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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Boolesche Algebra
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Beruf J Boolesche Algebra
RegEx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-04


Hallo, ich versuche gerade mal mein altes Wissen aufzufrischen mit Boolscher Algebra.
und zwar will ich wissen, warum also wie man es mathematisch beweisen kann, das Folgende, diese Kuerzungsregel:
a|(a&b)=a
wenn ich es mir mal durchrechne mit den boolschen Gesetzen, drehe ich mich aber im Kreis, ich komme nie auf a, sondern lande wieder beim Anfangsterm:
 a|(a&b)
=(a|a)&(a|b)
=  a  &(a|b)
=(a&a)|(a&b)
=  a  |(a&b)
so, und wie komm ich jetz auf nur a?
also dass es logisch so ist, ist mir auch klar, weil es heisst ja
ich komm ans Ziel wenn ich a nehme oder a und b.
somit ist b ueberfluessig, um ans Ziel zu kommen, weil ich komme mit a ans Ziel, egal ob b dabei ist oder nicht.
aber die mathematische boolsche Algebra Herleitung oder Beweis oder wie man sowas nennt, moechte ich sehen.
also ich will die Herleitung dieser Kuerzungsregel sehen, also warum das so gekuerzt werden kann, den math/log. Beweis sozusagen.

wer weiss es?

Gruss
Regex



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-04


Hallo RegEx,

2019-05-04 13:06 - RegEx im Themenstart schreibt:
und zwar will ich wissen, warum also wie man es mathematisch beweisen kann, das Folgende, diese Kuerzungsregel:
a|(a&b)=a

Dies ist das (ein) Absorptionsgesetz. Es ist ein Axiom, welches eine Boolesche Algebra definiert. Man kann es nicht aus den anderen Axiomen beweisen.

Grüße
StrgAltEntf



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RegEx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-04


2019-05-04 13:22 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:

Dies ist das (ein) Absorptionsgesetz. Es ist ein Axiom, welches eine Boolesche Algebra definiert. Man kann es nicht aus den anderen Axiomen beweisen.

achso, na gut. also Axion heisst dann 'das is halt so, das kann man nicht weiter beweisen. is halt so festgelegt. also atomar. Gesetz.'
dann brauch ich mir da wenigstens keine weiteren Gedanken mehr drueber machen.
danke.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-04


Wie mich AnnaKath gerade aufklärte, besteht die Definition einer Booleschen Algebra, die bei Wikipedia an oberster Stelle aufgelistet ist, nicht aus unabhängigen Aussagen. Also können tatsächlich einige der bei der Definition verwendeten Regeln durch andere begründet werden.

Für eine Boolesche Algebra benötigt man (ebenfalls laut Wikipedia) nur folgende Axiome:
Kommutativität von | und &
Distributivität (2 Gesetze)
Existenz neutraler Elemente 0 bzgl. | und 1 bzgl. &
Existenz von Komplementen: Zu jedem a gibt es ¬a mit a | ¬a = 1 und a & ¬a = 0

a | (a & b) = a sollte sich also daraus beweisen lassen:

a | (a & b)
= (a & 1) | (a & b), 1 ist neutrales Element
= a & (1 | b), Distr.gesetz
= a & 1, s. u.
= a, 1 ist neutrales Element

Jetzt muss noch 1 | b = 1 bewiesen werden.



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AnnaKath
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Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-04


Huhu zusammen,

der Beweis funktioniert nur unter Verwendung der von StrgAltEntf genannten Axiome wie folgt:

$a | (a \& b) = (a \& 1) | (a \& b) = a \& (1 | b) =  a \& (b | 1) = a \& 1 = a$,

wobei benutzt wird, dass $b|1=(b|1) \& 1=1 \& (b|1)=(b | \bar{b}) \& (b|1) = b | (\bar{b} \& 1) = b | \bar{b} = 1$.

lg, AK.



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RegEx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-04


danke euch 2.
das ging jetz schon ziemlich ins Eingemachte, aber genauso wollte ich es ja auch haben smile
jetz hab ich es verstanden und kann es nachvollziehen.



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