbaut, die Reserve bietet, wäre es erreicht. Das Suchprogram macht dann den Rest.

Ist ja nur noch theoretisch, das Rätsel ist gelöst.
Wie gesagt, vom Schätzwert die Quadratwurzel ist dann das ausschlaggebende.




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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.66, eingetragen 2019-05-08


2019-05-08 17:24 - pzktupel in Beitrag No. 61 schreibt:
...dennoch liegt der Schätzwert unter dem echten Wert..somit würde bei der genauen Berechnung ein vorzeitiger Abbruch kommen. ...

Das ist ja wunderbar! Ich gehe die Sache ja mit NextPrime an und kann so bis zu diesem "zu kleinen" Wert parallel aufsummieren und muss dann nur
noch bis zur Abbruch-Grenze addieren.

Allerdings zieht sich meine Optimierung, da die Vorgabe von 7 s selbst mit 8 Threads noch nicht unterboten wurde.

Könnte man bei diesem Sieb-Code was parallelisieren?
Vielleicht sollte ich doch die BAS nach cpp wandeln und dann optimieren...

Zum LINK mit der EXE mit Eingabe: Wow -> statt der 15,1 s (nm)
schafft das mein i9 in nur 7 s !!!
Hast Du noch mal was optimiert, oder ist meine CPU wirklich doppelt so schnell?



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.67, eingetragen 2019-05-08


Nee Hyper, die exe Datei hat ein Limit <2^63.
Die andere Datei für Piko hatte mehr zutun, wegen >2^64,deshalb schneller.
Aber 1. ist Intel schneller und 2. hast Du ja 4.5 statt 3.0 GHz Takt :-) Das müßte man wichten.
Parallel ginge, aber in BAS kann ich das nicht (bin zu doof).
In cpp braucht man ja nur diesen Feld-Step um 510510 für jeden Core die Prims berechnen lassen und dann nacheinander aufaddieren.

 

Der halbherzige Code inkl. Primzahlabschätzung ist :


#INCLUDE "windows.bi"
#INCLUDE "vbcompat.bi"

 
DIM AS UINTEGER AV,SUM,GRENZE,su,bs,AD,count,c2,X,Y
DIM AS DOUBLE TIMER2,TIMER1,Feld


PRINT "Summe aller Primzahlen bis zu einer Grenze-> 100 .. 2^63 "
Input "Eingabe Grenze"; GRENZE


TIMER1=TIMER
Feld=2*INT((Grenze*2)^0.5 * (log(Grenze)-1)^0.5) //üppig gewählt, wegen Abbruch 50 Mrd

IF FELD <510510 THEN FELD=1000000
X=INT(FELD^0.5)
Y=(2* X / log(X))

REDIM STA(510510) AS UBYTE
FOR av=3 TO 17 STEP 2
FOR bs=av TO 510510  STEP 2*av
STA(bs)=1
NEXT bs
NEXT av



REDIM PS(Y) AS UINTEGER
REDIM PF(510510) AS UBYTE

FOR av=3 TO X^0.5 STEP 2
FOR bs=av*3 TO X STEP 2*av
PF(bs)=1
NEXT bs
NEXT av

count=0
FOR su=19 TO X  STEP 2
IF PF(su)=0 THEN count+=1:PS(count)=su
NEXT su



SUM=2+3+5+7+11+13+17
SU=58
AD=0

BEGIN:

REDIM PF(510510) AS UBYTE
count=1
WHILE PS(count)<(AD+510510)^0.5
AV=PS(COUNT)
bs=(AD\AV)*AV+AV-AD
IF bs MOD 2=0 THEN bs+=av
IF AD=0 THEN bs=av*3
FOR bs=bs TO 510510 STEP 2*av
PF(bs)=1
NEXT bs
count+=1
WEND


IF AD=0 THEN SU=19 ELSE SU=1

FOR su=su TO 510510 STEP 2
IF PF(su)=0 AND STA(SU)=0 THEN SUM+=(su+AD)
IF SUM>GRENZE GOTO Abbruch
NEXT su
AD+=510510
GOTO BEGIN


Abbruch:

TIMER2=TIMER
PRINT " Primzahl ";su+AD;" Summe ";SUM

PRINT TIMER2-TIMER1;" Sekunden"
SLEEP






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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.68, eingetragen 2019-05-08


2019-05-08 17:15 - gonz in Beitrag No. 60 schreibt:
Aaaarg ok das hatte ich mal testweise eingebaut und hab es dann vergessen. Jetzt sieht es so aus:

Milli | 2331107 | Wahrer Wert: 2332507 Abweichung: 0.06 %
Mikro | 82495194 | Wahrer Wert: 82519663 Abweichung: 0.03 %
Nano | 2858633857 | Wahrer Wert: 2858829823 Abweichung: 0.01 %
Piko | 97598662549 | Wahrer Wert: 97625744471 Abweichung: 0.03 %



Für alle, die keine Fremdsoftware installieren wollen: einfach LINK
anklicken und Button "Berechnungen starten..."
Gonz per Iterationsrechner

Ergebnis in a



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.66 begonnen.]



