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Analysis » Funktionalanalysis » Funktionalanalysis: vollständiges Orthonormalsystem in endlich-dimensionalen Hilberträumen
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Universität/Hochschule Funktionalanalysis: vollständiges Orthonormalsystem in endlich-dimensionalen Hilberträumen
Neymar
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Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 358
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-15


Hallo alle zusammen,

hier die Aufgabe:



Also starten wir z.B. mit der Richtung ,,$\Rightarrow$", i.e. wir haben eine Hamel-Basis $(u_i)_{i \in I}$ gegeben und wollen daraus die endlich-Dimensionalität von $X$ zeigen. Also mir schwebt die Idee vor, dies mittels eines Widerspruchsbeweises zu machen:


Angenommen, $X$ ist unendlich-dimensional. Dann ist aus der linearen Algebra bekannt, dass jede Basis (also insbesondere auch eine Hamel-Basis) unendlich-dimensional sein muss, im Widerspruch dazu, dass eine $(u_i)$ eine Hamel-Basis ist.


So, was meint ihr? Hättet ihr außerdem einen Ansatz für mich, wie ich die Richtung $\Leftarrow$ zeigen könnte?


Gruß
Neymar



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Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 311
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-15


Guten Abend,
ich erkenne nicht so recht, wo du hier einen Widerspruch siehst?
Ich würde eher vermuten, dass du eine (Cauchy)Folge in $X$ angeben musst, deren Grenzwert sich nicht als (endliche!) Linearkombination darstellen lässt.

Für die Rückrichtung kannst du annehmen, dass $I$ endlich ist. Da die $u_i$ ein Orthonormalsystem bilden, sind sie bereits linear unabhängig.
Jetzt kannst du vermutlich zeigen, dass $\overline{\text{span}\{u_i\mid i\in I\} }= \text{span}\{u_i\mid i\in I\}$ ist, wenn $I$ endlich ist.

Grüße
Creasy




-----------------
Smile (:



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 572
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Neymar,

Creasy hat ja schon Hinweise zum Lösen der Aufgabe gegeben. Ich möchte deshalb nur kurz einwerfen, dass Hamelbasen durchaus unendlich sein dürfen. Betrachte als Beispiel den Raum $X$ aller reellen Folgen $a_n$ an, sodass $a_n=0$ für alle bis auf endlich viele $n$. Also die Folgen, welche irgendwann konstant 0 werden. Dann gibt es eine unendliche Hamelbasis:

\[B=\{(a^i_n)_{n\in\N}~\vert~a^i_n=\delta_{i,n}\}\]
Diese Basis besteht aus allen Folgen, welche ein einziges Glied besitzen, welches $1$ ist, während alle anderen Folgenglieder 0 sind. Jede Folge $(b_n)_{n\in\N}\in X$ lässt sich als eine Linearkombination darstellen:

\[(b_n)_{n\in\N}=\sum_{k=1}^\infty b_k(a^k_n)_{n\in\N}\]
Da $b_k$ irgendwann konstant 0 wird, bricht die Summe ab, ist also endlich. Offensichtlich ist die Basis auch linear unabhängig. Wir haben also eine unendliche Hamelbasis.

Man kann sogar ein Skalarprodukt auf diesem Raum definieren, mit $\left<(a_n)_n\vert(b_n)_n\right>=\sum_{k=1}^\infty a_kb_k$. Mit diesem Skalarprodukt ist $B$ sogar ein vollständiges Orthonormalsystem.
Dieser Raum ist aber kein Hilbertraum, da er nicht vollständig ist. Zum Beispiel konvergiert die Folge von Folgen

\[\begin{align*}
(b_n^1)_n&=1,0,0,0,\dots\\
(b_n^2)_n&=1,\frac{1}{2},0,0,\dots\\
(b_n^3)_n&=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},0,\dots\\
\vdots
\end{align*}\]
mit der vom oben definierten Skalarprodukt induzierten Norm gegen die Folge $(b_n)_n,~b_n=\frac{1}{n}$, welche aber nicht in unserem betrachteten Raum liegt, da sie nie konstant 0 wird.
\(\endgroup\)


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Neymar
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Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 358
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


Hallo Creasy, hallo Vercassivelaunos,

die Lösung aus der Ü-Gruppe zu meiner einen Frage sende ich noch, es wurde in der Tat nicht direkt der BNF angewandt, sondern eine Aufgabe, die vorher bewiesen wurde (auf die hatte ich verlinkt). ABER es gibt mehrere Möglichkeiten und es geht ganz sicher auch mit dem BNF.

