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Mathematik » Geometrie » Schneewittchens Tortenteilung
Thema eröffnet 2019-05-16 00:53 von
Goswin
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Seite 2   [1 2]   2 Seiten
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Kein bestimmter Bereich Schneewittchens Tortenteilung
haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2019-05-16



C mit den gonz´schen höhen führt auch zu zwangsüberschneidungen

und auch D geht nicht.

schnewitchen als gastgeberin könnte aber sechs gleichgrosse hinschneiden und selber entweder eben diskutieren das mittlere nach zwei schnitten herauszunehmen, oder die drei mittleren grünen teile selber essen...
(die rechte zeichnung sei nur ne skizze)



die ABC zeichnungen sind geometrisch erstellt... durch probieren der gonz´schen höhen... die flächenfehler sind < 1%, also deutlich kleiner als die überschnitte...
haribo



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, eingetragen 2019-05-16


@haribo
Danke für Deine Antwort.
Da die Größen jeweils berechenbar sein sollten,
weiß man nun aber, wie man vorgehen muß.
Jetzt bleibt ja "nur" noch ein Fall, bei dem man
mit 2/7 Segmenten hantieren muß.



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2019-05-16


Ich hab so langsam die Übersicht verloren... hatte schon jemand eine konkrete Lösung für fünf Schnitte angegeben?

( ich versuch mich grad dran, die Fälle mit vier Schnitten auch rechnerisch auszuschließen, aber... vielleicht hat da jemand mit mehr Händchen für geometrische Fragestellungen eher einen Ansatz für )


-----------------
- das alles muss weg. (Meister Eckhart von Hochheim)



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, eingetragen 2019-05-16


@gonz
Soweit ich sehe, hat haribo zeichnerisch ausgeschlossen,
dass A,B oder C gelten können.
Klar, nun müßte man erst auch noch die rechnerischen Formeln
dafür herleiten.
Da habe ich mich bisher auch davor gedrückt...
Aber die Idee sollte nun klar sein, wie man A,B und C rechnerisch
ausschließen kann.
Ich hoffe, haribo kann nun auch noch D zeichnerisch ausschließen.




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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2019-05-16


Hallo,

ich könnte mir vorstellen, dass man es mit vier Schnitten vielleicht ungefähr so machen müsste:



Das müsste dann noch entsprechend ausjustiert werden. Aber könnte klappen.

LG Primentus



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


2019-05-16 10:28 - haribo in Beitrag No. 7 schreibt:
Goswin, kannst du die lage der sechs parallelen schnitte für die sechs-schnitt-lösung nochmal beschreiben? (erfordert das nicht auch mindestens höhere mathematik?)

Die genaue Lage der parallelen Schnitte habe ich nicht berechnet; mir war für die Existenz derselben ein Stetigkeitsqargument genug. Die Berechnung selber übersteigt sicherlich Abiturniveau, das geht wahrscheinlich nur über Annäherungsverfahren, ich habe da die Fragestellung verbessert. Anderseits hat Schneewittchen aber auch einen magisch programmierbaren Taschenrechner, den ihr kein Zwerg verboten hat. wink

2019-05-16 10:28 - haribo in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich hab wohl ne Lösung mit 3 schnitten, ist etwas ausserhalb der kuchenform gedacht, dass darf man aber ja bei solchen aufgaben.
[...]
Es basiert auf einer definitionsfrage, was bedeutet "kreisrunde Torte" genau... wäre beispielsweise die form eines marktüblichen gugelhupf´s auch als kreisrunde torte anzusehen?
Oder wahlweise die obere hälfte einer kugel?
Oder muss die torte eine zylinderform haben?

Die Torte soll (natürlich) die Form eines rechtwinkligen Zylinders haben, und die Schnitte müssen senkrecht sein.

Eine dreidimensionale Verallgemeinerung auf einen kugelförmigen Körper wäre wohl auch interessant. Fürs erste scheint mir freilich die zweidimensionale Fragestellung anspruchsvoll genug zu sein.