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.69, eingetragen 2019-05-09


Ok, ich bin noch an Bord * smile

Der Itertationsrechner ist cool :)

Welche Ideen gibt es denn, das Siebverfahren zu parallelisieren? Ich stehe da aktuell ohne Ideen da...




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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.70, eingetragen 2019-05-09


@Gonz, für paralleles hatte ich geschrieben, meine Idee.

Auszug für die PZ Berechung

count=1
WHILE PS(count)<(AD+510510)^0.5
AV=PS(COUNT)
bs=(AD\AV)*AV+AV-AD
IF bs MOD 2=0 THEN bs+=av
IF AD=0 THEN bs=av*3
FOR bs=bs TO 510510 STEP 2*av
PF(bs)=1
NEXT bs
count+=1
WEND

AD ist die Schrittgröße, hier für 1 Kern fortlaufend 510510
PS(count) ist die direkte Primzahl zum Streichen aus dem Feld PS
bs ist der Startwert von/bis in Primzahl Schritten, wobei die erste Primzahl für das Streichen die 19 ist.


Für 2 Kerne könnte man den Schritt 510510*2 nehmen...
1. Kern 0-510510
2. Kern 510510-1021020

wobei 2 Felder die Streichung aufnehmen. Am Ende werden in der Reihenfolge die gesiebten Felder ausgelesen.




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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.71, eingetragen 2019-05-09


Ah ok verstehe - danke für die Erläuterungen :)


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.72, eingetragen 2019-05-09


Ähem, heute um 9:00 ist die Entfernung Erde-Mond übrigens 374710,8km (Schwerpunkt-Schwerpunkt), und sie reduziert sich im Moment mit einer Rate von rund 94km/h.  biggrin

Ciao,

Thomas



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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.73, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-09


2019-05-08 00:20 - haribo in Beitrag No. 57 schreibt:
1. ich hatte die angabe 388400km als eine mittlere mond-orbit radius angabe gefunden, damit muss es der schwerpunkt radius des mondes bei seiner umlaufbahn um die erde sein, (wie schonmal ausgeführt interpretier ich die angabe mit der endung 400km eher so das sie gleichzeitig die genauigkeit angibt also plus minus < 100km)

Also bei den 384400 km ist eigentlich die große Halbachse der ellipsenförmigen Mondumlaufbahn um die Erde gemeint. Und bei diesem Wert würde ich auf jeden Fall von der mittleren Erde - Mond Distanz sprechen, auch, weil es die allgemein bekannte Distanz der beiden Himmelskörper ist. Offenbar ist dieser Wert aber auch schon zu stark gerundet, wie weird bereits anmerkte.

2019-05-08 00:20 - haribo in Beitrag No. 57 schreibt:
hast du irgendwoher ne angabe in welcher grössenordnung der erdschwerpunkt aus der erdmitte liegen mag?

Nein, dazu habe ich leider keinen Wert parat.

2019-05-08 00:20 - haribo in Beitrag No. 57 schreibt:
nachtrag: hier schreibt jemand zu 2 dass schwerpunkt-mittelpunkt ~1km betragen könnte
books.google.de/books?id=ZuSoBwAAQBAJ&pg=PA45&lpg=PA45&#v=onepage&q&f=false

Könnte gut hinkommen dieser Wert. Ich denke, dass die Abweichung zwischen Schwerpunkt und Mittelpunkt nicht allzu groß sein kann. Ich würde auf jeden Fall einen Wert kleiner, wahrscheinlich sogar deutlich kleiner, als 1 % des Erdradius annehmen. Wobei man aber noch anfügen muss, dass selbst die Ermittlung des geometrischen Mittelpunktes der Erde gar nicht mal so einfach ist, denn was ist eigentlich der geometrische Mittelpunkt eines Körpers, der einer Kugel lediglich nahe kommt, aber neben Meeresoberflächen auch unterschiedlich starke Dellen und Erhöhungen hat. Auch hierfür muss man ja eigentlich schon eine gemittelte Kreislinie um den Planeten legen, um dann ermitteln zu können, wo der Mittelpunkt liegt.

2019-05-08 00:20 - haribo in Beitrag No. 57 schreibt:
zu 3. entweder meereshöhe, weil ein so grosser teil der erde damit bedeckt ist, oder mittlere oberflächenhöhe, dürfte dann ja auch nur wenige hundert meter mehr sein als die meereshöhe, berggipfel macht eher weniger sinn dank der genauigkeitsangabe bei 1 spielen paar hundert meter dann einfach keine rolle mehr
haribo

Ja, am ehesten müsste man eine mittlere Oberflächenhöhe hierfür nehmen, die sämtliche Dellen und Erhöhungen der Erde durchschnittlich betrachtet und halt auch einen gemittelten Wert zwischen Polradius und Äquatorradius darstellt.


