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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Isomorphismus finden zwischen allgemeiner symmetrischer Gruppe und Diedergruppe
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Universität/Hochschule Isomorphismus finden zwischen allgemeiner symmetrischer Gruppe und Diedergruppe
DickerFisch
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Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 57
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-14 15:30


Hi zusammen,

im Rahmen meiner Bachelorarbeit möchte ich die allgemeine symmetrische Gruppe für m=n=2, also das Kranzprodukt $\mathbb{Z}_2 \wr \Sigma_2$, als Beispiel anführen und zeigen, dass diese isomorph zur Diedergruppe $D_4$ ist.  (Oder heißt es verallgemeinerte symmetrische Gruppe? Kenne die Übersetzung nicht...) Wie finde ich nun diesen Isomorphismus? Ich habe mir schon Verknüpfungstafeln aufgemalt, aber ich sitze schon 2 Tage daran und ich glaube einfach, dass man das einfach "sehen" muss - oder halt nicht...

Wikipedialink zur allgemeinen symmetrischen Gruppe:
en.wikipedia.org/wiki/Generalized_symmetric_group

Das Kranzprodukt ist wie folgt definiert:

Sei $G$ eine Gruppe und $H$ eine Permutationsgruppe auf der endlichen Ziffernmenge $\Omega$. Unter dem Kranzprodukt $G \wr H$ von $G$ mit $H$ versteht man die Menge $$Abb(\Omega,G) \times H= \{(f,h)|h\in H, f:\Omega \longrightarrow G\}$$ versehen mit der Verknüpfung $$\ast : G \wr H \times G \wr H \longrightarrow G \wr H$$$$(f_1,h_1)(f_2,h_2) \mapsto (j,h_1h_2)$$
mit $j(i)=f_1(i)f_2(i^{h_1})$.

Die Verknüpfungstabelle von $D_4$ seht ihr hier: Alles was rot markiert sind, sind die Punkte, die so nicht passen (was ich damit meine wird gleich klar...)


Ich habe ein wenig rumprobiert und versucht die Verknüpfungstabelle der Elemente des Kranzprodukts zuzusortieren, sodass es passt. Ich bin darauf gekommen: (das "=" ist unformal, i know)
$e=(f_0,id)$ <- passt so!
$d_1=(f_1,\tau)$ <- passt so!
$d_2=(f_2,id)$ <- passt so!
$d_3=(f_3,\tau)$ <- pass so
$s_1=(f_1,id)$
$s_2=(f_3,id)$
$s_3=(f_2,\tau)$
$s_4=(f_0,\tau)$

(Bei den Spiegelungen muss der Fehler liegen!!)

Wobei die Abbildungen wie folgt definiert sind:
$f_0: \Omega \longrightarrow \mathbb{Z}_2, 1 \mapsto 0, 2 \mapsto 0$
$f_1: \Omega \longrightarrow \mathbb{Z}_2, 1 \mapsto 0, 2 \mapsto 1$
$f_2: \Omega \longrightarrow \mathbb{Z}_2, 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 0$
$f_3: \Omega \longrightarrow \mathbb{Z}_2, 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 1$

$\tau$ ist die Permutation aus $\Sigma_2$ die eben 1 auf 2 und 2 auf 1 abbildet.

Habe dann versucht die Verknüpfungstabelle dementsprechend auszurechnen, aber da erhalte ich die rot markierten Fehler.
Die Verknüpfungstabelle die ich aufgestellt habe, seht ihr hier:


Please help me, ich verzweifle so langsam :( Vielleicht sieht ja jemand, wie es zu dem Problem kommt...

DANKE!



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Creasy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 238
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-14 16:52


Hey,

ohne ein Spielverderber sein zu wollen: Inwieweit ist Hilfe bei Abschlussarbeiten erlaubt?
Solange du das Denken übernimmst, sollte es kein Problem geben, daher frag ich mal so: Kannst du mir vorrechnen, warum diese Zuordnung für $d_1$ passt? Ich bin insbesondere an $d_1^2$ interessiert (rauskommen sollte ja $d_2=(f_2,id)$).

Mit $i^{h_1}$ meint man hier zb: $1^\tau=\tau(1)$?

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45899
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-14 23:04


Hi DickerFisch,
ich denke, dir ist ein Übersetzungsfehler unterlaufen.
"Generalized" ist nicht dasselbe wie "general", es müßte also "verallgemeinerte symmetrische Gruppe" heißen.
Ich hoffe, das hilft dir beim Recherchieren.
Gruß Buri



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DickerFisch
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Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 57
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-15 06:02


Bezüglich Bachelorarbeit: Naja, die Quelle, die sagt, dass das Ding isomorph zu $D_4$ ist, hab ich ja angegeben. Ich weiß auch was Isomorphie ist, ich krieg nur diese Knobelaufgabe nicht hin und will es halt nachvollzogen haben bevor ich einfach blind hinschreibe "Jaja das passt wohl", zumal ich diese anwendung vielleicht noch in anderen beispielen für andere teile der BA nutzen will und es damit auch verstehen will. Ob diese Tabelle wirklich in die BA kommt, ist noch offen.