2019-05-16 11:08 - pzktupel in Beitrag No. 13 schreibt:
Eine Lösung für 5 Stücke mit 3 Schnitten:


Die Topologie dieser Lösung ist auch die meinige, nur sind bei mir die beiden sich kreuzenden  2:3-Schnitte symmetrisch angeordnet und berühren nicht den 1:4-Schnitt. Ich bin mir fast sicher, dass man auf diese Art gleichgroße Stücke hinbekommt.


2019-05-16 12:14 - haribo in Beitrag No. 27 schreibt:
ich denke, dass man ein stück abschneiden und schon servieren darf und danach neue durchgehende schnitte ausführen muss, es soll halt hinterher jeder ein gleich-schweres-äh-grosses stück haben, oder fällt dass unter das "verschiebeverbot"?

Ja. Tortenstücke entfernen oder verschieben ist verboten.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2019-05-16


D entspricht primentus versuch und geht auch nicht:

die beiden oberen 2:5 segmente kann man nur in eine lage um M gegeneinander verdrehen bis die rote fläche 1/7 beträgt, die beiden unteren liegen symetrisch dazu und es gibt seitlich wieder überschneidungen



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2019-05-16


2019-05-16 15:15 - Goswin in Beitrag No. 45 schreibt:
Die Torte soll (natürlich) die Form eines rechtwinkligen Zylinders haben, und die Schnitte müssen senkrecht sein.
ich wollte nur wissen ob du sieben gleiche pfannkuchen schneidest mit sechs schnitten

denn die senkrechtigkeit der schnitte ist jetzt wirklich nachgeschoben von dir,

also, nachdem nun alles verboten wurde was im weltweit üblichen tortenschnitt gemacht wird, hier meine stolze dreischnittige lösung aus #7:

mit zwei durchgehenden senkrechten schnitten ein 1/7 freischneiden und drei 2/7 herstellen, ersteres servieren und mit einem horizontalen schnitt die anderen alle nochmals halbieren







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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2019-05-16


versuch der 5-schnittigen, meine zeichnung ist aber momentan noch zu ungenau ob es bei x überschneidungen gibt, der rechte versuch erscheint mir etwas warscheinlicher möglich als der linke



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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, eingetragen 2019-05-16


Hallo haribo,

schade, dann führt mein Schnittvorschlag wohl doch nicht zu einer Lösung.

An höhenlinienmäßige Schnitte hab ich auch schon gedacht, aber hab schon vermutet, dass dies nicht gültig ist. Das Problem muss sozusagen aus Sicht der Draufsicht von oben auf den Kuchen gelöst werden.

LG Primentus

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.47 begonnen.]



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, eingetragen 2019-05-16


meine best mögliche genauigkeit hat jetzt doch die linke lösung bevorzugt
das freie spiel bei x beträgt 0,01 wenn die kreisfläche A=7 hat, die genauigkeit in den flächen war 4 stellen hinterm komma

der gelbe und der grüne abschnitt haben dabei einiges an bewegungsmöglichkeit, der rechte und linke abschnitt haben gar keine bewegungsmöglichkeit



die rechte lösung dagegen ergab doch überschneidungen

ich bin gespannt ob es noch weitere fünfschnittige lösungen geben kann
haribo




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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.51, eingetragen 2019-05-16


@Haribo

Nr. 11 hatte ich ein Muster mit 5 Schnitten, aber ob es zur Lösung beiträgt , kann ich nicht sagen.


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Pech in der Liebe , Glück im Verlieren !!!



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.52, eingetragen 2019-05-16


Die Anzahl der Möglichkeiten ist noch überschaubar.

- Wieder könnte man mit zwei sich kreuzenden Schnitten anfangen, die die Torte in vier Bereiche teilen.
- Da wir nun noch drei Schnitte überhaben, und noch drei Flächen halbieren müssen:
- liegen entweder alle drei weiteren Schnitte in einem der ursprünglichen Viertel ( das ist der rechte von Haribo in Post #50 behandelte Fall ). Man könnte es A nennen.
- oder es liegen zwei weitere Schnitte in einem Viertel ( es ist egal in welchem ) dann kann der weitere Schnitt entweder in einem anliegenden Viertel liegen ( Fall B ) oder in dem gegenüberliegendem Viertel ( Fall C, das ist linke Fall aus Haribo's Post ).
- Wenn in drei der Viertel je ein Schnitt liegt, dann bleibt ein Viertel frei, und das kann man wiederum beliebig auswählen, sodaß es damit nur noch einen Fall ergibt - wir nennen ihn D :) das ist der von pzktupel in Post #11 erwähnte Fall )



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]


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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.53, eingetragen 2019-05-16


Hallo haribo,

Congratulations - das sieht gut aus!
Wirken auch tatsächlich gleich groß die 7 Flächenstücke links.