Anyway, zurück zu dieser Aufgabe: Ihr habt Recht, mein ,,Beweis" zieht nicht.
Ich habe aber gestern Abend vergessen zu fragen, was die Schreibweise $\overline{\text{span}\{u_i \ | \ i \in I\}}$ bedeutet. Warum ist hier ein Abschluss notwendig?

zur Hinrichtung:
,,Ich würde eher vermuten, dass du eine (Cauchy)Folge in $X$ angeben musst, deren Grenzwert sich nicht als (endliche!) Linearkombination darstellen lässt."

$>$ Eine allgemeine Cauchy-Folge? Aber woher weiß ich dann, dass diese Folge $\in X$ ist? Oder fordere ich das? Ach so, und wenn ich dies fordere, dann weiß ich aufgrund der Vollständigkeit, dass der Grenzwert meiner Cauchyfolge in $X$ liegt.


Gruß
Neymar




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Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 311
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-16


Hey,
mit $\text{span}\{..\}$ sind die endlichen Linearkombinationen gemeint. Das kann man dann als Teilmenge von $X$ auffassen und davon den Abschluss betrachten. Warum man das genau betrachtet, kann ich dir nicht sagen (beschäftige ich mich wenig mit) aber ich würde mal vermuten, es liegt an genau dieser Aussage.

Es war schon so gemeint, dass du eine "konkrete" Folge hinschreibst. Z.b. kannst du $x_n=\sum_{i=1}^n u_i$ setzen. Das ist allerdings keine Cauchyfolge, aber vielleicht kann man das ja ein wenig abändern?



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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8517
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, ihr,

vielleicht wird es einfacher, wenn ihr das Problem zunächst am "konkreten" Raum \(l_2\) mit \(u_i=(a^i_n)\) , die \((a^i_n)\) aus Beitrag 2, betrachtet.



Wally
\(\endgroup\)


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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


Hallo alle zusammen,

(i) ich bin bisschen weitergekommen. Also erst einmal musste ich mir überlegen, warum der Vektorraum der Polynome keinen Widerspruch zur zu zeigenden Aussage darstellt. Anscheinend ist dieser kein Hilbertraum, da kein Banachraum:

www.uni-due.de/~hm0014/vorlesung_analysis/fuana_ss_13/fuana_pl11.pdf

(Präsenzaufgabe 1).



zurück zur Behauptung:
(ii) ,,$\Leftarrow$" Evtl. kann ich hier die Definition der abgeschlossenen Hülle verwenden? Die Menge

$$\overline{U} = \{\varphi \in X | \varphi \ \text{Berührungspunkt von} \ U \} \subset \tilde{X}$$

heißt ABGESCHLOSSENE HÜLLE von $U \subset \tilde{X}$.

Eine Teilmenge (nach Bemerkung aus unserem Skript) ist genau dann abgeschlossen, wenn $U$ mit seiner abgeschlossenen Hülle übereinstimmt, i.e. $U = \overline{U}$.

Da $X$ (das $X$ aus der Aufgabe ist ein Hilbertraum) vollständig ist, also insbesondere abgeschlossen, gilt $\overline{\text{span}\{\dots\}} =\text{span} \{\dots\}$. q.e.d.? Ich denke schon, möchte aber eure Kommentare hierzu hören.  


(iii) Für die Hinrichtung habe ich noch keine Idee, könnte mir jemand den Beweis skizzieren? (Aber sicherlich hätte ich noch Rückfragen dazu ... ;-)


Gruß
Neymar



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 572
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Neymar,

du kannst für die Rückrichtung tatsächlich argumentieren, dass $\span(\dots)=\overline{\span(\dots)}$. Allerdings nicht über die Abgeschlossenheit von $X$, denn jeder metrische Raum ist in sich selbst abgeschlossen. Das heißt noch nicht, dass auch seine Teilmengen abgeschlossen sind. Hier muss* über die endliche Dimension von $X$ argumentiert werden, und darüber, dass $\span(M)$ für $M\subset X$ immer ein Unterraum von $X$ ist.