$d_1^2$ ist $(f_3,id)$ also $s_1$... Verdammt... Hab ich die beiden verwechselt? Ich finde den Fehler nicht... Wie geht man generell an sowas ran? Irgendwie finde ich das Lösungsprinzip nicht. Trial & Error

@Buri: Danke dir :)



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Creasy
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Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 238
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-15 09:58


Hey,

du kannst die Tabelle ja sonst auch in den Anhang packen :)

Ja genau, ich kam auch auf $d_1^2=(f_3,id)$. Meine Frage war also nicht ganz richtig, aber zielführend, denn die Wahl von $d_1$ ist richtig, aber die von $d_2$ und auch von $d_3$ ist falsch.
Wie kann man vorgehen? Die Diedergruppe ist durch eine Drehung und eine Spiegelung schon fest vorgegeben. Eine Drehung hast du schon gefunden: $d_1=(f_1,\tau)$ ist eine gute Wahl. Dann kannst du mit richtiger Berechnung $d_2=d_1^2$ und $d_3=d_1\circ d_2$ setzen.
Jetzt fehlt noch eine Spiegelung. Du kannst $s_1$ wieder frei (unter den noch übrigen Elementen) wählen, z.b. $s_1=(f_3,\tau)$. Dann berechnest du $s_3=d_1\circ s_1$, $s_2=d_1\circ s_3$ und $s_4=d_1\circ s_2$. Du kannst auch andere Berechnungsmöglichkeiten nehmen, ich hab jetzt hier die 2. Zeile der Verknüpfungstafel gewählt. Du kannst natürlich auch die 5. Zeile nehmen und erhältst: $s_4=s_1 \circ d_1$, $s_2=s_1\circ d_2$ und $s_3=s_1\circ d_3$. (es sollte ja das Gleiche liefern).

Der Rest der Tabelle sollte dann passen, falls die beiden Gruppen wirklich isomorph sein sollen. Achte natürlich auf die Reihenfolge der Verkettung, denn diese ist hier ja nicht abelsch.

Grüße
Creasy



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Creasy
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Dabei seit: 22.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-15 11:03


Ich möchte noch einen alternativen Weg vorschlagen, warum diese Gruppe $D_4$ sein muss. Tatsächlich gibt es nämlich nicht viele Gruppen mit $8$ Elementen, genaugenommen nur fünf, siehe hier. Davon sind 3 abelsch, was hier nicht der Fall ist (Man könnte da einfach ein Bsp zweier Elemente angeben, die nicht kommutieren). Was ebenfalls schnell zu sehen ist: Es gibt 6 (also mehr als 2) Elemente $g$ mit $g^2=(f_0,id)=\text{neutrales Element}$. Das schließt auch die Quaternionengruppe $Q_8$ aus, siehe hier. Übrig bleibt danach nur noch $D_4$.



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DickerFisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-15 15:40


Danke Creasy, du hast mir die Augen geöffnet. NATÜRLICH muss d_1^2 gerade d_2 sein. Ich Döspaddel. Ich hab mich echt abgequalt, dabei ist es so simpel, ich hab viel zu konpliziert gedacht.

Danke auch für den alternativen Weg :)



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DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.06.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16 09:35


Hupsi, alles falsch gerechnet.

en.wikipedia.org/wiki/Generalized_symmetric_group

Hier steht ja gerade, dass man $\mathbb{Z}_2$ als $\{\pm 1\}$ auffassen soll.... Oh man, dumm. Aber egal. Alles ncohmal neu, aber dank dir, Creasy, krieg ichs jetzt etwas schneller hin. :-)

Frage dazu: Wieso ist $\mathbb{Z}_2$ isomorph zu $\{\pm 1\}$?? Die Verknüpfungstabellen passen doch nicht mal...?



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Vercassivelaunos
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Mitteilungen: 372
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-16 09:59

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo DickerFisch,

ich denke, wenn $\Z_2\cong\{\pm1\}$ ist, dann wird die Gruppe multiplikativ statt additiv geschrieben. Also $(\{0,1\},+)\cong (\{\pm 1\},\cdot)$.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 908
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-16 10:01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

2019-05-16 09:35 - DickerFisch in Beitrag No. 7 schreibt:
Frage dazu: Wieso ist $\mathbb{Z}_2$ isomorph zu $\{\pm 1\}$?? Die Verknüpfungstabellen passen doch nicht mal...?

doch, sie passen. :-)

Siehe auch den Beitrag von Vercassivelaunos.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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DickerFisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16 10:05


Oh, danke! Hab versucht die Addition mit der Addition zu "isomorphieren" und nicht die Multiplikation.