2019-05-09 08:53 - MontyPythagoras in Beitrag No. 72 schreibt:
Ähem, heute um 9:00 ist die Entfernung Erde-Mond übrigens 374710,8km (Schwerpunkt-Schwerpunkt), und sie reduziert sich im Moment mit einer Rate von rund 94km/h.  biggrin

Ja, das verdeutlicht nochmal die ganze Kompliziertheit der Aufgabenstellung. Das heißt also, in dem Moment wo man die Berechnung für einen bestimmten Zeitpunkt fertiggestellt hat, gilt sie schon wieder als überholt. biggrin

LG Primentus



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.74, eingetragen 2019-05-09


2019-05-09 16:11 - Primentus in Beitrag No. 73 schreibt:

Also bei den 384400 km ist eigentlich die große Halbachse der ellipsenförmigen Mondumlaufbahn um die Erde gemeint. Und bei diesem Wert würde ich auf jeden Fall von der mittleren Erde - Mond Distanz sprechen, auch, weil es die allgemein bekannte Distanz der beiden Himmelskörper ist. Offenbar ist dieser Wert aber auch schon zu stark gerundet, wie weird bereits anmerkte.


grosse halb achse = mittlere entfernung wäre IMO ein eklatanter widerspruch, es muss doch irgend jemand genauer wissen...

die mondbahn um die erde muss doch, in erster näherung jedenfals, eine irgendwie gelegene ellipse sein, bei der der erdschwerpunkt irgendwo nahe eines der beiden brennpunkte liegen muss??

wie weit die brennpunkte auseinander liegen und wo die erde sich befindet muss doch irgendwer wissen...

(oder leben wir doch auf dem mond?)
haribo



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.75, eingetragen 2019-05-09


2019-05-09 17:21 - haribo in Beitrag No. 74 schreibt:
grosse halb achse = mittlere entfernung wäre IMO ein eklatanter widerspruch, es muss doch irgend jemand genauer wissen...
haribo

Man muss jetzt ganz klar sagen, dass es sowas wie eine "mittlere Entfernung Erde-Mond", wenn wir schon genau sind, ja eigentlich gar nicht gibt bzw. sie sich diese fortlaufend ändert, da sich der Mond ja bekanntlich von der Erde entfernt (ca. 3.8 cm pro Jahr, s. hier). Und ja, wenn wir hier schon in Mikrometern, Nanometern und was weiß ich rechnen, dann spielt das schon eine Rolle.  biggrin



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.76, eingetragen 2019-05-09




und die brennpunkte liegen nur ca.5% der grossen achse auseinander (ca.42Tkm)

die schwankungen der mondnächsten positionen (Perigäum) über ein jahr ist  mit immerhin +/-7000km in der selben dimension wie der erdradius,

beides war mir keineswegs bewust

damit kann man wohl doch nen mittleren grossen halbmesser auch als mittlere entfernung annehmen, jedenfals könnte man nen fehler in meiner zeichnung nicht darstellen...

haribo




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Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.77, eingetragen 2019-05-09


2019-05-09 17:38 - weird in Beitrag No. 75 schreibt:
2019-05-09 17:21 - haribo in Beitrag No. 74 schreibt:
grosse halb achse = mittlere entfernung wäre IMO ein eklatanter widerspruch, es muss doch irgend jemand genauer wissen...
haribo

Man muss jetzt ganz klar sagen, dass es sowas wie eine "mittlere Entfernung Erde-Mond", wenn wir schon genau sind, ja eigentlich gar nicht gibt bzw. sie sich diese fortlaufend ändert, da sich der Mond ja bekanntlich von der Erde entfernt (ca. 3.8 cm pro Jahr, s. hier). Und ja, wenn wir hier schon in Mikrometern, Nanometern und was weiß ich rechnen, dann spielt das schon eine Rolle.  biggrin

Man kann aber wieder etwas abziehen. Wegen des klimabedingten Anstiegs des Meeresspiegels entfernt sich der Mond nicht soo schnell von der Meeresoberfläche.  razz

Bernhard


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"Wichtig ist, daß man nie aufhört zu fragen"
"Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuches, sie zu erwerben"
Albert Einstein



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.78, eingetragen 2019-05-10


@MontyPythagoras

Dem scheint ein recht konkretes Modell der Raumlage von Erde und Mond zugrunde zu liegen - magst du dazu ein wenig weiter ausführen? Ich finde das recht spannend.

Gerhard/Gonz


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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.79, eingetragen 2019-05-10


2019-05-09 08:53 - MontyPythagoras in Beitrag No. 72 schreibt:
... Entfernung Erde-Mond übrigens 374710,8km (Schwerpunkt-Schwerpunkt), und sie reduziert sich im Moment mit einer Rate von rund 94km/h.  biggrin

Ciao,

Thomas

Also meine Quelle sagt 3,8 cm / Jahr:

entfernung-der-erde-zum-mond
...



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