*Vielleicht gibt es auch andere Wege, aber das ist der, den ich sehe.

Für die Hinrichtung: Da finde ich Creasys Idee immer noch sehr gut, eine Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_ku_k$ aufzustellen, die eine Cauchyfolge ist. Dann noch zeigen, dass ihr Grenzwert nicht als endliche Linearkombination der $u_i$ darstellbar ist.
\(\endgroup\)


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Neymar
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 358
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-17


Hallo Vercassivelaunos,

ich denke, ich kann für die Rückrichtung voraussetzen, dass $U:= \text{span(M)}$ ein Unterraum von $X$ ist. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass der Unterraum $U$ abgeschlossen ist. Natürlich reicht es auch, die Vollständigkeit zu zeigen.

I.A. ist nicht jede Teilmenge einer abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen, z.B. für die Teilmenge $\mathbb{Q}$, die eine Teilmenge der abgeschlossenen Menge $\mathbb{R}$ ist, denn der Berührungspunkt $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

So, hier weiß ich aber leider nicht mehr weiter. Wie kann ich zeigen, dass $U = \text{span(M)}$ abgeschlossen ist (als Teilmenge eines Hilbert-Raumes $X$ mit $\dim(X) < \infty$)?

Blöde Frage: Bildet nicht schon $\mathcal{B} := \{1\}$ eine (Hamel)-Basis von $\mathbb{R}$, i.e. Gegenbeispiel zur zu behauptenden Aussage, oder nicht, da $\mathbb{Q}$ als Teilmenge der endlich-dimensionalen Menge $X$  nicht abgeschlossen ist!?


zur Hinrichtung: Warum kann ich mir nicht einfach folgende Folge definieren: $$x_n := \sum_{k = 0}^{n}a_ku_k.$$ Nun gilt für $n > m$: $$||x_n - x_m||^2 = ||\sum_{k = m+1}^{n}a_k u_k||^2.$$ Diese Folge geht für $n,m \to \infty$ gegen 0. Da $X$ vollständig ist, exisitiert $$x:= \lim_{n \to \infty}x_n = \sum_{k = 0}^{\infty}a_k u_k \in X$$. q.e.d.?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Wie kann ich zeigen, dass $U=\span(M)$ abgeschlossen ist?

Es gibt da einen Satz über endlichdimensionale Untervektorräume von normierten Räumen. Falls er dir nicht einfällt, mal ein Denkanstoß zum selber drauf kommen: endlichdimensionale normierte $\K$-Vektorräume sind isomorph zu $\K^n$ mit einer geeigneten Norm.

Blöde Frage: Bildet nicht schon $\mathcal B:=\{1\}$ eine (Hamel)-Basis von $\R$, i.e. Gegenbeispiel zur zu behauptenden Aussage, oder nicht, da $\Q$ als Teilmenge der endlich-dimensionalen Menge $X$  nicht abgeschlossen ist!?

Das ist kein Gegenbeispiel. Wenn du $\R$ als $\R$-Vektorraum betrachtest, dann ist $\mathcal B$ eine Hamelbasis, aber $\R$ ist auch endlichdimensional. Wenn du $\R$ als $\Q$-Vektorraum betrachtest, dann ist $\mathcal B$ keine Hamelbasis, aber $\R$ auch unendlichdimensional (und $\R$ ist dann auch kein Hilbertraum).

Zu deiner Reihe: Du musst noch ein Einschränkung an $a_n$ machen, sonst ist deine Reihe keine Cauchyfolge. Zum Beispiel ist $\left<\sum_{k=m+1}^n u_k\vert\sum_{k=m+1}^n u_k\right>=n-m$, was nicht beliebig klein wird.
Wenn du dann aber so eine Reihe hast, welche eine Cauchyfolge ist, dann musst du das erstmal zum Widerspruch mit der unendlich-dimensionalität bringen. Versuch mal, den Grenzwert deiner Reihe als eine endliche Linearkombination der $u_i$ anzugeben (das muss ja gehen, wenn es eine Hamelbasis ist).
\(\endgroup\)


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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-18


Hallo Vercassivelaunos.