Danke euch schon mal. Jetzt müsste ich es hinkriegen, auch wenn es richtig nervt das alles 100-prozentig nachzurechnen :D



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DickerFisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16 12:05


Okay, hab das gleiche nochmal mit $\{\pm 1\}$ durchgerechnet



Wenn man das jetzt mit der Verknüpfungstafel der Diedergruppe vergleicht, ist das NICHT gleich. Warum? Was mache ich falsch?



Beispiel: Die Zeile mit $d_1$. Hier passt alles, aber wenn ich die Spiegelungen vergleiche, dann sieht man, dass das alles nicht so ganz aufgeht. z.B. Muss doch $d_1$ verknüpft mit $s_1$ gerade $s_3$ sein. Das passt so aber nicht. Hab auch noch mal nachgerechnet... Das sind wieder die gleichen Fehler wie ganz am Anfang. Meine Drehungen und Spiegelungen habe ich gefunden, indem ich wieder einfach geschaut hab, dass eins der Elemente ja eine zyklische Gruppe ergeben muss (Rotationen). Bei den Spiegelungen hab ich eins der übrigen Elemente genommen (f_2,id) und einfach mit den Drehungen permutiert.

Wo liegt mein Fehler? Oder lügt mir Wikipedia frech ins Gesicht?
en.wikipedia.org/wiki/Generalized_symmetric_group
Siehe Examples.

Bzw. hier en.wikipedia.org/wiki/Hyperoctahedral_group "by dimension". Es dürfte doch auch egal sein ob ich $\Sigma_2$ im kranzprodukt oder {+-1} nehme da beide sowieso isomorph sind, oder? Vielleicht kann mal jemand einmal kurz in die Links nen Blick werfen - übersehe ich was?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-05-16 12:45


Hey, in der Hoffnung ein wenig Ordnung ins Chaos zu bringen.
Wie erwähnt: Man muss eine Drehung festsetzen und eine Spiegelung.
Ich bleibe bei deiner Tabelle und wähle $d_1=(f_1,\tau)$ und $s_1=(f_2, id)$ (wäre schön wenn wir bei der Wahl bleiben können und das nicht nochmal ändern :S )

Wie erwähnt, kann man jetzt z.B. berechnen: $s_2=d_1\circ s_3=d_1\circ d_1\circ s_1$ vergleiche die $d_1$ Zeile in der Tabelle für die Diedergruppe. Und wir stellen fest: $s_2=(\cdot, \tau\circ\tau\circ id)$, du hast also schon $s_2$ nicht richtig.

Ich habe hier mal meine Ergebnisse, abhängig von der oben genannten Wahl von $d_1$ und $s_1$.

$d_1:=(f_1,\tau)$
$d_2=(f_3,id)$
$d_3=(f_2,\tau)$
$s_1:=(f_2,id)$
$s_2=(f_1,id)$
$s_3= (f_0,\tau)$
$s_4=(f_3,\tau)$

Ohne Gewähr.


Im Übrigen stimmt mit dieser Wahl auch nicht die $d_1$ Zeile bei dir. Zb. kommt bei dir bei $d_1s_1$ das Element $(f_0,\tau)$ heraus, das ist aber nicht $s_3$ (in deiner Tabelle).

Welche Stellen der Tabelle stimmen mit diesen Wahlen nicht?



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DickerFisch
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16 15:19


Danke!!!!

Hab die Spiegelungen falsch berechnet. ENDLICH!

Bei Wikipedia steht noch, dass die verallgemeinerte (muss hier ein Komma hin?) symmetrische Gruppe für m=1 gerade $\Sigma_n$ ist:
en.wikipedia.org/wiki/Generalized_symmetric_group

Meinen sie damit, dass diese dazu isomorph ist?
Weil eigentlich ist ja ein Tupel, wo immer nur die $[0]$ auf der linken Seite ist, nicht *GLEICH* einer einzelnen Permutation...

Letzendlich erhalte ich ja wieder Tupel $\{(f,\sigma)|\sigma \in \Sigma_n, f:\Omega \longrightarrow \mathbb{Z}_1 \}$, wobei ich $f$ ja nur auf ein einzelnes Element abbilden lassen kann, aber es steckt ja nicht NICHTS auf der linken Seite des Tupels. Meint man damit einfach die Isomorphie?



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