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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Reihen auf Konvergenz prüfen
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Universität/Hochschule J Reihen auf Konvergenz prüfen
JayVD
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-16


Stellen Sie für die folgenden Reihen fest, ob sie konvergent sind:


fed-Code einblenden

und

fed-Code einblenden

wenn da jemand Tipps zu hätte, wäre das echt super!!
lg



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wessi90
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2020
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-16


Hallo,

bei der ersten kannst du vermutlich sogar den Wert der Reihe ausrechnen. Stichwort: Geometrische Reihe.

Für die zweite Reihe: Trivialkriterium überprüfen. Da es oft unterschiedliche Namen hat, ich meine dieses hier.



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JayVD
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 09.05.2019
Mitteilungen: 59
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


Bei der ersten habe ich
S= -1/27 * 3/4 = -1/36 wäre, was sagt mir das aber jetzt über die Konvergenz aus, das minus verwirrt mich total.

Rechnung:

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oder ist -1/3 hoch 3n , für n=1 nicht -1/27 ???



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PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-16


Hallo,


Bei der ersten habe ich
S= -1/27 * 3/4 = -1/36

Welche Formel hast du benutzt?

Es gilt ja:

$\sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}$. Für $|q|<1$, was hier gegeben ist.

Beachte, dass diese Formel für $n=0$ gilt.


oder ist -1/3 hoch 3n , für n=1 nicht -1/27 ???

Doch, das ist korrekt.


was sagt mir das aber jetzt über die Konvergenz aus, das minus verwirrt mich total.

Wenn du den Reihenwert berechnen kannst und dieser endlich ist, dann ist die Reihe natürlich konvergent.
Ob das Ergebnis positiv oder negativ ist, spielt keine Rolle.
Das dürfte dich nicht verwirren.





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wessi90
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Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2020
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-16


Zunächst einmal: Wenn du den Grenzwert ausrechnen kannst, dann existiert er natürlich und somit konvergiert die Reihe. Da die Berechnung hier gar nicht gefragt ist, würde natürlich reichen: Die geometrische Reihe $\sum q^k$ konvergiert bekanntlich für jedes $|q|<1$. Hier ist $q=(\frac{1}{3})^3$ (Potenzgesetze!).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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JayVD
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


Achso, manchmal ist es so einfach das man es nicht versteht Dankeschön!

Bei der 2. habe ich jetzt die Fallunterscheidung für n=gerade und n=ungerade gemacht und in beiden fällen kommt unendlich raus. damit ist die Reihe divergent richtig?



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-16


Ist $a_n=1+\frac{(-1)^n}{n}$ eine Nullfolge? Falls nein, bist du fertig. Deine Fallunterscheidung hilft hingegen nicht.

Gegenbeispiel: $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ konvergiert, aber die Summe der geraden und ungeraden Summanden ist jeweils divergent.



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JayVD
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


Was mich irritiert, ist (-1)^n. Ist das nicht alternierend? Wie kann ich dann beweisen, dass es sich um eine Nullfolge handelt?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-16


Male dir mal die Folge $\frac{(-1)^n}{n}$ hin.

Oder versuche vielleicht mal zu beweisen, dass es sich dabei um eine Nullfolge handelt. Streng nach Definition.



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JayVD
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


Ich hab jetzt raus,

an ist in Induktionsanfang mit n=1 gleich null. Aber im Induktionsschritt mit n+1 nicht mehr gleich null, somit ist an keine Nullfolge und meine Ursprungsaufgabe ist nicht konvergent. Richtig?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-05-16


Nein, induktiv kannst du nicht zeigen, dass diese Folge eine Nullfolge ist.

Dass Folgen mit beschränktem Zähler [$(-1)^n$ ist beschränkt, wegen $-1\leq (-1)^n\leq 1$] und unbeschränktem Nenner, konvergent sind, ist euch vermutlich bekannt.

Allerdings ist $\frac{(-1)^n}{n}$ eine so elementare (Null-)Folge, dass dir auch anschaulich klar sein sollte, was der Grenzwert ist. Daher sagte ich, du solltest die Folge mal skizzieren.


Was ist denn eigentlich

$\lim_{n\to\infty} 1+\frac{(-1)^n}{n}$

?



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JayVD
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


Achsooo oh Gott bin ich blöd, naklar, ja und d fed-Code einblenden
fed-Code einblenden



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-05-16


Ja, der Grenzwert ist 1.
Also kann die Reihe über diese Folge nicht konvergieren.



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JayVD
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


danke danke danke euch allen! Mir gehen mal wieder in einigen Hinsichten viele Lichter auf!



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-05-16


Das freut uns.

Gern geschehen.



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