(i)
Das ist kein Gegenbeispiel.

$>$ Jetzt verstehe ich auch, warum. $\mathbb{Q}$ ist kein Unterraum vom VR $\mathbb{R}$, wenn wir $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ setzen.
Okay, sehr gut!

(ii)
Es gibt da einen Satz über endlichdimensionale Untervektorräume von normierten Räumen. Falls er dir nicht einfällt, mal ein Denkanstoß zum selber drauf kommen: endlichdimensionale normierte $\mathbb{K}$-Vektorräume sind isomorph zu $\\mthbb{K}^n$ mit einer geeigneten Norm.

$>$ Hah, ich habe ein Theorem aus unserem Skript gefunden: Endlichdimensionale normierte Räume sind vollständig. (Theorem 3.14)

So, jetzt muss ich mal meine Gedanken ordnen, die sind noch viel zu wirr. :-) Also wir nehmen für die Richtung ,,$\Leftarrow$" an, dass
$X$ ein endlichdimensionaler Hilbertraum ist. Damit ist dieser insbesondere normiert (jeder Hilbertraum ist doch ein Banachraum, oder, aber nicht jeder Banachraum ein Hilbertraum, da die Norm nicht aus einem Skarlarprodukt kommen muss, oder)? Jetzt betrachten wir den UVR (Untervektorraum) $\text{span}\{u_i | i \in I\}$, wobei $I$ als endlich-dimensional angenommen werden kann (laut Creasys erstem Post).

Da $\text{span}\{u_i | i \in I\}$ ein $\mathbf{normierter}$ UVR ist (die Norm wird von $X$ ,,geerbt"), ist dieser insbesondere vollständig, also abgeschlossen.  QED?

Ich frage mich gerade noch, warum Creasy geschrieben hatte, dass $I$ als endlich-dimensional angenommen werden kann? Gilt das, weil wir $X$ als endlich-dim. annehmen?


(iii) So, auch für die Hinrichtung ordne ich mal meine Gedanken.

Wir möchte zeigen: $(u_i)_{i \in I}$ ist eine HB (Hamelbasis) von $X \Rightarrow \dim(X) < \infty$. Angenommen, $(u_i)_{i \in I}$ ist eine HB und $\dim(X) = \infty.$ So, nun wollen wir eine Cauchyfolge finden, die gegen einen Grenzwert aus $X$ konvergiert, der sich nicht als endliche Linearkombination der $(u_i)_{i \in I}$ darstellen lässt. Dies wäre Widerspruch dazu, dass wir eine HB vorliegen haben.

Gut, wie wäre es dann mit folgender Cauchyfolge: $$x_n := \sum_{k = 1}^{n}\beta_ku_k \in X,$$ wobei $(\beta_k)_{k \geq 0} \in \ell^2$. Nun findet man für $n > m$: $$||x_n - x_m ||^2 = ||\sum_{k = m+1}^{n}\beta_k v_k||^2 = \sum_{k = m+1}^{n}|\beta_k|^2.$$ Im letzten Schritt für die Norm im Hilbertraum $\ell^2$ verwendet und ich bin mir gerade nicht sicher, um ehrlich zu sein, ob dies gerechtfertigt ist.
(Ich hoffe, dass es nicht verwirrend ist, dass ich in meiner Bezeichnung inkonsistent bin; ich von $a_k$ zu $\beta_k$ gewechselt.)

Anyway, nehmen wir mal an, dass wir eine geeignete Bedingung an unsere $(\beta_k)$ gefunden haben. Aber wie soll ich versuchen, meine Reihe als endliche Linearkombination zu schreiben? Das geht doch genau dann, wenn alle $\beta_, = 0$ für $m_k$. Aber dies ist ja für meine Koeffizienten $(\beta_k)$ nie der Fall.


