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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
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Universität/Hochschule Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-02


Hallo,

ich soll folgende Reihe auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen:

\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1-x^n} \)

Ich denke,  x = -1 und 1 kann ich ausschließen.

Wie soll ich anfangen? Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Viele Grüße

kuckuck3



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-02

\(\begingroup\)\( \)
Hallo kuckuck3,

zunächst einmal solltest du die Reihe auf punktweise Konvergenz prüfen. Dafür empfehle ich das Nullfolgenkriterium (wo sie nicht konvergiert) und das Majorantenkriterium (wo sie konvergiert).
Wenn du damit eine Menge $M$ gefunden hast, auf der die Reihe punktweise konvergiert, dann kannst du beginnen, sie auf dieser Menge auf gleichmäßige Konvergenz zu prüfen. Hier würde ich empfehlen zu entscheiden, ob $f_k(x):=\sum\limits_{n=1}^k\frac{x^n}{1-x^n}$ eine Cauchyfolge bezüglich der Supremumsnorm ist, also ob $\sup_{x\in M}\left\vert f_m(x)-f_n(x)\right\vert$ beliebig klein wird, wenn man nur $m$ und $n$ groß genug wählt.
\(\endgroup\)


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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-02


Danke für die schnelle Antwort.

Für \(x \in\mathbb R  \setminus [-1,1] \) ergibt sich keine Nullfolge und somit ist die Reihe auch nicht konvergent.

Für \(x \in (-1,1)\) finde ich leider keine Majorante. Ich dachte zuerst einfach an \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} x^n\) doch das funktioniert nicht. Kannst du einen Tipp geben? Bzw. brauche ich diesen Teil überhaupt? Weil ich ja nun eh gleichmäßige Konvergenz zeigen und dann auf punktweise Konvergenz schließen kann oder?

Für die gleichmäßige Konvergenz würde ich so ansetzen:
Sei nun s:=r+1
\(| f_r(x) - f_s(x) | = | \sum\limits_{n=1}^{r} \frac{x^n}{1-x^n} - \sum\limits_{n=1}^{s} \frac{x^n}{1-x^n} | = | \frac{x^n}{1-x^n} |\)

Nun weiß ich nicht mehr weiter? Ich muss ja irgendwie zeigen, dass es kleiner als epsilon ist.

Ps: Eine grundlegende Frage noch: Ist punktmäßige Konvergenz die "normale" Konvergenz, also die die man in Analysis I lernt? Das denke ich deshalb, weil ich ja hier in diesem Beispiel die punktmäßige Konvergenz mit Mitteln nachweise, die ich auch immer für die "normale" Konvergenz verwendet habe.

Viele Grüße kuckuck3



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-02


Hallo,
fed-Code einblenden

Und glm. Konvergenz? Überlege, was da noch bleibt

Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-02


Ich verstehe zwar diese Abschätzung allerdings verstehe ich nicht was mir diese bringt.

Kann ich bei der gleichmäßigen Konvergenz vielleicht so weitermachen:

Sei s:= r-1 (Ich glaube so ist es besser wie vorher?)
\(| f_r(x) - f_s(x) | = | \sum\limits_{n=1}^{r} \frac{x^n}{1-x^n} - \sum\limits_{n=1}^{s} \frac{x^n}{1-x^n} | = | \frac{x^r}{1-x^r} | = | \frac{1}{\frac{1}{x^r}-1} | \rightarrow 0 für r \rightarrow \infty\)

Also konvergiert es gleichmäßig, da es gegen Null geht?



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Wauzi
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-02


Die Abschätzung ergibt eine Majorante. Du betrachtest punktweise Konvergenz, dh x ist fest(!) Damit kannst Du 1/(1-x) aus der Summe ziehen, es bleibt die geom. Reihe als Majorante.

Anders bei glm Konvergenz. Auf dem Intervall ist keine glm Konvergenz, die Reihe wird an den Rändern zu groß

Betrachte folgendes Beispiel:
fed-Code einblenden



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-02

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Wauzis Ungleichung ist auf jeden Fall ein guter Ansatz. Überlege noch, wie man das dann auf $-1<x<0$ übertragen kann (bedenke, dass es eine Majorante für die Beträge der Reihenglieder geben muss, nicht für die Glieder selbst).

Für die glm. Konvergenz: Du willst also zeigen, dass der Term $\vert\frac{x^s}{1-x^s}\vert$ (hier gehört $s$, nicht $n$ hin) kleiner als $\varepsilon$ wird. Und zwar für ein festes $s$ und für alle $x$. Schau dir aber mal an, was für $x\to1$ passiert. Kann der Term also wirklich für festes $n$ und für alle $x$ gleichzeitig kleiner als $\varepsilon$ werden?

Das führt uns zu deinen allgemeineren Fragen:

Bzw. brauche ich diesen Teil überhaupt? Weil ich ja nun eh gleichmäßige Konvergenz zeigen und dann auf punktweise Konvergenz schließen kann oder?

