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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Pullback surjektiv g.d.w. Morphismus ein Isomorphismus
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Universität/Hochschule Pullback surjektiv g.d.w. Morphismus ein Isomorphismus
Teddyboer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-09


Hallo Planetarier,

ich grübel schon seit einiger Zeit an der folgenden Aufgabe aus Karen Smith's "An invitation to algebraic geometry".

Show that the pullback $F^{\sharp}:\mathbb{C}[W]\rightarrow\mathbb{C}[V]$ is surjective if and only if F defines an isomorphism between $V$ and some algebraic subvariety of $W$

$V$ und $W$ sind dabei affine Varietäten. Wenn der Pullback surjektiv ist, kann ich zeigen, dass $F$ injektiv ist. Nun möchte ich zeigen, dass das Bild von $F(V)$ eine affine Varietät ist, also abgeschlossen bzgl Zariski Topologie.

Meine weitere Idee war es zu zeigen, dass F eine abgeschlossene Abbildung ist. Ich kann zeigen: für eine abgeschlossene Menge $\mathbb{V}(f)\cap V$ in $V$ bzgl. UR - Topologie, ist
$F(\mathbb{V}(f)\cap V) = \mathbb{V}(g)\cap F(V)$,
wobei $F^{\sharp}([g]) = [f]$.

Sofern ich da keinen Denkfehler habe, ist $F$ eine abgeschlossene Abbildung auf das Bild $F(V)$ bzgl. Unterraumtopologie auf $F(V)$.
Wenn das soweit richtig ist, dann ist $F$ ein Homeomorphismus auf sein Bild. Aber warum sollte die Umkehrabbildung dann ein Morphismus sein?

Vielleicht hat jemand Lust mir zu helfen, danke :)



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Teddyboer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19


Falls sich jemand mal dafür interessiert:

Der Polynomring ist ein Integritätsbereich, also ist 0 ein Primideal. Der Pullback ist surjektiv, also ist das Urbild von 0 ein Primideal und definiert damit eine irreduzible Varietät. Man kann nun zeigen, dass $F$ einen Isomorphismus in diese Varietet beschreibt.



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