Gruß
Neymar



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
2019-05-18 11:11 - Neymar in Beitrag No. 10 schreibt:
Hah, ich habe ein Theorem aus unserem Skript gefunden: Endlichdimensionale normierte Räume sind vollständig. (Theorem 3.14)
...

(jeder Hilbertraum ist doch ein Banachraum, oder, aber nicht jeder Banachraum ein Hilbertraum, da die Norm nicht aus einem Skarlarprodukt kommen muss, oder)?
...

Da $\text{span}\{u_i | i \in I\}$ ein $\mathbf{normierter}$ UVR ist (die Norm wird von $X$ ,,geerbt"), ist dieser insbesondere vollständig, also abgeschlossen.  QED?

Ich frage mich gerade noch, warum Creasy geschrieben hatte, dass $I$ als endlich-dimensional angenommen werden kann? Gilt das, weil wir $X$ als endlich-dim. annehmen?

Ich nehme an, der Satz über vollständige Räume sprach über $\K$-Vektorräume, $\K\in\{\R,\C\}$, oder? $\Q^n$ mit der euklidischen Norm ist auch ein endlichdimensionaler normierter Raum, aber nicht vollständig.

Und richtig, Hilberträume sind immer normiert. Allgemein kann man sagen, dass Hilberträume normiert sind, normierte Räume metrisch sind, und metrische Räume topologisch. Umgekehrt gilt das nicht.

Also du hast jetzt richtig gezeigt, dass $\span(u_i)=\overline{\span(u_i)}$. Warum ist nun $\{u_i~\vert~i\in I\}$ eine Hamelbasis?

$I$ kann als endlich angenommen werden, weil Orthonormalsysteme linear unabhängig sind (je nach dem ob ihr das schon gezeigt habt, solltest du das auch noch zeigen). Und linear unabhängige Mengen endlichdimensionaler Räume sind endlich.



iii schreibt: Gut, wie wäre es dann mit folgender Cauchyfolge: $$x_n := \sum_{k = 1}^{n}\beta_ku_k \in X,$$ wobei $(\beta_k)_{k \geq 0} \in \ell^2$. Nun findet man für $n > m$: $$||x_n - x_m ||^2 = ||\sum_{k = m+1}^{n}\beta_k v_k||^2 = \sum_{k = m+1}^{n}|\beta_k|^2.$$ Im letzten Schritt für die Norm im Hilbertraum $\ell^2$ verwendet und ich bin mir gerade nicht sicher, um ehrlich zu sein, ob dies gerechtfertigt ist.
(Ich hoffe, dass es nicht verwirrend ist, dass ich in meiner Bezeichnung inkonsistent bin; ich von $a_k$ zu $\beta_k$ gewechselt.)

Diese Wahl für $\beta$ ist gut, vor allem weil die vom Skalarprodukt induzierte Norm die Verallgemeinerung der euklidischen Norm, der $L^2$-Norm und der $\ell^2$-Norm ist. Du kannst die Gültigkeit deines letzten Schrittes auch einfach nachrechnen: Es gilt ja $\Vert\sum_{k=0}^\infty\beta_k u_k\Vert^2=\left<\sum_{k=m+1}^n\beta_k u_k\vert \sum_{k=m+1}^n\beta_k u_k\right>$. Wenn du das vollständig ausrechnest, kommt am Ende genau das raus, was du hingeschrieben hast.


Anyway, nehmen wir mal an, dass wir eine geeignete Bedingung an unsere $(\beta_k)$ gefunden haben. Aber wie soll ich versuchen, meine Reihe als endliche Linearkombination zu schreiben? Das geht doch genau dann, wenn alle $\beta_, = 0$ für $m_k$. Aber dies ist ja für meine Koeffizienten $(\beta_k)$ nie der Fall.

Du sollst es ja auch zum Widerspruch bringen. Angenommen, es gibt $\alpha_0,\dots,\alpha_n$, sodass

\[\sum_{k=0}^\infty \beta_k u_k=\sum_{k=0}^n\alpha_k u_k\]
wie kannst du das zum Widerspruch führen? Ich empfehle hier, an die Eigenschaften der $u_i$ zu denken.
\(\endgroup\)


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