Gefühlsmäßig würde ich ja sagen, dass es auch eine vierschnittige Lösung geben müsste, aber vielleicht ist das doch nicht der Fall.

Dreischnittig kann man aber denke ich ausschließen. Zwar ist es möglich, mit nur drei Schnitten 7 Flächenstücke zu erzeugen, aber die bekommt man meines Erachtens nicht gleich groß (siehe nachfolgendes Bild).



LG Primentus

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.54, eingetragen 2019-05-16


wenn gonz logik vollständig ist dann gibt es wohl nur eine einzige lösung mit 5 schnitten

B+D führen schon bei jeweils nur 3 zusammengeschobenen segmenten zu einer <1/7 fläche welche nicht mehr vergrössert werden kann, und dann zu weiteren überschneidungen, gehen also IMO nicht


haribo

nachtrag: bei uns gabs heute pizza und natürlich in sieben teile geschnitten... das taugt aber nur bedingt weil man sie teilweise schlecht am rand anfassen kann, überhaupt erscheint mir die senkrecht schneiden bedingung eher zu pizza als zu torte zu passen, man denke nur an schwarzwälder kirschtorte die horizontal geschichtet ist, lecker



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.55, eingetragen 2019-05-16


Hallo,

2019-05-16 19:42 - Primentus in Beitrag No. 53 schreibt:
Dreischnittig kann man aber denke ich ausschließen. Zwar ist es möglich, mit nur drei Schnitten 7 Flächenstücke zu erzeugen, aber die bekommt man meines Erachtens nicht gleich groß (siehe nachfolgendes Bild).

Ist das tatsächlich so offensichtlich? Drei Schnitte hatte ja bereits Goswin im TS und Diophant in #2 kategorisch ausgeschlossen.

Gibt es ein einfaches Argument dafür?

Grüße
StrgAltEntf



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.56, eingetragen 2019-05-16


Man kann zumindest soweit argumentieren:

Die drei Schnitte bilden gleichlange Sehnen (da sie jeweils den Vollkreis im Verhältnis 3:4 teilen).
Da je zwei Sehnen mit dem Kreisrand eine Fläche einschließen, die 1/7 der Gesamtfläche ausmacht, muss der Winkel zwischen je zwei der Sehnen gleich sein.
Damit ist das Gebilde hochsymmetrisch - es gibt nur genau eine Möglichkeit das zu realisieren. Für diese müsste man dann nur noch rechnerisch oder zeichnerisch prüfen, ob die beiden Typen von aussenliegenden Flächen dann jeweils 1/7 der Gesamtfläche ausmachen.


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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.57, eingetragen 2019-05-16


2019-05-16 21:08 - StrgAltEntf in Beitrag No. 55 schreibt:
Ist das tatsächlich so offensichtlich? Drei Schnitte hatte ja bereits Goswin im TS und Diophant in #2 kategorisch ausgeschlossen.

Gibt es ein einfaches Argument dafür?

Hallo StrgAltEntf,

ich würde es so beschreiben:
Um die beiden großen Flächenstücke in Beitrag #53 links und rechts zu verkleinern und die darunterliegenden beiden zu vergößern, was für eine größenmäßige Angleichung der einzelnen Flächenstücke ja notwendig wäre, müsste man die untere Schnittlinie weiter oben ansetzen, doch dabei passiert es irgendwann, dass sich alle drei Schnittlinien im selben Punkt schneiden, und dann kann es keine Lösung für 7 Flächenstücke mehr sein, weil es dann nur noch 6 Flächenstücke gibt.