Du brauchst punktweise Konvergenz tatsächlich nicht zu zeigen, wenn du glm Konvergenz zeigen kannst. Aber kannst du das hier?



Eine grundlegende Frage noch: Ist punktmäßige Konvergenz die "normale" Konvergenz, also die die man in Analysis I lernt? Das denke ich deshalb, weil ich ja hier in diesem Beispiel die punktmäßige Konvergenz mit Mitteln nachweise, die ich auch immer für die "normale" Konvergenz verwendet habe.

Das wird jetzt vielleicht etwas tiefer greifen, als ihr in der Vorlesung (nehme an Ana 2) schon seid. Ich werde mich bemühen, es deshalb einfach zu halten. Vorab: Die Antwort ist ein Jein.

Der Konvergenzbegriff aus Analysis 1 ist ein Spezialfall eines allgemeineren Konvergenzbegriffes, der aber absolut analog definiert werden kann. Der erste Konvergenzbegriff sieht ja so aus:

$a_n$ konvergiert gegen $a$, wenn für alle $\varepsilon>0$ ein $N\in \N$ existiert, sodass für alle $n\geq N$ gilt: $\vert a-a_n\vert<\varepsilon$.

Das gilt für Räume, in denen wir einen Betrag haben. Also im wesentlichen $\C$ oder $\R$ und ihre Teilmengen. Eine sehr einfache Verallgemeinerung erhalten wir aber, wenn man alle Beträge durch Normen ersetzt:

$a_n$ konvergiert gegen $a$, wenn für alle $\varepsilon>0$ ein $N\in \N$ existiert, sodass für alle $n\geq N$ gilt: $\Vert a-a_n\Vert<\varepsilon$.

$a_n$ und $a$ dürfen jetzt auch aus allgemeinen normierten Räumen stammen, statt nur aus Zahlenmengen. Es könnte sich also um Vektoren aus $\R^n$ handeln, oder auch um Elemente von abstrakteren normierten Räumen. Beispielsweise aus Funktionenräumen. Man könnte beispielsweise einen Funktionenraum mit der Norm $\Vert f\Vert_\infty:=\sup\vert f(x)\vert$ versehen, und dann sagen:

$f_n$ konvergiert gegen $f$, wenn für alle $\varepsilon>0$ ein $N\in \N$ existiert, sodass für alle $n\geq N$ gilt: $\Vert f-f_n\Vert_\infty<\varepsilon$.

Dazu sagt man auch , dass $f_n$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. In dem Sinne ist also eigentlich die gleichmäßige Konvergenz der normale, aus Analysis 1 bekannte Konvergenzbegriff. Nur halt auf Funktionen mit der Supremumsnorm angewandt, statt auf Zahlen mit der Betragsnorm.

Die punktweise Konvergenz lässt sich nicht als solche Verallgemeinerung der gewöhnlichen Konvergenz auffassen (zumindest nicht, dass ich wüsste). Es gibt keine Norm, mit der man Funktionenräume versehen kann, die zum Konvergenzbegriff der punktweisen Konvergenz führt. Deshalb Antwort auf deine Frage: Nein.
Die punktweise Konvergenz ist eine etwas naivere Verallgemeinerung der "gewöhnlichen" Konvergenz, indem nämlich die gewöhnliche Konvergenz einfach auf jeden Funktionswert einzeln angewendet wird. Für jedes $x$ hat man also eine Folge von Zahlen $a_n:=f_n(x)$, die man auf gewöhnliche Konvergenz überprüft. Die Funktionen $f_n$ werden hier noch nicht wirklich als eigenständiges mathematisches Objekt aus einem normierten Raum behandelt. Nur die einzelnen Funktionswerte spielen eine Rolle, und werden dabei wie gewöhnliche Zahlen mit gewöhnlicher Konvergenz betrachtet. Deshalb Antwort auf deine Frage: Ja.
Beziehungsweise zusammen: Jein.

Schlussbemerkung: Damit das mit der Supremumsnorm funktioniert, muss noch der Normbegriff so erweitert werden, dass die Norm auch $\infty$ sein darf, oder der Funktionenraum darf nur beschränkte Funktionen beinhalten. Da aber auch Folgen unbeschränkter Funktionen gleichmäßig konvergieren können, wäre erstere Maßnahme angebrachter.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)


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kuckuck3
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-03


@Wauzi:
Vielen Dank! Gleich hab ich es.

Aber müsste es nicht heißen \(\geq 1 \) anstatt \( \geq 0,5\) ?

@Vercassivelaunos:
Vielen Dank für diese sehr ausführliche Erklärung :) Jetzt hast du mir auch noch einen kleinen Ausblick gegeben, was mich die nächsten Semester noch alles erwarten wird.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-03


$\geq 1/2$ ist schon richtig. Die Folge $((1/2)^{1/N})_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert von unten gegen 1 und das soll ja auch so sein, aber $((1/2)^{{1/N}\cdot N})_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert gegen $1/2$.



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