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Funktionentheorie » Holomorphie » holomorphe Wurzel
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Autor
Universität/Hochschule J holomorphe Wurzel
erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-16


Hallo ich habe folgende Aufgabe gefunden:

Sei fed-Code einblenden fed-Code einblenden
Zeigen Sie es ex. g welches ebenfalls auf fed-Code einblenden

f=g².

Ich vermute nun, dass der Beweis wohl darüber läuft, dass eine holomorphe nullstellenfreie Funktion einen holomorphen Logarithmus besitzt und man "einfach" definieren kann:

g(z)=exp(l(z)/2), wobei l(z) der holomorphe Logarithmus zu f ist.
(Klassische Konstruktion der n-ten holomorphen Wurzel)

Mein Problem ist jetzt nur, dass bei diesem Beweis doch eigentlich benötigt wird, dass fed-Code einblenden fed-Code einblenden

Ist die Lösung einfach, dass ein die Eigenschaften

1) einfach zusammenhängendes Gebiet
2) homologisch einfach zusammenhängendes Gebiet

äquivalent sind und da ich auf meiner einfach zusammenhängenden Menge fed-Code einblenden fed-Code einblenden
Damit hätte ich mein homologisch einfach zusammenhängendes Gebiet gegeben d.h. ich könnte auf die Existenz eines holomorphen Logarithmus schließen und damit meine holomorphe Wurzel wie oben konstruieren.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-16


Hey erik92,

in \(\mathbb{C}\) sind einfach zusammenhängend und homologisch einfach zusammenhängend tatsächlich das gleiche



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


Hallo Kampfpudel,

vielen Dank für deine Antwort. Stimmt meine Annahme mit dem Gebiet auch?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-16


Wie ist denn bei dir der Begriff einfach zusammenhängend definiert? Auf jeden Fall sollte eine einfach zusammenhängende Menge zusammenhängend sein. Wenn sie dann noch offen ist (da gehe ich mal von aus) dann ist sie doch ein Gebiet



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


Hier liegt eins meiner Probleme. Ich weiß nicht wie der Prof. der diese Aufgabe gestellt hat, einfach zusammenhängend definiert.
Allerdings muss man doch von einer offenen Menge fed-Code einblenden



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-16


Also, selbst wenn man die Definition von einfach zusammenhängend so wählt, dass daraus nicht folgt, dass die Menge zusammenhängend ist (z.B. indem man eine Menge \(\Omega\) als einfach zusammenhängend definiert, falls jeder geschlossene Weg sich stetig in \(\Omega\) zusammenziehen lässt), so kannst du einzeln jede Zusammenhangskomponente von \(\Omega\) betrachten. Diese sind dann auf jeden Fall jeweils einfach zusammenhängende Gebiete und du kannst dort genau so vorgehen, wie du es willst.

Und ja, \(\Omega\) sollte offen sein, sonst macht der Holomorphiebegriff keinen Sinn



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


Ah okay alles klar vielen Dank  smile



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