LG Primentus



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.58, eingetragen 2019-05-16


Um mal anzufangen etwas zu rechnen, wären das für die Sehnen der Winkel in Grad, unter dem sie vom Kreismittelpunkt aus zu sehen sind, und der senkrechte Abstand zum Mittelpunkt für die Teilungsverhältnisse, bezogen auf einen Kreis des Radius 1

1:6 alpha=106.39 Abstand=0.599
2:5 alpha=139.82 Abstand=0.343
3:4 alpha=167.09 Abstand=0.112

Ich habe die Werte inzwischen auch durch eine erste Version des "Monte-Carlo" Programms verifiziert, das sollte also passen.

Anbei das Programm, es arbeitet mit Intervallhalbierung ( das ginge anders einfacher, klaro. Ich bin aber gerade im python-wahn und sowieso Das-Rad-immer-wieder-neu-Erfinder ;) )

python
import math
 
n=1
while n<7:
 
    winkel = 0
    flaeche = 0
    sollflaeche = n/7*math.pi
 
    schrittweite = 0.1
    minschritt = 0.0001
 
    while schrittweite>minschritt:
            if flaeche<sollflaeche:
                winkel+=schrittweite
            else:
                schrittweite=schrittweite/2
                winkel-=schrittweite
            flaeche=(winkel-math.sin(winkel))/2
 
    print(str(n)+':'+str(7-n)+' Winkel='
            +' '+str(round(winkel*180/math.pi,2))
            +' Grad, Abstand='+str(round(math.cos(winkel/2),3)) )
    n+=1



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.59, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


2019-05-16 16:53 - haribo in Beitrag No. 47 schreibt:
Nachdem nun alles verboten wurde was im weltweit üblichen Tortenschnitt gemacht wird ...

biggrin  biggrin  biggrin



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.60, eingetragen 2019-05-16



Uh, ja, die meinte ich xD.



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.61, eingetragen 2019-05-17


Ich glaube, die böse Stiefmutter ist einfach old style und hat nicht damit gerechnet, dass Schneewittchen keine Hemmungen hat, Gleichungen auch mal nummerisch zu lösen.

Das Problem, mittels eines geraden Schitts von einer Kreisfläche einen Abschnitt der Größe n/7 abzuteilen, führt auf die Gleichung

fed-Code einblenden

Was Schneewittchen dann einfach in den Solver einwirft.

Nun kommen wir zum zweiten Schritt. Wir haben also zwei Sehnen, für die wir die Teilungswerte n und m bezogen auf den Gesamtkuchen kennen ( jeweils zu lesen - teilt n bzw. m Siebtel vom Kuchen ab). Wir wissen zusätzlich, welcher Anteil von den beiden Sehnen am Rand des Kuchens einfasst wird, dies seien k Siebtel. Dann sieht das so aus:



Cool wäre es, jetzt den Schnittwinkel zwischen den beiden Sehnen zu kennen. Das geht immer und eindeutig, wenn n und m beide kleiner k sind. Eine der Sehnen können wir beliebig festlegen, zB auf eine horizontale parallel zur x-Achse. Vielleicht könnte man diesmal eine Monte-Carlo-Methode benutzen, um die Flächen zu bestimmen :)




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.62, eingetragen 2019-05-17



hier sind die schnittwinkel und kreisabschnitte alle eingezeichnet
die blauen angaben sind gerechnet (formel aus wikipedia kreissegment mit nur A und h als variable) und bestätigen exakt deinen zahlen
die gelben probiert, also itteriert und dürften inzwischen ~ 0,1° exakt sein, ich zeichne alles in einen A=7 kreis also mit r=wurzel(7/pi) und nicht in einen einheitskreis und die segmenthöhen messe ich im segment und nicht von der basis zum mittelpunkt

insbesondere die kontrolle des gelben 115° winkels in der 3-3(2) anordnung würde mich interessieren

bei der 3-2 und 3-3(1) anordnung (untere beiden bilder) passt kein 1er in den grossen arm des dreiers, damit fallen diese varianten direkt raus, denn auch mit nem trennschnitt durch den schnittpunkt der sekanten ergibt es nicht auf beiden seiten brauchbare lösungen

ich erwarte keinen neuen fünfer lösungen mehr

höchstens noch ne bessere 4schnitte gastgeber lösung bei der sechs teile perfekt sind und das siebte nur einen zusätzlichen trennschnitt hat und nicht zwei wie in #40
haribo



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.63, eingetragen 2019-05-17


Prima :) Dann können wir ja fast sagen - habe fertig.

Zur Frage des Winkels zwischen zwei Schnitten, die jeweils einzeln 3:4 teilen und ein Siebtel miteinander und dem Rand einschließen (siehe Skizze in Beitrag #61) läuft inzwischen und hat einen Winkel von 75.13 Grad ergeben. Das liegt hinreichend weit von 60 Grad entfernt, um damit auch eine Lösung mit 3 Schnitten endgültig ausschließen zu können.




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.64, eingetragen 2019-05-17




habe die gastgebervariante gefunden, und gleich noch ne einfachere,
davon gibts noch einige mehr




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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.65, eingetragen 2019-05-17


Um nochmal ein paar Vergleichswerte zu haben gegenüber Post #62 (haribo)

die rote Winkel im Zentrum der Konstruktion

oben links: 120.86 Grad ( haribo:120,91 ) Parameter: k=1 m=2 n=2
oben rechts: 127.83 Grad ( haribo: 127,91 ) Parameter: k=2 m=3 n=3
unten links: 99.53 Grad ( haribo: 99,63 ) Parameter: k=1 m=2 n=3
unten rechts: 75.18 Grad (haribo: 75,26 ) Parameter: k=1 m=3 n=3

Das passt mit einer Abweichung von ca. 1/10 Grad, meine Werte sind schon in der ersten Nachkommastelle ungenau.


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.66, eingetragen 2019-05-18


dann ist dies die beste 4-schnittige annäherung mit nem fehler im krümelbereich (promill)
man kann den fehler noch verkleinern wenn man ihn auf mehr pizzastücke verteilt




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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.67, eingetragen 2019-05-18


Guten Morgen liebe Freunde des Tortenteilerhandwerks :)

Ich war also offenbar mit dem "haben fertig" etwas voreilig. Da meine zweite Berechnung auf den Ergebnissen der ersten Betrachtung aufsetzen, habe ich erst einmal diese genauer ausgeführt.

1:6 Winkel(Grad) = 106.394 Abstand=0.59906
2:5 Winkel(Grad) = 139.822 Abstand=0.34348
3:4 Winkel(Grad) = 167.088 Abstand=0.11244
4:3 Winkel(Grad) = 192.911 Abstand=-0.11244
5:2 Winkel(Grad) = 220.177 Abstand=-0.34348
6:1 Winkel(Grad) = 253.605 Abstand=-0.59906

wobei alle angegebenen Stellen verlässlich sind.

Und mit einem etwas genauerem Lauf des zweiten Programms komme ich dann auf 75.26 und 99.62 Grad, jeweils etwa auf 2 Hundertstel Grad genau. Passt also.


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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.68, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-18


2019-05-18 04:41 - haribo in Beitrag No. 66 schreibt:
... dann ist dies die beste 4-schnittige Annäherung mit einem Fehler im Krümelbereich (promill). Man kann den Fehler noch verkleinern, wenn man ihn auf mehr Pizzastücke verteilt.

Das ist vielleicht nicht die "korrekteste" aller Tortenteilungen, aber die mit Abstand eleganteste und künstlerisch wertvollste! Die setze ich um bei meinem nächsten Pizzakauf! smile

(Ich wette, dass sich so eine Schnittform für Kuchen sogar kommerziell verwerten ließe)



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.69, eingetragen 2019-05-19


2019-05-18 15:14 - Goswin in Beitrag No. 68 schreibt:

Das ist vielleicht nicht die "korrekteste" aller Tortenteilungen, aber die mit Abstand eleganteste und künstlerisch wertvollste! Die setze ich um bei meinem nächsten Pizzakauf! smile

(Ich wette, dass sich so eine Schnittform für Kuchen sogar kommerziell verwerten ließe)
den kommerz lassen wir erstmal weg, aber du kannst halt jede gestellte bedingung aufweichen und weitere elegante lösungen erhalten

zB die geradeaus-schnitte durch möglichst grosse radien ersetzen... dann gibt es bestimmt auch radien für dreischnittige lösungen, vier sowiso

oder das wegnahme verbot aufheben, macht bei einer pizza ja noch etwas weniger sinn als bei ner torte

google mal pizza-theorem

haribo



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